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a f(x)dx, est le réel F(b) − F(a) o`u F est une primitive quelconque de f sur I 15 Page 2 3 2 Linéarité C'est l'utilisation
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1) Définition : Soit ࢌ une fonction définie sur un intervalle I.
On appelle primitive de ࢌ sur I, toute fonction ࡲ dérivable sur I dontExemple :
ͷݔ -. Les fonctions ܨ et ܩ définies sur IR par ܨPreuve :
Soit ܩ une primitive de ݂ sur ܫ. On a donc ܩ݇ où ݇ IR.
Si la fonction ݂
admet une primitive sur un intervalle ܫ݇, alors dans un repère
représentative de ܨ b) Primitive prenant une valeur donnée en un réel donné :Propriété :
Soit ࢌ une fonction définie sur un intervalle ࡵ. On suppose que ࢌ admet des primitives sur ࡵ. Soit ࢞ et ࢟ deux réels tels quePreuve :
La fonction ݂ admet des primitives, soit ܩ
De plus on a ܨ
݇ = 0 donc ܨ = ܪ
La fonction ࡲ
est donc bien unique.Exemple :
Soit ݂ la fonction définie pour tout ݔ ג Déterminer la primitive ܨ de ݂ telle que ܨ On vérifie facilement que les primitives de ݂ sont ܨSi on veut ܨ
La primitive cherchée est donc ܨ
3) Primitives des fonctions usuelles :
Soit ܥ un réel quelconque. ݂ est définie sur ܫ ࢞ IR ࢞( IR ࢞ ] - ; 0 [ ou ] 0 ; +[ ou ] 0 ; +[ξ࢞ ξ࢞ ] 0 ; +[
ࢋ࢞ ࢋ࢞ + IR4) Primitives et opérations sur les fonctions :
Propriétés de linéarité :
Soit ࡲ et ࡳ des primitives respectives des fonctions ࢌ et ࢍ sur un intervalle I alors : ł F + G est une primitive de la fonction ࢌ + ࢍ sur ࡵ ;ł Pour tout réel , ࡲ est une primitive de la fonction ࢌ sur ࡵ.
௫െ -ݔ sont sur ] 0 ; +[ :Թ Primitives et composées de fonctions
Soit ݑ une fonction définie et dérivable sur un intervalle ܫAucune condition
particulière ࢛ᇱࢋ࢛ ࢋ࢛ + Aucune condition particulièreExemples :
௫మ ݁భೣ ; I = ]0 ; +[.Réponses :
௫మିଵ en utilisant la formule ࢛ᇲ Si ࢌ est une fonction continue sur un intervalle ࡵ et si ࢇ est un réel dePreuve :
Cas où f est une fonction continue et croissante sur I.Soit ݔ un réel de
ܫ et soit h tel que ݔ+ ݄ appartienne à ܫDonc ܨ est dérivable sur ܫ
On peut faire une démonstration équivalente lorsque f est continue et décroissante sur I . Déterminer le sens de variation de ܨ sur IR. మାଵ qui s µMQQXOH HQ ݔ ൌ - Donc ܨ ଵݐ Déterminer le sens de variation de ܨRéponse : ܨ
௫ qui s µMQQXOH HQ ݔ ൌ ͳ Donc ܨRemarque ܨ
2) Intégrales et primitives :
Propriété :
Soit ࢌ une fonction continue sur un intervalle ࡵ, ࢇ et ࢈ sont deux réels de ࡵ.
Soit ࡲ une primitive de ࢌ sur ࡵ. On a