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Irrationalité de π Introduction Constante parmi les constantes, π justifie, par sa richesse, qu'on lui consacre des ouvrages entiers Rapidement présentée dès 

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non-nuls(p,q)?N? Pn= ?Z

Ond´efinitl"int´egrale

In= In= ?1

0tnf(t)dt

1 Jn= ?1-1⎷n0tnf(t)dt Kn= ?1

1-1⎷ntnf(t)dt

θn=n?1

In(x)=?x

Sn(x)-----→n→+∞F(x)

(Un-U).

P=n?i=0?

n i? ?k≥0akXkavec: ak= ?0sik??[[n,2n]] (-1)k-nn!? n k-n? p2n-kqk-nsik?[[n,2n]]

D"apr`eslaformuledeTaylor,ak=

P(k)n(0)=k!ak=(-1)k-nk!n!?

n k-n?

Pn(p/q-X)=1n!(p/q-X)n?

p-q(p/q-X)?n=

1n!(p-qX)nXn=Pn(X)

(-1)kP(k)n(p/q-X)=P(k)n(X) obtient |In|≤1n!?pq0tnpndt=p2n+1n!qn≤ p2n+1n! In= -costPn(t)+sintP? n(t)+costP?? n(t)-sintP(3) n(t)costP(4) 0+ (-1)n?π

0P(2n+1)n(t)costdt

In= -costPn(t)+costP?? ?u(x)=f(t)u?(x)=f?(t) v?(x)=tnv(x)=tn+1n+1

MPSI25DL6In=

?tn+1n+1f(t)?1 0-

1n+1?1

0tn+1f?(t)dt=1n+1?

f(1)-?1

0tn+1f?(t)dt?

???1

0tn+1f?(t)dt???≤?1

0tn+1|f?(t)|dt≤M1?1

0tn+1dt=M1n+2

Onmajorealors|In|:

|In|≤?1

0tn|f(t)|dt≤?1

0tnM0dt=M0n+1-----→n→+∞0

ilvientquenJn-----→n→+∞0. c.Soitn?N. |θn|≤?1

1-1⎷ntn|ε(t)|dt

|θn|≤nn+1? tn+1?1 d.

´Ecrivonspourn?N,

nKn=n?1

1-1⎷ntn?

f(t)-f(1)?dt+nf(1)?1

1-1⎷ntndt

=θn+ nn+1f(1)?tn+1n+1?1

1-1⎷n=θn+

nn+1?

1-e(n+1)ln(1-1⎷n)?

nKn-----→n→+∞f(1).

MPSI26DL6e.Puisque?n?N,

nIn=nJn+Kn-----→n→+∞f(1) etquef(1)?=0,ontrouvequeIn≂ ?u(x)=f(t)u?(x)=f?(t) v?(x)=tnv(x)=tn+1n+1 In= f(t)tn+1n+1?1 0-

1n+1?1

0tn+1f?(t)dt=-1n+1?1

0tng(t)dt

0tng(t)dt≂n→+∞g(1)n

etpar |In(x)|≤?x

0tn|f(t)|dt≤M0?x

0tndt=M0xn+1n+1

Sn(x)=n?k=0?x

0tkf(t)dt=?x

0?n?k=0tk?

f(t)dt

1-tn+11-t

Parcons´equent,

Sn(x)=?x

01-tn+11-tf(t)dt=?x

0f(t)1-tdt-?x

0tntf(t)1-tdt

tf(t)1-t|,onmajore ???x

0f(t)1-tdtQ11Soitx?[0,1[,

F(x)=?x

01+t1+t2dt=?x

0dt1+t2+

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