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Facult´e des Sciences Semlalia

D epartement de Physique

Travaux Pratiques

M´ecanique Analytique : Pendules Coupl´es

S5 - SMP

M. EL KACIMI

Septembre 2015

MANIPULATION1

Pendules couplés

1.1Introduction

Le syst`eme des deux pendules coupl´es, que l"on appelle aussi double oscilloscope pendulaire, est constitu´e de deux pendulesAetBidentiques, fi- gure 1.1 oscillant dans des plans parrall`eles et succeptibles d"ˆetre ´elastiquement reli´e par un fil de torsion. Ce dispositif permet de r´ealiser, sur les syst`emes pendulaires, tout en un en- semble de manipulations qui int´eressent nombre de domaines en physique. Nous nous int´eresse- rons dans la premi`ere partie de cette manipu- lation `a l"´etude d"un pendule pesant, en d´eter- minant son moment d"inertie, et `a l"´etude de la variation de sa p´eriode d"oscillations en fonction du moment d"inertie, d"une part, et du couple appliqu´e, d"autre part.

Figure1.1 -

Nous mesurerons ensuite la constante de torsion du fil. La deuxi`eme partie de cette manipulation sera r´eserv´ee `a l"´etude du ph´enom`ene de battement. 3

Pendules coupl´es

Le d´eveloppement th´eorique de la description de la dynamique aussi bien d"un pendule pesant que celle des deux pendules coupl´es par le filde torsion se fera `a l"aide du formalisme de Lagrange.

1.2PartieThéorique:Aprépareretàrendrelorsdelaséancedes TP

On ´etudie le mouvement du penduleAdans le r´ef´erentiel du laboratoire consid´er´e comme un rep`ere galil´een. La rotation deAa lieu dans le plan verticalOxyautour de

Oz, que l"on notera Δ.

1.2.1Pendule pesant

On consid`ere le seul penduleAdont les barreauxb1etb2sont mis `a ´egale distance ade l"axe de rotation Δ.

Equilibre indifférent

Pour r´ealiser l"´equilibre indiff´erent, il suffit de maintenir le pendule `a vide dans la position horizontale et jouer sur la massePjusqu"`a ce que celui-ci reste en ´equilibre. Notons parGhle centre de gravit´e de la partie du pendule `a vide situ´ee en haut de l"axe de rotation et parMhsa masse, parGbcelui de la partie basse du pendule et parMb sa masse. Le pendule `a vide est en ´equilibre indiff´erent implique que les moments par rapport `a Δ

MΔ(Mh?g) +?MΔ(Mb?g) = 0.

Aussi, lorsque l"on accroche les massesm1etm2, les moments par rapport `a Δ non nuls lorsque le pendule est en mouvement sont ceux de?m1?get dem2?g.

Moment d"inertie

On accroche une massem1au barreaub1et une massem2au barreaub2du pendule

Adont on a pr´ealablement r´ealis´e l"´equilibre indiff´erent. On note parI0son moment

d"inertie. Le th´eor`eme d"huyguens permer d"´ecrire

I=I0+m1a2+m2a2=I0+ (m1+m2)a2

Equation du mouvement

Le syst`eme (Σ

1) form´e par le pendule et les deux masses suspendues peut ˆetre consi-

d´er´e comme un solide en rotation autour de l"axe Δ. Le nombre de degr´es de libert´e est

ainsi ´egal `a 1. L"on note parθ1l"angle qui rep`ere la rotation de (Σ1), que l"on prend comme coordonn´ee g´en´eralis´ee.

1.2 Partie Th´eorique : A pr´eparer et `a rendre lors de la s´eance des TP5

Question 1

Calculer l"´energie cin´etique et l"´energie potentiellede (Σ1). En d´eduire l"expression

de son lagrangien.

Question 2

Etablir les ´equations du mouvement et montrer que dans le cas de l"approximation des petites oscillations, la p´eriode est donn´ee par

T= 2π?

I0+ (m1+m2)a2

(m2-m1)ga

Pendule de torsion

On place les mandrins `a une distancelet on les serre sur un fil de torsion de diam`etre d.On bloque le penduleB. Le penduleAest un pendule de torsion. SoitCla constante de torsion

1. Rappelons que lorsqueAoscille d"un angleθ1, le fil d´eveloppe un couple de

torsionMT=-Cθ1et l"´energie potentielle associ´ee est ´egale `aVT=1

2Cθ21. On accroche

deux masses ´egalesm1=m2=mrespectivement aux barreauxb1etb2.

Question 3

R´e´ecrire les ´equations de Lagrange de (Σ

1) et ´etablir l"´equation du mouvement et

montrer que la p´eriode d"oscillation est ´egale `a

T= 2π?

I0+ 2ma2

Phénomène des battements

C"est un cas particulier des syst`emes coupl´es mais tr`es important. Ce cas est r´ealis´e en op´erant de fa¸con telle que les pendulesAetBsoient toujours identiques. On accroche une massemsur chacun des barreauxb2des deux pendules. La constante de torsion du fil Cest connue ainsi que le moment d"inertie propre identique aux deux pendules,I0. Par

sym´etrie, le mouvement du penduleBsera r´ep´er´e parθ2. On consid`ere le syst`eme form´e

par (Σ) = (A?B) dont l"´energie potentiel estV(θ1,θ2) =mga(1-cosθ1) +mga(1- cosθ2)-1

2C(θ1-θ2)2.

1. On note que la constante de torsionCvarie en fonction delet dedcomme suit

C=γd4

l o`u le coefficientγest appel´e le module de Young.

Pendules coupl´es

Question 4

Etablir l"expression de l"´energie cin´etique deBet d´eduire le Lagrangien de (Σ),

L(θ1,θ2,θ1,θ2).

Question 5

Etablir le syst`eme d"´equations de mouvement deAet deB.

Question 6

Que deviennent ces ´equations dans le cadre de l"approximation des petites oscilla- tions? On poseθ+=θ1+θ2,θ-=θ1-θ2,ω2+=(m2-m1)ga i-Retrouver les ´equations enθ+etθ-et leurs solutions. et montrer que

1(t) =A1sin(ω+t-?+) +A2sin(ω-t-?-)

2(t) =A1sin(ω+t-?+)-A2sin(ω-t-?-)

ii-Montrer que si le penduleBest bloqu´e, le mouvement deAest sinusiodal. iii-On prendm1= 0 etm2=m. Montrer que siθ1(t= 0) = 0,θ1(t= 0) = 0,

2(t= 0) =θ0etθ2(t= 0) = 0, nous assistons `a un mouvement de battements

dont la p´eriode 2est T bat=T1 ⎷1 +K-⎷1-K o`uT1d´esigne la p´eriode du penduleAlorsqueBest bloqu´e etKest le coefficient de couplage d´efini par K=C

C+mga.

Indication : Retrouverθ+(t)etθ-(t)avec ces conditions intiales et d´eduireθ1(t) etθ2(t)

2. La p´eriode de battement est le temps qui s"´ecoule entre deux arrˆets successifs du pendule.

1.3 Partie pratique7

1.3Partie pratique

1.3.1But de la manipulation

La manipulation est divis´ee en deux parties. Dans la premi`ere, l"objectif est de a-mesurer le moment d"inertie d"un pendule pesant; b-´etudier l"effet du couple de rappel et du moment d"inertie surla p´eriode d"oscil- lations. c-mesurer la constante de torsionC. La deuxi`eme partie de cette manipulation consiste `a ´etudier le ph´enom`ene des battements entre deux pendules identiques coupl´es par un fil de torsionet de comparer la p´eriode de battements mesur´ee `a celle pr´evue th´eoriquement.

1.3.2Equilibre indifférent

Placer les barreauxb1etb2`a une distanceade l"axe de rotation et ce pour les deux pendulesAetB. Maintenir le penduleAhorizontalement et jouer sur la masselotteP

jusqu"`a ce que le pendule se met en ´equilibre indiff´erent.Refaire la mˆeme op´eration pour

le penduleB.

1.3.3Moment d"inertie propreI0d"un pendule pesant

Bloquer le penduleB. Accrocher une massemau barreaub2du penduleAet mesurer

10Tde ses oscillations. Remplir le tableau suivant

Massem(Kg)10T(s)Moment d"inertieErreur surI0:σI0

I0=T24π2mga-ma2

0.5 1.0 1.5 2.0 i-Rappeler l"expression de l"estimation deI0par la m´ethode du maximum de vrai- semblance. ii-A partir du tableau, calculer l"estimation deI0par la m´ethode du maximum de vraisemblance et de son erreur. La valeur estim´ee deI0sera utilis´ee dans la suite de la manipulation.

1.3.4Influence du moment d"inertie sur la période

Le penduleBest toujours bloqu´e. Accrocher une massem1au barreaub1et une massem2au barreaub2. On choisit les valeurs des masses de mani`ere `a ce quem2-m1 soit constant. Remplir le tableau suivant

Pendules coupl´es

Massem1(Kg)Massem2(Kg)10T(s)Moment d"inertie(Kgm2)T2

I(s2(Kgm)-12)I=I0+ (m1+m2)a2

1.00.5

1.51.0

2.01.5

2.52.0

i-Pourquoi on choisitm2-m1constant? ii-Comment doit ´evoluer dans le tableau le rapportT2

I? Commenter.

1.3.5Influence du moment de rappel(m2-m1)gasur la période

Le penduleBest toujours bloqu´e. Accrocher une massem1au barreaub1et une massem2au barreaub2. On choisit les valeurs des masses de mani`ere `a ce quem2+m1 soit constant. Remplir le tableau suivant Massem1(Kg)Massem2(Kg)10T(s)Moment de rappel (SI)T2(m2-m1)ga(SI) (m2-m1)ga

2.20.3

2.00.5

1.80.7

1.60.9

i-Pourquoi on choisitm2+m1constant? ii-Comment doit ´evoluer dans le tableau la quantit´eT2(m2-m1)ga? Commenter.

1.3.6Pendule de torsion

Le penduleBest bloqu´e. On place les mandrins `a la distancel1l"un de l"autre et on les serre tr`es fortement sur le fil de torsion de diam`etred1. Détermination de la constante de torsionCdu fil Accrocher la mˆeme massemsur les barreauxb1etb2du penduleA.3Faire osciller le penduleAet mesurer la p´eriodeT. Remplir le tableau suivant :

3.m2=m1=m.

1.3 Partie pratique9

Massem(Kg)10T(s)Constante de torsion (SI)Erreur surC

C=T24π2(I0+ 2ma2)σC

1.0 1.5 2.0 2.5 A partir du tableau, estimer par la m´ethode du maximum de vraisemblance la valeur de la constante de torsion du filCet son erreurσC.

1.3.7Phénomène de battements

On serre les deux mandrins `a la distancel1l"un de l"autre. On op`ere toujours de mani`ere que les deux pendules soient identiques. La constante de torsion du fil ´etant celle estim´ee auparavant. On accroche une massemsur les barreauxb2des deux pendulesAetB. On bloque le penduleB, on fait osciller le penduleAet on mesure sa p´eriodeT1. On lib`ere le pendule Bet on r´ealise les conditions initiales donnant lieu au ph´enom`ene des battements : on lache le penduleB`a un angleθ2(t= 0) =θ0petit et ce sans vitesse initiale; le pendule A´etant dans sa position verticale,θ1= 0. On mesure la p´eriode des battementsTbatqui s´epare deux arrˆets successifs du penduleA. Remplir le tableau suivant : Massem(Kg)10T1(s)Coef. de couplageT1⎷1+K-⎷1-KP´eriode de battements

K=C/(C/mga)Tb(s)

1.0 1.5 2.0 2.5

Comparer la p´eriode de battements mesur´eeTb`a la valeur pr´evue th´eoriquementT1⎷1+K-⎷1-K.

Commenter.

Que devientTbsi

i-SiC >> mga? ii-SiC << mga?

Conclure.

Pendules coupl´es

Annexe I : Erreurs et leurs propagations

Nous admettrons les r´esultats qui seront donn´es dans ce paragraphe sans d´emons- tration.

Erreur sur les longueurs

Si la longueur est mesur´ee avec une r`egle dont la plus petite graduation est 1mm, alors l"erreur sur la mesureσlest donn´ee par l=1 ⎷12mm.

Erreur sur la mesure du temps

Un chronom`etre sera utilis´e pour relever les mesures de dur´ee de temps demand´ees.

On d´eclenche et on arrˆete aussitˆot le chronom`etre et soitδtle temps qui s"´ecoule aucours

de cette op´eration. L"erreur sur la mesure d"un intervallede temps est alors t=δt ⎷12.

Propagation des erreurs

Supposons que l"on a effectu´eNmesuresxiind´ependantes, chacune ´etant entach´ee d"une erreurσi. SoitGune grandeur que l"on calcule `a partir de ces mesures telle que G=f(x1,···,xn),f´etant d´erivable. L"erreur surGest donn´ee par

G=????

N? i=1? ∂f ∂xi? 2 2i

1.3 Partie pratique11

Annexe II : Quelques méthodes d"estimation

Nous allons pr´esenter dans cette annexe sans d´emonstration deux m´ethodes d"esti- mation : la m´ethode du maximum de vraisemblance et la m´ethode des moindres carr´es dans le cas lin´eaire qui nous int´eresse dans cette manipulation.

Méthode du maximum de vraisemblance

Supposons que l"on cherche `a estimer une grandeurGen la mesurantNfois; chacune des mesuresxiest entach´ee d"une erreurσi4. L"estimation deGpar la m´ethode du maximum de vraisemblance est donn´ee par G=? N i=1x i

σ2i?Ni=11

σ2i

et l"erreurσGsurGs"obtient comme suit G=1 ??Ni=11

σ2i.

Remarques

Si tous lesxisont entach´es de la mˆeme erreur, c"est `a direσi=σ?i, alors l"estimation deG

n"est d"autre que la moyenne arithm´etique G=1 NN i=1x i et l"erreur est donn´ee par

G=σ

⎷N.

4. Voir l"annexe sur la propagation des erreurs.

Pendules coupl´es

Exemple

D´etermination du moment d"inertie propreI0du pendule : On accroche une massem2=mau barreaub2du penduleAet on mesure sa p´eriodeT. On en d´eduit la valeur deI0. On r´ep`ete la manipulationNfois en changeant les valeurs demet on en d´eduitNvaleurs deI0. On cherche `a estimer la valeur deI0en utilisant la m´ethode du maximum de vraisemblance.

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M´ecanique Analytique : Pendules Coupl´es

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Septembre 2015

MANIPULATION1

Pendules couplés

1.1Introduction

Figure1.1 -

Pendules coupl´es

1.2PartieThéorique:Aprépareretàrendrelorsdelaséancedes TP

Oz, que l"on notera Δ.

1.2.1Pendule pesant

Equilibre indifférent

MΔ(Mh?g) +?MΔ(Mb?g) = 0.

Moment d"inertie

I=I0+m1a2+m2a2=I0+ (m1+m2)a2

Equation du mouvement

Le syst`eme (Σ

1) form´e par le pendule et les deux masses suspendues peut ˆetre consi-

1.2 Partie Th´eorique : A pr´eparer et `a rendre lors de la s´eance des TP5

Question 1

Question 2

T= 2π?

I0+ (m1+m2)a2

Pendule de torsion

1. Rappelons que lorsqueAoscille d"un angleθ1, le fil d´eveloppe un couple de

2Cθ21. On accroche

Question 3

1) et ´etablir l"´equation du mouvement et

T= 2π?

I0+ 2ma2

Phénomène des battements

2C(θ1-θ2)2.

1. On note que la constante de torsionCvarie en fonction delet dedcomme suit

C=γd4

Pendules coupl´es

Question 4

L(θ1,θ2,θ1,θ2).

Question 5

Question 6

1(t) =A1sin(ω+t-?+) +A2sin(ω-t-?-)

2(t) =A1sin(ω+t-?+)-A2sin(ω-t-?-)

2(t= 0) =θ0etθ2(t= 0) = 0, nous assistons `a un mouvement de battements

C+mga.

2. La p´eriode de battement est le temps qui s"´ecoule entre deux arrˆets successifs du pendule.

1.3 Partie pratique7

1.3Partie pratique

1.3.1But de la manipulation

1.3.2Equilibre indifférent

1.3.3Moment d"inertie propreI0d"un pendule pesant

10Tde ses oscillations. Remplir le tableau suivant

I0=T24π2mga-ma2

1.3.4Influence du moment d"inertie sur la période

Pendules coupl´es

I(s2(Kgm)-12)I=I0+ (m1+m2)a2

1.00.5

1.51.0

2.01.5

2.52.0

I? Commenter.

1.3.5Influence du moment de rappel(m2-m1)gasur la période

2.20.3

2.00.5

1.80.7

1.60.9

1.3.6Pendule de torsion

3.m2=m1=m.

1.3 Partie pratique9

C=T24π2(I0+ 2ma2)σC

1.3.7Phénomène de battements

K=C/(C/mga)Tb(s)

Commenter.

Que devientTbsi

Conclure.

Pendules coupl´es

Annexe I : Erreurs et leurs propagations

Erreur sur les longueurs