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M ethodes numeriques de resolutiond'equations differentielles

1 Motivation

1.1 Quelques exemples de problemes dierentiels

Modele malthusien de croissance de population

Modelisation de l'evolution d'une population \fermee" {P(t) : taille de la population a l'instant tt {P0(t) : variations de la taille de la population

On supp oseque les nom bresde naissances et de d ecesson tprop ortionnels ala taille de la p opulation,

avec un taux de nataliteet un taux de mortalite. P

0(t) =P(t)P(t) = ()P(t)

T ailleinitiale de la p opulation: P(t0) =P0

Solution

P(t) =P0exp(()(tt0)):

Modele dit \de croissance logistique"

Ajout d'un terme de competition entre les individus (P0(t) =aP(t)bP(t)2

P(0) =P0

ßEquation dierentielle non lineaire

Calcul de la solution par separation des variables P

0(t)aP(t)bP(t)2= 1

1aPbP2=1=aP

+b=aabP=)P0aPbP2=1a P0P +bP0abP Z P0P =h lnjPji etZbP0abP=h lnjabPji

Solution obtenue

P(t) =aP0bP

0+ (abP0)ea(tt0)

1

Pendule pesant non amorti

O l(t)M{P endulede masse m, suspendu enO

Fil ( OM) non pesant et de longueurl.

(t) : position par rapport a la position d'equilibre (angle signe).

Mouvement du pendule gouverne par la

loi fondamentale de la dynamique.

Equation du mouvement :

(t) est solution du probleme dierentiel : 8<

00(t) =gl

sin((t)) (0) =0; 0(0) = 0 (par exemple)

ßequation dierentielle d'ordre 2 non lineaire

Pendule pesant non amorti : transformation

(t) est solution du probleme dierentiel : (00(t) =!2sin((t)) (0) =0; 0(0) = 0 par exemple

Posons :x(t) =(t),y(t) =0(t) etY(t) = x(t)

y(t)!

On a alors

Y

0(t) = x0(t)

y 0(t)! = 0(t)

00(t)!

= 0(t) !2sin((t))! = y(t) !2sin(x(t))!

Pendule pesant non amorti : transformation

Y(t) = (t)

0(t)! est solution du probleme dierentiel :

Y0(t) =F(t;Y(t))

Y(0) =Y0

avec F t; x y! = y !2sin(x)! et Y 0= 0 0! 2

1.2 Forme generale d'une equation dierentielle

Equation dierentielle, probleme de Cauchy

On s'in teresseaux equationsdi erentiellesdu premier ordre de la forme y

0(t) =F(t;y(t))

avecF:IRp!Rp(I, intervalle deR) une fonction continue. Si p >1, il s'agit en pratique d'un systeme dierentiel.

Le probl emea vecconditi oninitiale est app ele

pr oblemede Cauc hy (y0(t) =F(t;y(t)) y(t0) =y0; t02I,y02Rp;

Notion de solution

Probleme de Cauchy

(y0(t) =F(t;y(t)) y(t0) =y0; t02I,y02Rp;

Solution

Une solution du p roblemede Cauc hy est la donn eed'un in tervalle ~Iet d'une fonction'2 C1(~I;Rp) tels que {t02~I,~II, {'0(t) =F(t;'(t))8t2~I, {'(t0) =y0.

Remarque

On utilise souvent la m^eme notation pour l'inconnue dans l'equationyet la solution', noteey...

1.3 Un resultat theorique fondamental

Le theoreme de Cauchy-LipschitzTheoreme

Considerons le probleme de Cauchy :

()(y0(t) =F(t;y(t)) y(t0) =y0; t02I,y02Rp; avecF: (t;y)2IRp!F(t;y)2Rp. Supposons que {Fest continue surIRp, {Fest lipschitzienne eny, uniformement ent: il existeL >0 telle que

8t2I;8y1;y22 VRpy0jjF(t;y1)F(t;y2)jj Ljjy1y2jj:

Alors, le probleme de Cauchy () possede une unique solution. Cette solution est denie sur un intervalle

contenantt0.3

Et le calcul eectif de la solution?

Mo delemalth usien: OK

equa di lineaire d'ordre 1 a coes constants

Mo delede c roissancelogistique : OK

equa di d'ordre 1, non lineaire mais a variables separables

P endulep esant?

(Y0(t) =F(t;Y(t))

Y(0) =Y0avecF(t; x

y! ) = y !2sin(x)!

ßIl s'agit d'un systeme dierentiel 22.

ßLe systeme est bien d'ordre 1... mais il est non lineaire.

Calcul numerique d'une solution approchee

Pas d'expression explicite de la solution

Calcul numerique d'une solution approchee0123456-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 temps t q(t)2 Mise au point de methodes numeriques et convergence

2.1 Principe

But

On suppose que le probleme de Cauchy

(y0(t) =F(t;y(t)) y(t0) =y0; t02R,y02Rp; admet une unique solutionydenie surI= [t0;t0+T]. 4

Subdivision de l'intervalle de temps

t 0t 1t nt n+1t

N=t0+Ttn=tn+1tn;t= max0nNtn:

L'objectif est de calculer des valeurs (Yn)0nN, qui soient de \bonnes" approximations de (y(tn))0nN.

Lien avec l'integration numerique

Integration de l'equation

Z tn+1 t ny0(t)= F(t;y(t)) y(tn+1)y(tn) =Z tn+1 t nF(t;y(t))dt

Approximation

{y(tn+1)y(tn)ßYn+1Yn {Z tn+1 t nF(t;y(t))dtßFormule de quadrature :

RAG(tn+1tn)F(tn;y(tn))

RAD(tn+1tn)F(tn+1;y(tn+1))

Trapezes(tn+1tn)F(tn;y(tn)) +F(tn+1;y(tn+1))2

Methodes numeriques correspondantes

Methode d'Euler expliciteÞschema explicite

Yn+1=Yn+ (tn+1tn)F(tn;Yn)

Y 0=y0

Methode d'Euler impliciteÞschema implicite

Yn+1=Yn+ (tn+1tn)F(tn+1;Yn+1)

Y 0=y0

Methode de Crank-NicolsonÞschema implicite

Y n+1=Yn+ (tn+1tn)F(tn;Yn) +F(tn+1;Yn+1)2 Y0=y0 5

2.2 Notion de convergence

Introduction des notions d'erreur locale/erreur globale{y(t) solution exacte de l'equation dierentielle,

( Yn)0nNvaleurs donnees par le schema numerique Þyappreconstruction d'une solution approchee ane par mx

Erreur localeen=y(tn)Yn

Erreur globaleE(t) = max0nNjenj(!:Ndepend de t)

Denition de la convergenceLa methode numerique est ditecon vergentesi

E(t) = max0nNjenj !0:

t!0 6

2.3 Convergence de la methode d'Euler explicite

Erreur de consistance

Probleme de Cauchy

y0(t) =F(t;y(t)) y(t0) =y0

ßsolution exacte :yMethode d'Euler explicite

Yn+1=Yn+ tF(tn;Yn)

Y 0=y0

ßschema numerique : (Yn)

Denition

L' erreur de consistance (locale) al'instan tnest denie comme l'erreur commise par la solution exacte dans le schema numerique : n=y(tn+1)y(tn)tF(tn;y(tn)):

Estimation de l'erreur de consistance

Probleme de Cauchy

y0(t) =F(t;y(t)) y(t0) =y0Methode d'Euler explicite

Yn+1=Yn+ tF(tn;Yn)

Y 0=y0 ßon suppose que la solution exacte veriey2 C2([t0;t0+T]|{z} I;R) n=y(tn+1)y(tn)tF(tn;y(tn)) Mais, {y(tn+1) =y(tn) + ty0(tn) +t22 y00(n) {y0(tn) =F(tn;y(tn)) D'ou, n=t22 y00(n):

Majoration de l'erreur de consistance

n=t22 y00(n):

Majoration

M

2= sup

[t0;t0+T]jy00(t)j=) j"nj M22 t2:

Remarque : lien entrey00andF

y

0(t) =F(t;y(t));

y

00(t) =@F@t

(t;y(t)) +@F@y (t;y(t))y0(t) @F@t (t;y(t)) +@F@y (t;y(t))F(t;y(t)): 7

Erreur due au schema numerique

La solution exacte et le sc heman umeriquev erient: y(tn+1) =y(tn) + t F(tn;y(tn)) +"n Y n+1=Yn+ t F(tn;Yn)

Alors, comme en=y(tn)Yn, on obtient

e n+1=en+ tF(tn;y(tn))F(tn;Yn)+"n: Si Fest localement lipschitzienne enyuniformement ent(hypothese du thm de Cauchy-Lipschitz), on a

F(tn;y(tn))F(tn;Yn)Ljenj

et jen+1j jenj(1 +Lt) +j"nj:

Deux lemmes intermediaires

Lemme 1

Soit (n)n0une suite positive veriant

80nN; n+1an+;aveca0 et0:

Alors,81nN+ 1,

nan0+n1X i=0a i=an0+1an1a

Lemme 2

De plus, sia= 1 +avec >0, comme (1 +)nen, on a

nen0+ (en1);81nN+ 1:

Fin de la preuve de convergence

On a, p ourtout 0 nN1

jen+1j jenj(1 +Lt) +j"nj; jenj(1 +Lt) +M22 t2:

On applique le Lemme 2 a vec=Ltet=M22

t2: jenj enLtje0j+M22Lt(enLt1);81nN:

Mais, p our1 nN,ntNt=Tet

jenj eLTje0j+M22 e LT1L t;81nN:

Ainsi, si e0= 0,E(t)M22

e LT1L tet lim t!0E(t) = 0: 8

Convergence du schema d'Euler explicite

Theoreme

Soit F2 C1(IR),t0,Ttels que [t0;t0+T]2I,y02R.

On supp osequ'il existe L >0 tel que

jF(t;z1)F(t;z2)j Ljz1z2j 8t2[t0;t0+T];8z1;z22R: {yest la solution exacte du probleme de Cauchy et (Yn)0nNla suite obtenue par le schema d'Euler explicite.

Alors, l'erreur locale denie paren=y(tn)Ynverie

jenj eLTje0j+M22 e LT1L t;81nN: sie0= 0, le schema est convergent : lim t!0E(t) = 0 (E(t) = max0nNjenj):2.4 Cadre general des methodes a un pas

Denition

On limite la pr esentationau cas o ula sub division( tn)0nNest reguliere : t n=t0+ntavec t=TN Une m ethode aun pas , pour l'approximation du probleme de Cauchy sur une subdivision reguliere, est de la forme : (Yn+1=Yn+ tF(tn;Yn;t);80nN1 Y

0=y0(ou une valeur approchee ~y0dey0)

avec

F: [t0;t0+T]Rp[0;k]!Rpune fonction continue.

Exemple :

F(t;Y;k) =F(t;Y)ßmethode d'Euler explicite.

Notion de consistance

Probleme de Cauchy

y0(t) =F(t;y(t)) y(t0) =y0

ßhyp :y2 C2Methode a un pas

Yn+1=Yn+ tF(tn;Yn;t)

Y 0=y0

ßhypothese : F2 C1

L' erreur de consistance de la m ethode aun pas est d eniep ar n=y(tn+1)y(tn)tF(tn;y(tn);t)

La methode est dite

consistan te si p ourtoute solution du probl emede Cauc hyon a lim t!0N X n=0j"nj= 0: 9

Consistance et ordre

La methode est dite

d'ordre psi, pour toute solution du probleme de Cauchy, il existe un reelK independant de ttel que NX n=0j"nj Ktp:

En pratique, on obtien tl'ordre pen montrant :

j"nj Ktp+180nN: {p1 =)consistance.

Condition necessaire et susante de consistance

Developpement de"nen puissances det

{y(tn+1) =y(tn) + ty0(tn) +t22 y00(n) {y0(tn) =F(tn;y(tn))

F(tn;y(tn);t) = F(tn;y(tn);0) + t@F@k

(tn;y(tn);) n= t

F(tn;y(tn))F(tn;y(tn);0)

+t2y00(n)2 @F@k (tn;y(tn);)Theoreme Une methode a un pas est consistante si et seulement si

8(t;z)2[t0;t0+T]RF(t;z;0) =F(t;z):()En eet, si () est satisfaite, on a"n=O(t2).

Erreur due au schema numerique

La solution exacte et le sc heman umeriquev erient: y(tn+1) =y(tn) + tF(tn;y(tn);t) +"n Y n+1=Yn+ tF(tn;Yn;t)

Alors, comme en=y(tn)Yn, on obtient :

e n+1=en+ tF(tn;y(tn);t)F(tn;Yn;t)+"n:

Si on a

F(tn;y(tn);t)F(tn;Yn;t)jy(tn)Ynj;

alors jen+1j jenj(1 + t) +j"nj:

ßidem schema d'Euler explicite

10

Stabilite d'une methode a un pas

Denition

S'il existe >0 tel que8t2[t0;t0+T],8z1;z22R,8k2[0;k], jF(t;z1;k)F(t;z2;k)j jz1z2j alors la methode a un pas est dite s table

Par consequent,

si la m ethode aun pas est stable, on a jen+1j jenj(1 + t) +j"nj:

si elle est egalementconsistan te,on prouv esa con vergencede la m ^emefa conque p ourle sc hemad'Euler

explicite.

ßstabilite + consistance =)convergence

Ordre et vitesse de convergence

La stabilit enous donne :

jen+1j jenj(1 + t) +j"nj:

Si j"nj Ktp+1, on obtient gr^ace au Lemme 2 :

jenj eTje0j+KeT1 tp80nN:

Si je0j= 0, on a donc

E(t)Ctp:

ßla methode numerique est d'autant plus precise qu'elle est d'ordre eleve.

3 Les methodes de Runge-Kutta

Premiers exemples

Les m ethodesde Runge-Kutta son tdes m ethodes aun pas o ula fonction Fest evaluee plusieurs fois par intervalle de la subdivision. L'objectif est bien s^ur de gagner en precision (en ordre...).

Avec la methode des trapezes

y(tn+1)y(tn) =Z tn+1 t nF(t;y(t))dt t2

F(tn;y(tn)) +F(tn+1;y(tn+1))

Methode de Heun

8>>>< Y n;1=Yn Y n;2=Yn+ tF(tn;Yn;1) Y n+1=Yn+t2

F(tn;Yn;1) +F(tn+1;Yn;2)

11

Premiers exemples

Avec les rectangles aux points milieux

y(tn+1)y(tn) =Z tn+1 t nF(t;y(t))dt tF(tn+t2 y(tn+t2

Methode d'Euler modiee

8 >>>:8 :Y n;1=Yn Y n;2=Yn+t2

F(tn;Yn;1)

Y n+1=Yn+ tF(tn+t2 ;Yn;2):

Methodes de Runge-Kutta explicites

Forme generalet

nt n+1t n;i8 >>>>>>:81is;8 >:t n;i=tn+cit; Y n;i=Yn+ ti1X j=1a ijF(tn;j;Yn;j); Y n+1=Yn+ tsX i=1b iF(tn;i;Yn;i):

Notation avec le tableau de Butcher

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