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sin est une primitive de la fonction cos, la fonction f1 : x → 3 4 x4 + 5x2 valle I Alors les primitives de f sont les fonctions de la forme F + k avec k constante
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 1
PRIMITIVES ET
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Tout le cours sur les primitives en vidéo : https://youtu.be/bQ-eS1zZCdw Tout le cours sur les équations différentielles en vidéo : https://youtu.be/qHF5kiDFkW8Partie 1 : Primitive d'une fonction
1) Définition et propriétés
Exemple :
On considère les fonctions et définies par : =2+3 et +3-1Si on dérive , on constate que :
=2+3=Lorsque
=, on dit que est une primitive de . Définition : est une fonction continue sur un intervalle . On appelle primitive de , une fonction , telle que :Remarque :
Dans ces conditions, dire que " est une primitive de » revient à dire que " est la dérivée de ». Méthode : Vérifier qu'une fonction est une primitive d'une autre fonctionVidéo https://youtu.be/7tQqY9Vkmss
Dans chaque cas, dire si est une primitive de . a) 2 2 et b) et (+1). c) ln() et -ln 2Correction
a)2
2Donc est une primitive de .
b) =1× +1Donc est une primitive de .
c) 1×-ln()×1
21-ln()
2Donc n'est pas une primitive de .
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 2Propriété : Deux primitives d'une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d'une
constante.Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/oloWk2F4bI8
Soit et deux primitives de la fonction sur . Alors : '()=() et '()=(). Donc : '()='(), soit ' -'()=0, soit encore (-)'()=0.La fonction - possède une dérivée nulle sur , elle est donc constante sur .
On nomme cette constante. Ainsi :
-()= pour tout de . On en déduit que les deux primitives de diffèrent d'une constante. Propriété : est une fonction continue sur un intervalle . Si est une primitive de alors pour tout réel , la fonction ⟼ + est une primitive de .Démonstration :
est une primitive de .On pose
()+0=Donc est une primitive de .
Exemple :
On a vu dans la méthode précédente que est une primitive de avec : 2 2 etDonc, la fonction définie par
2 2 +5 est également une primitive de .En effet :
2
2 +0== Propriété : Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle. - Démontrée dans le chapitre Intégration - Remarque : Bien que l'existence étant assurée, la forme explicite d'une primitive n'est pas toujours connue. Par exemple, la fonction ⟼ ne possède pas de primitive sous forme explicite. Méthode : Recherche d'une primitive particulièreVidéo https://youtu.be/-q9M7oJ9gkI
Soit la fonction définie sur ℝ* par a) Démontrer que la fonction définie sur ℝ* par est une primitive de . b) Déterminer la primitive de la fonction qui s'annule en =1. Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 3Correction
a) ′ Donc '= et donc la fonction est une primitive de . b) On cherche la primitive de la fonction qui s'annule en =1, soit : 1 =0. Si est une primitive de alors : +, où est un nombre réel.Donc :
1 1Et donc :
1 +=0Soit :
+=0 +=0 La primitive de la fonction qui s'annule en =1 est telle que :2
2) Primitives des fonctions usuelles
Fonction Une primitive
-1;0 1 +1 1 1 avec >0 ln() 2 cos() sin() sin() -cos()3) Linéarité des primitives
Propriété :
Si est une primitive de et est une primitive de alors : - +est une primitive de +, - est une primitive de ,avec réel.Démonstrations :
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 4Méthode : Déterminer une primitive (1)
Vidéo https://youtu.be/GA6jMgLd_Cw
Vidéo https://youtu.be/82HYI4xuClw
Vidéo https://youtu.be/gxRpmHWnoGQ
Dans chaque cas, déterminer une primitive de la fonction . a) -2 b) =3 1 c) 1 5 d) 3 sur0;+∞
e) =-sin() f) 2Correction
a) 1 4 -2 b) =3 1 =3 2 -3× donc -3×S- 1T=
3 c) 1 5 1 -4 14
4 d) 3 =3× 1 =3ln() Remarque : L'intervalle de recherche de la primitive est0;+∞
, car la fonction est définie pour des valeurs strictement positive. e) =-sin() -cos =cos() f) 2 =2× 1 =2×2 =44) Primitives de fonctions composées
est une fonction dérivable sur un intervalle I.Fonction Une primitive
-1;0 1 +1 2 avec >0 ln() cos() sin() sin() -cos() Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 5Méthode : Déterminer une primitive (2)
Vidéo https://youtu.be/iiq6eUQee9g
Dans chaque cas, déterminer une primitive de la fonction . a)2-5
-5+4 b) 4. c) d) =cos5
-3sin3-1
Correction
a)2-5
-5+4 du type ′ , avec =2.En effet :
-5+4 → =2-5Une primitive de ′
est de la formeSoit :
1 3 -5+4 b) 4. 4. du type 5 5En effet :
+1→ =2Une primitive de
5 5 est de la forme 2Soit :
1 2 ×2 +1= +1 c) 1 3×3
du type ′En effet :
=3Une primitive de ′
est de la formeSoit :
1 3 d) =cos5
-3sin3-1
1 5×5cos
5
-3sin3-1
Donc
1 5×sin
5
+cos3-1
Partie 2 : Équations différentielles
1) Définition d'une équation différentielle
Définition : Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction et
où interviennent des dérivées de cette fonction.Exemples :
a) L'équation =5 est une équation différentielle.L'inconnue est la fonction .
En considérant que est la fonction inconnue qui dépend de , l'équation différentielle peut
se noter : =5 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 6 b) L'équation =2 -3 est également une équation différentielle. L'inconnue est la fonction dont la dérivée est égale à 2 -3.2) Équation différentielle du type '=
Définition : Soit une fonction définie sur un intervalle .La fonction est une solution de l'équation différentielle '= si et seulement si
Propriété :
Dire que est une primitive de , revient à dire que est une solution de l'équation
différentielle '=.En effet, '=.
Méthode : Vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielleVidéo https://youtu.be/LX8PxR-ScfM
Prouver que la fonction définie sur
0;+∞
par =3 +ln est solution de l'équation différentielle =6+Correction
=3×2+ 1 =6+ 1 Donc, est solution de l'équation différentielle : =6+3) Équations différentielles du type '=
Propriété : Les solutions de l'équation différentielle '=, ∈ℝ, sont les fonctions de la
forme ⟼ 0# , où est une constante réelle quelconque.Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/FQlxi8JKmg4
• Soit la fonction définie sur ℝ par 0# , où est un réel.Alors,
0# 0#Donc
est donc solution de l'équation différentielle '=.• Réciproquement, soit une solution de l'équation différentielle '=.
Et soit la fonction définie sur ℝ par &0# est dérivable sur ℝ et on a : &0# &0# Comme est solution de l'équation différentielle '=, on a : 'Ainsi :
&0# &0# Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 7 &0# &0# =0. La fonction est donc égale à une constante réelle , soit : &0#Et donc :
0# Méthode : Résoudre une équation différentielle du type '=Vidéo https://youtu.be/YJNHTq85tJA
On considère l'équation différentielle 3 +5=0.1) a) Déterminer la forme générale des fonctions solutions de l'équation.
b) Représenter à l'aide de la calculatrice ou d'un logiciel, quelques courbes des fonctions solutions.2) Déterminer l'unique solution telle que
1 =2.Correction
1) a) 3
+5=03
=-5 5 3 Les solutions sont les fonctions de la forme : ⟼ b) Pour différentes valeurs de , on obtient :2) est solution de l'équation différentielle, donc de la forme :
Donc
1Or,
1 =2. Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 8Donc :
=2 =2 2 =2Et donc :
=2 =2 =2Propriété : Si et sont deux solutions de l'équation différentielle '=, ∈ℝ,
alors + et ,∈ℝ,sont également solutions de l'équation différentielle.
Démonstrations :
4) Équations différentielles du type '=+
Propriété : La fonction ⟼-
7 8 est solution de l'équation différentielle'=+ (≠0). Cette solution est appelée solution particulière constante.
Démonstration :
On pose :
7 8 . Alors =0.Or,
+=×S-T+=-+=0=
Donc :
est donc solution de l'équation différentielle '=+.Propriété : Les solutions de l'équation différentielle '=+ (≠0)sont les fonctions
de la forme ⟼ 0#quotesdbs_dbs5.pdfusesText_10