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En particulier,si u > 0 : ∀a ∈ R, (ua)′ = αu′ua−1 Primitives des fonctions usuelles Dans chaque ligne, F est une primitive de f sur l'intervalle I Ces primitives 

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Primitives des fonctions usuelles Fonction Primitives Domaine xn, n ∈ N Si f est continue sur I, si F est une primitive de f sur I et si λ est un réel, λF est une 

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4 mai 2012 · En pratique, pour calculer une primitive d'une fonction donnée, on la ramène à un ca- talogue de primitives usuelles Ces primitives, que l'on doit 

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(1) Si F est une primitive de f sur I alors la fonction G : I → R est une primitve de f sur I si et seulement si G − F est constante sur I (2) Pour chaque x0 ∈ I et 

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Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I 2 Primitives de fonction élémentaires Fonction Primitive Intervalle f(x) = a F(x) = ax R

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29 avr 2010 · dérivation, et, les résultats se contrôlent en dérivant On doit avoir F ' = f Tableau des primitives des fonctions usuelles Fonction f Primitives 

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On en déduit que les deux primitives de diffèrent d'une constante Propriété : f est une fonction continue sur un intervalle I Si est une primitive de f sur I 

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Déterminer une primitive de f sur un intervalle contenu dans son ensemble de définition Exercice n°2 Usage des tableaux de primitives usuelles 1) ( ) 2 1 f x

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sin est une primitive de la fonction cos, la fonction f1 : x → 3 4 x4 + 5x2 valle I Alors les primitives de f sont les fonctions de la forme F + k avec k constante

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Primitives et Calcul d'une intégrale I) Primitive 1) Définition : Soit une fonction définie sur un intervalle I On appelle primitive de sur I, toute fonction 

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Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne

Calcul des primitives

Bernard Ycart

L"objectif de ce chapitre est purement technique : la théorie de l"intégration est supposée connue ou admise. Le seul but est d"exposer les principales techniques de calcul des primitives et des intégrales.

Table des matières

1 Cours 1

1.1 Propriétés des intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Primitives et intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Techniques de calcul des primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Primitives des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Applications des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Entraînement 21

2.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5 Corrigé du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Compléments 36

3.1 La quadrature du cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2 Fonctions spéciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3 Intégrales elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4 mai 2012

Maths en LigneCalcul des primitivesUJF Grenoble1 Cours

1.1 Propriétés des intégrales

Toutes les fonctions considérées sont supposées continues, ou continues par mor- ceaux, sur leur intervalle d"intégration, et sont donc intégrables. Nous commençons par résumer les principales propriétés des intégrales.

Théorème 1.

1. Relation de Chasles :

b af(x)dx+? c bf(x)dx=? c af(x)dx .

2. Linéarité :

b a(λf(x) +μg(x))dx=λ? b af(x)dx+μ? b ag(x)dx .

3. Monotonie :

b b ag(x)dx . La relation de Chasles permet d"étendre la définition de l"intégrale au cas où la fonctionfn"est continue que par morceaux sur l"intervalle d"intégration. On intègre séparément chacun des morceaux et on ajoute ensuite les intégrales obtenues. Consi- dérons par exemple la fonctionfqui vautxsix?[0,1]et12 six?]1,2].021/21 1 xf(x)

Figure1 - Exemple de fonction discontinue.

Son intégrale sur l"intervalle[0,2]vaut :

2

0f(x)dx=?

1

0xdx+?

2 112
dx=12 +12 = 1. 1

Maths en LigneCalcul des primitivesUJF GrenobleÀ propos de cet exemple, il est conseillé de ne pas perdre de vue l"interprétation géo-

métrique d"une intégrale : l"intégrale d"une fonction constante positive est la surface d"un rectangle, l"intégrale d"une fonction affine positive ou nulle (du typex?→αx+β) est la surface d"un triangle si la fonction s"annule sur l"une des deux bornes, la surface d"un trapèze dans le cas général. La relation de Chasles reste vraie même si les bornes des intervalles d"intégration ne sont pas dans le bon ordre, ce qui peut arriver après un changement de variable. On convient de changer le signe de l"intégrale quand on échange les bornes. Cette convention est cohérente avec le fait que l"intégrale sur un intervalle de longueur nulle vaut nécessairement0. b af(x)dx+? a bf(x)dx=? a af(x)dx= 0.

La propriété2du théorème (linéarité), dit que l"intégrale est une application linéaire,

de l"espace vectoriel des fonctions intégrables, dansR. On l"utilisera souvent, soit pour mettre en facteur une constante devant l"intégrale, soit pour séparer le calcul en deux intégrales plus simples. Par exemple : π4

0cos2(x)dx=?

π4

01 + cos(2x)2

dx=12 π4

0dx+12

π4

0cos(2x)dx=π8

+14 On peut utiliser la monotonie pour vérifier certains calculs. Par exemple si une fonction

est positive sur l"intervalle d"intégration, son intégrale doit être positive. L"intégrale

d"une fonction positive et non identiquement nulle est même strictement positive : on utilise souvent ce résultat sous la forme suivante. Proposition 1.Soitfune fonction continue sur[a,b]. Si l"intégrale de|f|sur[a,b] est nulle, alorsfest identiquement nulle. b a|f(x)|dx= 0 =?f(x) = 0,?x?[a,b]. L"intégrale peut être encadrée à l"aide du minimum et du maximum defsur l"in- tervalle[a,b]: b x?[a,b]f(x). Si on divise ces inégalités par la longueur de l"intervalle, on obtient : inf b x?[a,b]f(x).

Il faut comprendre

1b-a? b af(x)dxcomme lavaleur moyennede la fonction sur l"in- tervalle. Lethéorème de la moyennedit que cette valeur moyenne est atteinte sur l"intervalle. 2

Maths en LigneCalcul des primitivesUJF GrenobleThéorème 2.Sifest continue sur[a,b], il existec?[a,b]tel que :

1b-a? b af(x)dx=f(c).a b xf(x)Figure2 - Illustration du théorème de la moyenne.

1.2 Primitives et intégrales

Rappelons tout d"abord la définition.

Définition 1.On appelleprimitived"une fonctionf, définie sur un intervalle]a,b[, toute fonction dérivable sur]a,b[, dont la dérivée coïncide avecfsur]a,b[. Etant données deux primitives def, leur différence doit avoir une dérivée nulle, et donc être constante. Deux primitives de la même fonction diffèrent donc par une constante. Pour spécifier une primitive particulière, il suffit de fixer sa valeur en un point. En général, on considère la primitive qui s"annule en un certain point. Elle s"écrit comme une intégrale, grâce au théorème suivant, que nous admettrons. Théorème 3.Soitfune fonction continue sur[a,b], etcun point de l"intervalle[a,b]. On considère la fonctionFc(x), qui àx?[a,b]associe : F c(x) =? x cf(t)dt . AlorsFcest l"unique primitive defqui s"annule au pointc.

Observons l"écriture

?x cf(t)dt, dans laquelle les deux lettrestetxjouent des rôles totalement différents. La lettrexdésigne une borne de l"intervalle d"intégration. Si on la remplace par un réel, par exemple⎷2, on obtiendra un résultat réel : la valeur de la fonctionFcau point⎷2. La variable d"intégrationtest muette. On ne peut pas la remplacer par un réel. Par contre, n"importe quelle autre lettre (saufcetx) pourrait 3

Maths en LigneCalcul des primitivesUJF Grenoblejouer le même rôle. Dans l"écriture des primitives, on évitera toujours de noter avec la

même lettre la variable d"intégration et une des bornes de l"intervalle. Observons que n"importe quelle primitive peut être utilisée pour calculer une intégrale : b af(x)dx=Fa(b) =Fc(b)-Fc(a), par la relation de Chasles. L"intégrale defest donc un accroissement de primitive, qui ne dépend pas de la primitive choisie. On note : b af(x)dx=Fc(b)-Fc(a) =? F c(x)? b a. Il est commode, en particulier pour les changements de variable, de conserver des bornes d"intégration, même quand on ne calcule que des primitives. C"est pourquoi nous continuerons de noter? x cf(t)dtla primitive defqui s"annule enc, même s"il est superflu de fixerc. De notre point de vue, il n"y a donc aucune différence entre les calculs de primitives et les calculs d"intégrales. Il est courant d"exprimer les primitives des fonctions usuelles " à une constante près ». Par exemple, les primitives decos(x) sont toutes les fonctions de la formesin(x) +C, oùCest une constante réelle. Nous

écrirons :

?x ccos(t)dt=? sin(t)? x c= sin(x)-sin(c) = sin(x) +C . Or quandcparcourtR,sin(c)ne prend que les valeurs comprises entre-1et1, tandis queCdésigne une constante réelle quelconque. En pratique, il suffit de trouver une primitive particulière : la variablecne sera qu"un artifice d"écriture. Nous supposerons toujours quecetxsont telles que la fonction soit définie et continue sur l"intervalle [c,x]. Par exemple :?x c1t dt=? ln|t|? x c= ln|x|+C , ce qui suppose que l"intervalle[c,x]ne contient pas0. Dans cette écriture,Cdésigne en fait une fonction, qui est constante sur chaque intervalle où la fonction à intégrer est définie et continue. L"ensemble des primitives de la fonctionx?→1/xest l"ensemble des fonctionsftelles que : f(x) =?ln(x) +C1six >0 ln(-x) +C2six <0, oùC1etC2sont deux réels quelconques. En pratique, pour calculer une primitive d"une fonction donnée, on la ramène à un ca- talogue de primitives usuelles. Ces primitives, que l"on doit connaître, sont rassemblées dans le tableau ci-dessous. Attention : les intervalles de définition ne sont pas précisés. 4 Maths en LigneCalcul des primitivesUJF GrenobleFonctionUne primitive x a(a?R, a?=-1)x a+1a+ 11 x-aln|x-a|e

λx(λ?= 0)1

eλxcos(ωx)(ω?= 0)1 sin(ωx)sin(ωx)(ω?= 0)- 1ω cos(ωx)1 cos

2(x)= 1 + tan2(x)tan(x)1

x

2+ 1arctan(x)cosh(ωx)(ω?= 0)1

sinh(ωx)sinh(ωx)(ω?= 0)1 cosh(ωx)1⎷x

2+ 1ln

?x+⎷x

2+ 1?1⎷x

2-1ln ???x+⎷x

2-1???1⎷1-x2arcsin(x)Nous rappelons dans la section suivante les techniques de base pour le calcul des pri-

mitives, lorsqu"elles peuvent s"exprimer à l"aide des fonctions classiques.

1.3 Techniques de calcul des primitives

La première technique de calcul consiste à utiliser la linéarité pour séparer l"inté-

grale d"une somme en une somme d"intégrales. L"exemple le plus simple est celui des polynômes. x c(t3+ 2t2+ 4t+ 2)dt=14 x4+23 x3+ 2x2+ 2x+C . On peut aussi intégrer des polynômes ensin(x)etcos(x), ou biensinh(x)etcosh(x). On utilise pour cela les formules d"Euler, et les propriétés de l"exponentielle (réelle ou complexe). 5 Maths en LigneCalcul des primitivesUJF Grenoblesin(x) =eix-e-ix2icos(x) =eix+ e-ix2 sinh(x) =ex-e-x2cosh(x) =ex+ e-x2 Le principe est le suivant : tout polynôme ensin(x)etcos(x)est une combinaison linéaire de termes de la formesinn(x)cosm(x), qu"il s"agit delinéariser, en les exprimant eux-mêmes comme combinaisons linéaires de termes ensin(kx)etcos(kx), dont on connaît une primitive. Voici un exemple. sin

4(x)cos6(x) =12

10(eix-e-ix)4(eix+ e-ix)6

11024
(e2ix-e-2ix)4(eix+ e-ix)2 11024
(e8ix-4e4ix+ 6-4e-4ix+ e-8ix)(e2ix+ 2 + e-2ix) 11024
(e10ix-4e6ix+ 6e2ix-4e-2ix+ e-6ix +2e

8ix-8e4ix+ 12-8e-4ix+ 2e-8ix

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