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Résumé:lessuites numé riques

DéfinitionUnesui te(u

n n∈N estdite .stationnaire(ouconst ante)àpartird'uncertainrangn 0 si:∃n 0 0 ⇒u n+1 =u n .périodiquesi:∃n 0 ∈N n+n0 =u n .arithmétiquederai sonrsi:∀n∈N,u n+1 =u n +retalorsu n =u 0 +n×r. .géométriquederai sonqsi:∀n∈N,u n+1 =q×u n etalorsu n =u 0 ×q n n ￿￿M. n ￿￿m. n n ￿￿￿￿M. .croissantesi:∀n∈N,u n ￿￿u n+1 n u n+1

.monotone(resp.stricteme ntmonotone)sielleestcroissanteoudécroiss ante(resp.stricteme ntcrois sante

oudéc roissante). ⇒￿￿u n .divergentesielle n'estpasconve rgente. n >M. n <-M.

DéfinitionSi(u

n n∈N estunesu iteréelle ,onappellesuiteext raiteousou s-suitede(u n n∈N toutesuite(v n n∈N dela forme v n =u '(n) ,∀n∈N, 2n n∈N ,(u 2n+1 n∈N ,(u n+3 n∈N

Corollaire0.1Siune suite(u

n n∈N admetdeuxsou s-suites( ouplus!)convergeantversdeslimitesdi s- tinctesalorslasuite(u n n∈N neconve rgepas.

Définition(Suitesadjacentes)

Deuxsuites(u

n n∈N et(v n n∈N sontditesadj acentessi

1.∀n∈N,u

n ￿￿v n 2.(u n n∈N estcroiss ante. 3.(v n n∈N estdécrois sante. 4.(v n -u n n∈N convergevers0. Théorème0.1Deuxsuitesadj acentesconvergentetc eversunemêmelimite. 1

Théorème0.2(Limitesetfonctionscontinu es)

n n∈N unesuite donttouslestermesapp artienn entàI.Si(u n n∈N convergeversunréel`etsifestcontinu een`alors lim n→+∞ f(u n )=f(`).

Proposition0.1(Comparaisondesuitesconvergen tes )

Soient(u

n n∈N et(v n n∈N deuxsuite sréellesconvergente stellesque

N⇒v

n ￿￿u n alorsona lim n→+∞ v n ￿￿lim n→+∞ u n

Proposition0.2(Suitegéométrique)

Onfixe unréel a.Soi t(u

n n∈N unesuite determegénéralu n =a n .Al orsonalerésul tats uiv ant:

1.Sia=1,alor s(u

n n∈N convergevers1.

2.Sia>1alors(u

n n∈N divergevers+∞.

3.Si-1 n n∈N convergevers0.

4.Sia￿￿-1alors(u

n n∈N divergeenayantaucunel imite.

Onfixe unréel a,a≠1.En notant

n k=0 a k =1+a+a 2 +....+a n ,ona n k=0 a k 1-a n+1 1-a

Soient(a

n n∈N ,(b n n∈N et(c n n∈N troissuitesr éellestellesque ∀n∈N,a n ￿￿b n ￿￿c n Si(a n n∈N et(c n n∈N convergentversunmêmeréel`alors(b n n∈N convergeaussivers`.

Corollaire0.2Onconsi dère(u

n n∈N et(v n n∈N deuxsuite sréellestellesque

1.∀n∈N,￿￿u

n ￿￿￿￿￿￿v n 2.lim n→+∞ v n =0.

Alorslim

n→+∞ u n =0. 2

Corollaire0.3Onconsi dère(u

n n∈N et(v n n∈N deuxsuite sréellestellesque 1.(u n n∈N estbornée . 2.lim n→+∞ v n =0.

Alorslim

n→+∞ u n v n =0.

Proposition0.4Soit(u

n n∈N unesuite àtermesnonnulset tel lequelim n→+∞ u n+1 u n ￿￿=q.

Siq<1alorslim

n→+∞ u n =0. DéfinitionOnappell evaleurd'adhérence(oupoint d'accumulation) d'unesuite(u n n∈N ,tou tréel`quiest limited'unesoussuite de(u n n∈N Théorème0.4(Bolzano-Weirestrass)Toutesuiteréellebornéeadmetunesous -suiteconv ergente.

Définition(Suiteré currente)

u 0 donnédansI u n+1 =f(u n ),∀n∈N, estappelée suiterécurrente . (u n n∈N définiepar u 0 donnédansI u n+1 =f(u n ),∀n∈N, convergevers`∈I,alor s`estsolution dansIdel' équationf(`)=`. 3quotesdbs_dbs11.pdfusesText_17