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a) par la méthode classique de la statique b) par le théorème des travaux virtuels On vérifie aisément que {S} est isostatique a) Application du PFS (fig 2) ∑F =0

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, on retrouve la loi des aires relativement au mouvement de Kepler 5 3 2 Existence de liaisons non holonomes-multiplicateurs de Lagrange Le théorème des 

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Université du Maine - Faculté des Sciences ! Retour Sujet IV - Théorème des travaux virtuels. Forces généralisées.

4.1 Enoncé.

Soit les forces suivantes :

iF: force donnée (connue) dont la loi de comportement est donnée, iR: réaction (inconnue auxiliaire), i f: force d'inertie relative à la masse m i de M i

iiirmf!!-= (i fixé, sans sommation). La deuxième loi de Newton, ou RFD donne : iiiirmRF!!=+, i fixé ou encore :

fixéiàM0fRF iiii

(principe d'équilibre généralisé ou principe de d'Alembert). On a évidemment pour un déplacement virtuel

irδ (à t figé) : ()[]N,1:imueti0r.fRFiiii=δ++

en raison de la nullité de la somme ( ) : c'est l'expression du théorème des travaux virtuels.

4.2 Forces généralisées.

A l'aide des équations de transformations :

ssi i qqrrδ =δ, le théorème des travaux virtuels devient : ssi i si i si iiiii qqr.fqr.Rqr.Fr.fRF0δ)) soit en posant : si is qr.fδδ=? : force d'inertie généralisée, si is qr.FQδδ= : force donnée généralisée, si is qr.Rδδ=? : réaction généralisée, on obtient le théorème des travaux virtuel en coordonnées généralisées : []n,1:smuets0qQ ssss

Remarque importante

: s'il existe des liaisons non holonomes alors : ()0Q sss ≠?++? car les s qδsont liés par ces liaisons

non holonomes (dans l'exemple du cerceau roulant et pivotant il y a deux liaisons non holonomes donc seulement n-r' = 5-2 = 3

variations s qδ indépendantes alors qu'il existe n = 5 coordonnées généralisées q s indépendantes).

C'est seulement dans le cas d'absence de liaisons non holonomes qu'on pourra écrire : ().holonomestoutesliaisons0Q

sss

V - Equations de Lagrange.

5.1 Remarque analytique de Lagrange.

Soit à démontrer :

si si qr qr

Equations de transformations :

()t,q,rr sii dont les dérivées donnent : []n,1:kmuetktrqqrr i k ki i

Les quantités

ki qr et tr i sont fonction des q k et éventuellement du temps mais non des k q! d'où : Université du Maine - Faculté des Sciences ! Retour Sujet sikski si qr qr qr avec ks

δ indice de Kronecker. On a bien :

si si qr qr

5.2 Identités de Lagrange.

Pour i fixé on peut écrire :

si ii si ii si iiis qr dtd.rmqr.rmdtd qr.rm!!!! or : si si qr qr d'où : si iisi iiis qr dtd.rmqr.rmdtd!!!! On suppose les dérivées secondes continues donc : i si ssirqdtrd qqr dtd!∂∂=)) ∂∂ soit : ()i siisi iiisrq.rmqr.rmdtd!!!!!∂∂-)) 2rm q2rm qdtd 2 ii s2 ii sis Par définition l'énergie cinétique du système s'écrit : N 1i2 ii 2rmT! . Par sommation sur i on obtient les identités de Lagrange : sss qT qT dtd

5.3 Equations du mouvement avec 0=?

ss qδ (liaisons parfaites).

5.3.1 Liaisons toutes holonomes (l.h).

Le théorème des travaux virtuels en coordonnées généralisées s'écrit : ()[]n,1:smuets0qQ ssss Or ici les liaisons sont toutes holonomes donc les variations s qδ sont indépendantes, comme 0q ss =δ? la condition d'indépendance se traduit par : 0Q ss soit, à l'aide des identités de Lagrange : sss QqT qT dtd=∂∂-))

Remarque : la condition de liaisons parfaites

0q ss =δ? avec des liaisons toutes holonomes (donc s qδ indépendants) conduit à 0 s ce qu'on vérifie facilement, par exemple, sur le pendule simple avec ?=q : 0qr.R=∂∂=? R n'étant autre que la tension exercée par le fil du pendule sur la masse m.

Forces dérivant d'un potentiel

ss qVQ∂∂-= , avec : ()t,q,VV s =, V ne dépendant pas des s q!,

Alors on peut écrire :

0qVT qVT dtd ss

Lagrangien

: ()()()t,qVt,q,qTt,q,qL sssss -=!!, homogène à une énergie. En introduisant le lagrangien dans l'expression précédente on obtient les équations de Lagrange 0qL qL dtd ss Université du Maine - Faculté des Sciences ! Retour Sujet

Impulsion généralisée :

ss qLp!∂∂= qui s'identifie avec les composantes de la quantité de mouvement si les s q sont les coordonnées cartésiennes.

Les équations de Lagrange se réécrivent avec les impulsions généralisées sous la forme très condensée :

ss qLp∂∂=!

Coordonnées cycliques

q : si le lagrangien ne dépend pas de la coordonnée q on dit alors que q est une coordonnée cyclique (invariance du lagrangien par rapport à q). Cette invariance a une importance fondamentale : ?=?=∂∂p0p0qL! est une constante du mouvement. Exemple : loi de force centrale. L'angle θ n'intervient pas dans le lagrangien ce qui entraîne Ctep= , on retrouve la loi des aires relativement au mouvement de Kepler.

5.3.2 Existence de liaisons non holonomes-multiplicateurs de Lagrange.

Le théorème des travaux virtuels en coordonnées généralisées, avec des liaisons parfaites, s'écrit :

()0qQ sss =δ+? (1)

Les δq

s vérifient les r' relations non holonomes : 0a s qls =δ avec : []'r,1?" et r'Les (δq 1 ,...δq r' ) seront dépendantes des (n-r') autres, les δq r'+1 ,...δq n

étant alors indépendantes.

On multiplie par λ

l chacune des l.n.h (2) et on ajoute le résultat à l'expression (1) : ()()0qQa ssss (3)

il y a n (...+(...)) parenthèses extérieures contenant chacune (r'+1) termes, soit en développant :

()()()()0qQa...a...qQa...a nnnn'r'rn111111'r'r111

Prenons arbitrairement égaux à zéro les coefficients des variations dépendantes, on obtient alors r' équations à r' inconnues

l tels que : ()0Qa sss []'r,1s? (4a) il ne reste alors dans la somme (3) que les termes relatifs aux quantités indépendantes : δq r'+1 ,...δq n, et ces termes doivent être tous nuls afin d'assurer l'indépendance des δq s , ([]n,1'rs+?), soit : ()0Qa sssquotesdbs_dbs5.pdfusesText_9