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1 Physique - Thème 3 - Chapitre 2 2006/2007 TP Physique 9 - Mesure de la distance focale d"une lentille convergente

Le but de cette séance de travaux pratiques est de déterminer la valeur de la distance focale f" d"une

lentille convergente par différentes méthodes. On rappelle que la distance focale f" d"une lentille convergente est la distance algébrique

OF"entre le centre

optique O de la lentille et son foyer principal image F".

Le foyer principal image est le point où convergent les rayons qui ont atteint la lentille parallèlement à son

axe optique. Les trois méthodes que nous utiliserons pour mesurer f" sont :

· la méthode de mesure à l"infini,

· la méthode de Silbermann,

· la méthode de Bessel.

II -- MMEETTHHOODDEE DDEE MMEESSUURREE AA LL""IINNFFIINNII

11)) MMaanniippuullaattiioonn

L"expérience fournit les valeurs de la distance d OA"= entre la lentille et l"écran et de la distance D AA"=

entre l"objet et l"écran : d = 12,7 cm et D = 145,3 cm.

22)) EExxppllooiittaattiioonn

1. Afin d"évaluer l"ordre de grandeur de f", nous avons placé l"objet dans une position très éloignée de la

lentille. En supposant que l"on a D>>f" (en physique, cette notation signifie D ≥ 10f"), l"objet peut alors être

considéré comme infiniment éloigné de la lentille. Dans ces conditions, les rayons lumineux incidents issus

de l"objet sont alors considérés comme arrivant de manière parallèle à l"axe optique sur la lentille.

Les rayons qui atteignent la lentille convergente en étant parallèles à son axe optique, se croiseront ensuite à

son foyer image F". Ainsi, si l"objet est infiniment éloigné de la lentille, les rayons lumineux se croiseront en

F", c"est-à-dire que l"image se formera au point F". On aura alors la relation d = f". La distance d est égale à la distance focale de la lentille.

2. Les mesures ont donné : d = 12,7 cm et D = 145,3 cm. Dans l"hypothèse où d = f", on a 145 cm > 127 cm,

donc D ≥ 10f" ou encore D>>f" : l"hypothèse est donc vérifiée.

3. La valeur de la distance focale mesurée à l"aide de la méthode de mesure à l"infini est f" = d = 12,7 cm

IIII -- MMEETTHHOODDEE DDEE SSIILLBBEERRMMAANNNN

11)) MMaanniippuullaattiioonn

La relation de conjugaison, reliant la position de l"image, la position de l"objet, et la distance focale de la

lentille, s"écrit : 1 1 1 f "OA" OA= +.

On considère le cas particulier, propre à la méthode de Silbermann, où l"objet est placé en avant de la lentille

à une distance telle que l"on ait

OA 2 OF"= -.

Dans ce cas, on a

OA OAOF"2 2= = --, c"est à dire OAf"2= -, et il vient : 1 1 1

OA" OA OA

2 1 1 2

OA" OA OA

1 1

OA" OA

OA" OA= +

La distance lentille-image

OA" est alors égale à la distance objet-lentille AO.

Le grandissement

A"B" ABg =, d"après la relation de grandissement, est égal au rapport OA"

OA. Ici, on a

OA" OA= -. Par conséquent, le grandissement g est égal à OA1OA-= -. Pour résumer, si l"on place l"objet à une distance de la lentille telle que la relation

OA 2 OF"= - est vérifiée,

alors la lentille se trouve à mi-chemin entre l"objet et l"image. Et (au signe près), les tailles de l"objet et de

l"image sont identiques.

La réciproque est vraie : si l"on place la lentille de telle sorte qu"elle se trouve à mi-chemin entre l"objet et

l"image et que ces derniers soient (au signe près) de même taille, alors la distance entre l"objet et la lentille

est égale à deux fois la distance focale de la lentille. Cette constatation est à la base de la méthode de Silbermann.

Les mesures de la distance d entre l"objet et la lentille et de la distance D entre l"objet et l"écran donnent :

D = 50,0 cm et d = 25,0 cm.

22)) EExxppllooiittaattiioonn

Sachant que l"on a D AO OA"= +, et que, de plus, les relations AO 2f"= et OA" 2f "= sont vérifiées, il vient :

D 4f"=, c"est-à-dire Df"4= ; A.N. : f" = 50,0/4 = 12,5 cm (2 c.s.)

Lorsque l"on se trouve dans les conditions d"appliquer la méthode de Silbermann, la distance focale est égale

au quart de la distance entre l"objet et l"image.

IIIIII -- MMEETTHHOODDEE DDEE BBEESSSSEELL

11)) MMaanniippuullaattiioonn

On place l"écran à une distance D = 80,0 cm de l"objet. On détermine alors les deux positions de la lentille

permettant d"obtenir une image nette sur l"écran. La distance d entre ces deux positions mesure d = 49,0 cm.

22)) EExxppllooiittaattiioonn

1. Sachant que l"on a D AA"=, c"est-à-dire D AO OA"= +et donc OA" D OA= +, la relation de conjugaison

1 1 1 f "OA" OA= + peut s"écrire : 1 1 1 f"

D OA OA

1D OA1 1

f" OA

1D OAf" OA

OA f"

OA f"D OAf" OA

D OA f" OA OA f"

D f" D OA OA f"= +

2OA OA f"+ = ´

2OA D OA D f" 0Û + ´ + ´ =

2. Cette relation mathématique est un polynôme du second degré du type

2a OA b OA c 0+ + =, avec a = 1,

b = D, c = D×f", où OA est l"inconnue, et pour lequel il est possible de trouver deux racines 1O A et 2O A.

Le point A étant fixe, les deux racines font donc référence à deux emplacements du centre optique O :

(seul l"ordre des points est ici représenté correctement, les distances entre eux ne sont pas significatives)

Calculons le discriminant

D de ce polynôme du second degré :

2b 4ac

D 4Df"

D = -

Les deux racines

1O A et 2O A existent si et seulement si D est strictement positif, c"est-à-dire si et seulement

si : 2 2

D 4Df" 0

D 4Df"

D 4f"

3. Les deux racines ont pour expression :

4Df"D²DAO

1-+-= et 2

4Df"D²DAO

2---=

4. On sait que la grandeur d mesure la distance entre les deux positions O

1 et O2 de la lentille. L"expression

de d est donc

AOAOAOAOOOd212121-=+==

5. En remplaçant les expressions de

1O A et 2O A dans la relation précédente, il vient :

b bL2a 2a b b 2a 2 2a a- + D - - D= - - + D + + D= D D

A O1O2A"

24Df"D²DAOAOd

21
soit 4.D dDf"22-= ; A.N. : =´-=80,040,940,08f" 22

12,5 cm (3 c.s.)

La méthode de Bessel consiste donc à mesurer la distance L entre les deux positions de la lentille permettant

d"obtenir une image nette et à en déduire la distance focale de la lentille par la relation

2 2D Lf"4D

CCOONNCCLLUUSSIIOONN

En conclusion, nous avons abordé, durant cette séance de travaux pratiques, trois méthodes pour mesurer la

distance focale d"une lentille convergente :

· la méthode de mesure à l"infini, qui suppose que l"on fasse une certaine approximation, et qui ne constitue

donc pas la plus précise des façons de procéder ; elle nous a fourni la valeur 12,7 cm ; · la méthode de Silbermann, qui nous fournit la valeur f" = 12,5 cm ; · la méthode de Bessel, qui nous fournit la valeur f" = 12,5 cm.

Les deux dernières méthodes sont particulièrement efficaces, et permettent de mesurer la distance focale avec

une précision convenable.quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14

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OF"entre le centre

· la méthode de mesure à l"infini,

· la méthode de Silbermann,

· la méthode de Bessel.

11)) MMaanniippuullaattiioonn

22)) EExxppllooiittaattiioonn

1. Afin d"évaluer l"ordre de grandeur de f", nous avons placé l"objet dans une position très éloignée de la

2. Les mesures ont donné : d = 12,7 cm et D = 145,3 cm. Dans l"hypothèse où d = f", on a 145 cm > 127 cm,

3. La valeur de la distance focale mesurée à l"aide de la méthode de mesure à l"infini est f" = d = 12,7 cm

11)) MMaanniippuullaattiioonn

à une distance telle que l"on ait

OA 2 OF"= -.

Dans ce cas, on a

OA" OA OA

OA" OA OA

OA" OA

OA" OA= +

La distance lentille-image

Le grandissement

OA. Ici, on a

OA 2 OF"= - est vérifiée,

D = 50,0 cm et d = 25,0 cm.

22)) EExxppllooiittaattiioonn

IIIIII -- MMEETTHHOODDEE DDEE BBEESSSSEELL

11)) MMaanniippuullaattiioonn

22)) EExxppllooiittaattiioonn

1. Sachant que l"on a D AA"=, c"est-à-dire D AO OA"= +et donc OA" D OA= +, la relation de conjugaison

D OA OA

1D OA1 1

1D OAf" OA

OA f"D OAf" OA

D OA f" OA OA f"

D f" D OA OA f"= +

2OA OA f"+ = ´

2OA D OA D f" 0Û + ´ + ´ =

2. Cette relation mathématique est un polynôme du second degré du type

2a OA b OA c 0+ + =, avec a = 1,

Calculons le discriminant

D de ce polynôme du second degré :

2b 4ac

D 4Df"

Les deux racines

1O A et 2O A existent si et seulement si D est strictement positif, c"est-à-dire si et seulement

D 4Df" 0

D 4Df"

3. Les deux racines ont pour expression :

4Df"D²DAO

1-+-= et 2

4Df"D²DAO

4. On sait que la grandeur d mesure la distance entre les deux positions O

1 et O2 de la lentille. L"expression

AOAOAOAOOOd212121-=+==

5. En remplaçant les expressions de

1O A et 2O A dans la relation précédente, il vient :

A O1O2A"

24Df"D²DAOAOd

12,5 cm (3 c.s.)

2 2D Lf"4D

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