h INTRODUCTION La littérature concernant les méthodes de résolution de programmes mathé- matiques non linéaires était pratiquement inexistante avant
Programmation non linéaire 3 Fonctions convexes et concaves ▫ Si cette inégalité est stricte, la fonction f est dite strictement convexe ▫ Si on remplace
Introduction to Operational Research [1] et The Basics of Practical 3 Programmation non linéaire 3 2 1 L'algorithme du simplexe dans le cas non- linéaire
Introduction et définitions 2 Optimisation sans contraintes 3 Optimisation avec contraintes 4 Extensions Références MTH8415: Optimisation non linéaire
L'idée de ce cours est de vulgariser la notion de systèmes non linéaires et via un algorithme d'optimisation (programmation non linéaire) à partir de l'écart
Au contraire, en optimisation non-linéaire continue, (certaines fonctions parmi) Nous commençons ce cours par optimisation (programmation) linéaire (OL) –
Chapitre 4 : Programmation mathématique non linéaire et Problème de Présentation de quelques méthodes de résolution du VRP de base 102 4 3 4 3 1
Table de matière Chapitre 05 : la programmation non linéaire convexe avec les méthodes des points intérieurs sous contraintes linéaires : 5 1 Introduction
Le deuxi`eme chapitre reprend l'optimisation des probl`emes non-linéaires plus en considérant ses techniques de résolution en tant qu'introduction `a celle
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Modèles de Recherche Opérationnelle
Fabian Bastin
bastin@iro.umontreal.ca Département d"Informatique et de Recherche Opérationnelle
Université de Montréal
IFT-1575
Hiver 2010
http://www.iro.umontreal.ca/~bastin
La présente version du syllabus s"inspire des notes de Patrice Marcotte, Bernard Gendron, ainsi que des livres
Introduction to Operational Research[1] etThe Basics of Practical Optimization[3].Le présent document peut être modifié et redistribué à des fins non commerciales, sous conditions d"être diffusé
sous les même conditions. Photographie de couverture: viaduc de Millau, France. c
Fabian Bastin, 2006
Table des matières
1 Introduction1
1.1 Les origines de la recherche opérationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 La nature de la recherche opérationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.3 Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.4 Algorithmes et logiciels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.4.1 Un exemple avec GAMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2 Programmation linéaire7
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2 Modèle général de programmation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.3 Terminologie de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.4 Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.5 La méthode du simplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.5.1 Solution de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.5.2 Interprétations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.5.3 Critère d"optimalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.5.4 Adaptation à d"autres formes de modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.5.5 Obtention d"une base admissible initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.5.6 Variables à valeurs quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.6 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.6.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.6.2 Analyse de sensibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3 Programmation non linéaire31
3.1 Fonctions convexes et concaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.1.1 Ensembles convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.2 Algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.2.1 L"algorithme du simplexe dans le cas non-linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.2.2 Optimisation sans contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.2.3 Méthode de la bissection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.2.4 Méthode du gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.2.5 Optimisation sous contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.2.6 Conditions d"optimalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
4 Programmation mixte entière 41
4.1 Présentation générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
4.2 Contraintes mutuellement exclusives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
4.2.1 Deux contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
4.2.2Kcontraintes parmiN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45
4.2.3 Fonction ayantNvaleurs possibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45
iii ivTABLE DES MATIÈRES
4.2.4 Objectif avec coûts fixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
4.2.5 Variables entières en variables 0-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
4.2.6 Problème de recouvrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
4.3 Stratégies de résolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
4.3.1 Relaxation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
4.3.2 Approche par énumération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
4.3.3 Les hyperplans coupants (méthode de coupe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
4.4 Modélisation avec GAMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
4.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
4.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
5 Réseaux63
5.1 Graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
5.1.1 Graphe orienté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
5.1.2 Graphe non orienté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
5.1.3 Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
5.1.4 Chemins et circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
5.1.5 Connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
5.2 Problème du chemin le plus court - algorithmes de corrections d"étiquettes . . . . . . . . . . . . . . .
65
5.2.1 Algorithme de Dijkstra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
5.3 Flot dans un réseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
5.3.1 Réseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
5.3.2 Modèle de flot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
5.3.3 Algorithme de Bellman-Ford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
5.3.4 Modèle du chemin critique (PERT/CPM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
5.4 Problème de l"arbre partiel minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
5.4.1 Algorithme de Prim (1957) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
5.5 Problème du flot maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
5.5.1 Algorithme de Ford-Fulkerson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
5.5.2 Flot maximum - Coupe minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
5.6 Problème de flot minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
5.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
6 Modèles stochastiques77
quotesdbs_dbs3.pdfusesText_6
[PDF] Tour dhorizon : programmation non linéaire - Numdam