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1 DYNAMIQUE - ÉNERGIE - corrigé des exercices A. EXERCICES DE BASE I. Énergie cinétique 1. • Pendant le choc, quasi-instantané, la vitesse est horizontale donc le poids ne travaille pas ; en outre la vitesse est toujours per-pendiculaire à la tension du fil et cette tension ne trava ille donc jamais. Au total lʼénergie cinétique du point matériel M reste cons-tante et la norme du vecteur vitesse est conservée. • Compte tenu de la q uasi-instantanéité du choc, on peut considérer que la vitesse reste horizon tale (perpendiculaire à la portion extrême du fil), donc le vecteur vitesse est conservé lors du choc. 2. • Le problème se ramène à celui dʼune fronde de longueur L = ℓ - d dont le mobile est lancé dans la position dʼéquilibre avec une vitesse v0 qui est celle atteinte par M lors du choc. ◊ remarque : ceci suppose quʼon néglige le "raccourcissement" progressif du fil dû à son enroulement sur une tige de diamètre non nul (on néglige le diamètre de la tige) ; mais le raisonnement ainsi obtenu est correct même si cela change légèrement les coefficients numériques des formules... • Dʼaprès le théorème de lʼénergie cinétique entre lʼinstant initial et lʼinstant du choc, lʼénergie cinétique atteinte est : Ec = !
1 2 mv02 = mgℓ ; par suite : v0 = 2g!. • De même, dʼaprès le théorème de lʼénergie cinétique entre lʼinstant du choc et un instant quelconque précédant le passage au sommet : !
1 2 mv2 - ! 1 2mv02 = -mgL.[1 - cos(θ)] et en particulier lors du passage au sommet (sʼil est atteint) : !
1 2 mv2 - ! 1 2mv02 = -2mgL ; par suite une condition nécessaire pour que le sommet soit atteint est : v2 > 0 et donc : v0 > !
4gL . • En appliquant la relation fondamentale de la dynamique après le choc : m! a P T et en projetant sur le vecteur ! u des coordonnées polaires, on obtient : mLθ•2 = ! mv 2 L = T - P cos(θ). La condition de tension du fil est alors : T = ! mv 2 L+ mg cos(θ) > 0 ; mais compte tenu de la relation de lʼénergie cinétique, ceci correspond à : T = !
mv 0 2 L- mg.[2 - 3cos(θ)] > 0 quel que soit θ entre 0 et π. En particulier pour le cas limite, il faut : !
mv 0 2 L - 5mg > 0 et donc : v0 > ! 5gL, condition plus restrictive que la précédente. ◊ remarque : entre ces deux limites, le point M peut atteindre la hauteur du sommet, mais le fil se détend et une partie de la trajectoire est parabolique. • On aboutit donc à la condition : 2gℓ > 5gL dʼoù on déduit : d > !
3 5 ℓ. ◊ remarque : il faut aussi probablement d > ! 1 2ℓ pour éviter que le point M percute le support compor-tant la fixation en A, mais cette condition est automatiquement vérifiée dans le cas précédent, et même dès que v0 > !
4gL. II. Énergie potentielle 1. • Les forces exercées par les deux particules lʼune sur lʼautre sont opposées (actions réciproques) et ont forcément la même direction que le segment AB, compte tenu de la symétrie de lʼensemble (si on sup-pose que les particules sont effectivement représentables par des points matériels...).
2 • Si on note !
u r le vecteur unitaire orienté comme ! AB (c'est-à-dire radial par rapport à A), on peut écrire pour des forces répulsives : ! F A"B r n u r et ! F B"A r n u r. 2. • Sʼil existe une énergie potentielle Ep(B) pour la particule B soumise à lʼaction de A, alors on peut écrire : !
F A"B "E poù les dérivations sont prises par rapport aux coordonnées de B. • Si Ep existe, elle doit vérifier : -dEp = dW = !
F A"B •dOB avec A fixe si on étudie lʼinfluence sur B. Mais alors, pour n ≠ 1 : -dEp = ! F A"B •dAB r n u r •dAB r n dr = ! d" n"1 r n"1 et donc : Ep = ! n#1 r n#1 + C avec C = Cste. • De même pour n = 1 : -dEp = ! r u r •dAB rdr = d[α ln(r)] et donc : Ep = α ln(r) + C avec C = Cste. • On vérifie réciproquement que lʼexpression ainsi obtenue est solution du problème : !
F B"A "E p . ◊ remarque : puisque Ep ne dépend que de r, la seule dérivée est ! "E p "r et le gradient peut sʼécrire : ! "E p "E p "r u r. III. Énergie cinétique et équation du mouvement • Le théorème de lʼénergie cinétique peut sʼécrire : ΔEc = W(!
P) dans la mesure où la seule autre force intervenant, la tension du fil, ne travaille pas (elle est en permanence normale à la vitesse). Ceci cor-respond à : ΔEc = !
1 2 mv2 - 0 = mg.(z0 - z) et donc lʼénergie mécanique Em = ! 1 2mv2 + mgz est constante. • Avec lʼorigine de z en O, et v = ℓ .!•, on obtient : Em = !
1 2mℓ 2θ•2 - mgℓ cos(θ) = -mgℓ cos(θ0). • La dérivation de cette relation donne : ml2θ•θ•• + mgℓ sin(θ) θ• = 0. Or la solution θ• = 0 correspond au cas particulier sans mouvement θ = θ0 constant ; le mouvement est donc décrit par lʼéquation différen-tielle : θ•• +
gsin(θ) = 0. ◊ remarque : inversement, la quantité constante Em est appelée "intégrale première" du mouvement car elle correspond à une première intégration de lʼéquation différentielle du mouvement (équation du second ordre qui peut être intégrée deux fois). IV. Types de mouvements d'un pendule • Dans ce plan lʼéquation différentielle du mouvement peut être obtenue par la relation fondamentale de la dynamique : m!
a P F . • La tension ! F du fil est initialement dans le plan vertical contenant O et la direction de ! v 0. Par la suite, cette force est toujours dans le plan vertical contenant O et le fil, et elle ne peut donc pas faire changer le plan du mouvement ; il en est de même du poids (vertical). Donc le mouvement se fait en entier dans ce plan. • Lʼéquation différentielle peut ainsi s'écrire en coordonnées polaires : !
P F = m ℓ θ• ! u - m ℓ θ•2 ! u r. • La composante orthoradiale donne : m ℓ θ• = -mg sin(θ), donc : θ•• +
g sin(θ) = 0.3 • Pour θ "petit" (imposé si v0 est petite), on obtient : θ•• +
g θ ≈ 0 ; le mouvement est donc de la forme : θ = Θm cos(ωt+φ) avec ω = g . Les constantes d intégration se calculent alors daprès les condi-tions initiales : θ• = -ωΘm sin(ωt+φ) donc : 0 = Θm cos(φ) et
v 0 = -ωΘm sin(φ). Ceci correspond à φ = ±! 2 et Θm = ±! v 0 l" v 0 !get ces deux expressions mathématiques décrivent le même cas physique ; on choisit alors arbitrairement la description avec Θm =
v 0 !g > 0 et φ = ! 2, donc : θ = Θm sin(ωt). • Il est toutefois évident que, même qualitativement (compte tenu de lʼapproximation du sinus), ce type de mouvement nʼest pas le seul possible : il se produit forcément un mouvement dʼun autre type si Θm dé-passe π ; en outre on nʼa pas tenu compte du fait que le fil souple ne reste pas forcément tendu. • La composante radiale de lʼéquation différentielle du mouvement sʼécrit : m ℓ θ•2 = F - mg cos(θ) avec v = ℓ θ• ; le fil ne reste tendu que si : F = m.[
v 2 2 . • Lʼénergie mécanique : Em = ! 1 2 mv02 = ! 1 2mv2 + mgℓ.[1 - cos(θ)] est constante puisque la tension du fil ne travaille pas ; on en tire : v2 = v02 - 2gℓ.[1 - cos(θ)]. Par suite, le mobile est en principe capable, si le fil ne se plie pas, de monter jusquʼà ce que v = 0, cʼest-à-dire : cos(Θm) = 1 -
v 0 2 2g! 2g!, limite des mouvements de type oscillatoires. • Mais dʼautre part, si v0 est assez grande pour que la vitesse ne sʼannule pas, on peut avoir des mouvements de type rotation périodique à vitesse variable. Ceci correspond aux cas où lʼénergie cinétique permet dʼatteindre le point à la verticale au dessus de O sans que le fil se plie. La première condition sʼécrit : v2 = v02 - 2gℓ.[1 - cos(θ)] > 0 quel que soit θ, cʼest-à-dire : v0 >
4g!avec une limite pour θ = π et cos(θ) = -1. La deuxième condition sʼécrit : v2 + gℓ cos(θ) > 0 donc v02 - 2gℓ + 3gℓ cos(θ) > 0 quel que soit θ, cʼest-à-dire : v0 >
5g! . La combinaison des deux conditions correspond à : v0 > 5g!, limite des mou-vements de type rotation périodique à vitesse variable. • Entre les limites des types de mouvement précédents :
2g! 5g!, le troisième type de mouvement correspond à un début dʼoscillation suivi dʼune chute parabolique lorsque le fil se plie (ce qui se produit pour v02 - 2gℓ + 3gℓ cos(θlim) = 0, cʼest-à-dire pour cos(θlim) = !
1 3 2" v 0 2 g!. V. Énergie et limite de trajectoire 1. • La force exercée par la charge fixe q sur la charge -q, mobile selon lʼaxe Ox, peut sʼexprimer sous la forme : !
F q 2 x 2 u x avec α = ! 1 4"# 0= 9.109 m.F-1. • Sʼil existe une énergie potentielle Ep pour la charge -q soumise à lʼaction de q, alors on peut écrire : !
F "E p dE p dx u x . • Si Ep existe, elle doit vérifier : -dEp = dW = !F•dOM
q 2 x 2 dx = ! d "q 2 x , donc : Ep = -! "q 2 x + C avec C = Cste.4 • Pour échapper à lʼattraction de la charge fixe q, la charge mobile doit pouvoir sʼéloigner jusquʼà lʼinfini avec une énergie cinétique Ec ≥ 0 ; puisque lʼénergie potentielle tend vers C pour x infini, la conservation de lʼénergie mécanique peut alors sʼécrire : Em = Ec + Ep = !
1 2 mv02 - ! "q 2 L + C ≥ C. • On obtient ainsi : v0 ≥ ! 2"q 2 mL . 2. • Dʼune façon analogue : ! F q 2 x 2 u x . Par suite : -dEp = dW = !F•dOM
q 2 x 2 dx = ! d" #q 2 x et donc : Ep = ! "q 2 x+ C avec C = Cste. • En sʼapprochant de la charge fixe q, la charge mobile doit avoir une énergie cinétique Ec ≥ 0 ; la conservation de lʼénergie mécanique sʼécrit alors : Em = Ec + Ep = !
1 2 mv02 + ! "q 2 L + C ≥ ! "q 2 L+ C et la charge mobile sʼarrête quand toute lʼénergie mécanique est sous forme dʼénergie potentielle. • On obtient ainsi : x ≥ xm tel que : !
1 x m 1 L mv 0 2 2"q 2. VI. Énergie potentielle et stabilité d'un équilibre 1. • La force résultante est : !
F "K 1 r+ K 2 r 2 u r et lʼéquilibre est obtenu quand cette force sʼannule : -K1r0 + ! K 2 r 0 2 = 0 dʼoù on tire : r0 = ! K 2 K 1 3 . 2. • La force dérive dʼune énergie potentielle Ep(r) telle que : ! F "E p cʼest-à-dire : K1r - ! K 2quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13