Gabriel Cramer (1704-1752) qui a introduit l'expression générale de la solution d'un système linéaire de n équations à n inconnues Voici sa méthode dans le
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[PDF] Chapitre 1 : Systèmes linéaires déquations
Gabriel Cramer (1704-1752) qui a introduit l'expression générale de la solution d'un système linéaire de n équations à n inconnues Voici sa méthode dans le
[PDF] Ift 2421 Chapitre 3 Résolution des systèmes déquations linéaires
Méthode de Cramer inconnues du système pour avoir le pivot maximum en valeur absolue 2 Le pivotage se complique par rapport à la méthode de Gauss
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Résoudre un système de m équations à 2 inconnues, c'est déterminer Donc pour utiliser les formules de Cramer, il faudrait appliquer la méthode du pivot
[PDF] FORMULES DE CRAMER - Manuel {toutes les Maths}
1) Donner la démonstration élémentaire des formules de Cramer dans le cas d' un Considérons un système (S) de trois équations linéaires à trois inconnues x , En utilisant la méthode du pivot de Gauss, on conserve la première équation,
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RÉSOLUTION DES SYSTÈMES D'ÉQUATIONS À 2 INCONNUES PAR LA MÉTHODE DES DÉTERMINANTS DE CRAMER Système étudié à titre d' exemple:
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Preuve : On fait passer les inconnues non principales dans le second membre et on résout le système triangulaire de Cramer en 2 La méthode du pivot
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Forme générale Opérations 3 Méthode du pivot de Gauss Fixons un réel a Considérons le système de trois équations à deux inconnues suivant : (S) :
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Je donne ci-dessous la méthode générale de Cramer dans le cas n × n Soit donc un système linéaire de n équations à n inconnues (x1, , xn) Il peut être écrit
[PDF] TD 3: systèmes linéaires
Résoudre dans R les systèmes linéaires suivants, d'inconnues x, y et z : (a) la méthode du pivot (a) Exercice 14 le système ci-dessous de second membre quelconque est-il de Cramer ? Si oui, exprimer la
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CHAPITRE 1
Systèmes d'équations
1. Définition et exemple
Définition. Un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues est un ensemble de deux ()p
équations de la forme :
p axbyc axbyc HZ HZ R S T 1 2)où est le couple d'inconnues ett ntes appelées coefficients du xy,bg a, b, c, a', b' ec' sont des consta
système et vérifiant les conditions bg et . Résoudre le système revient à ab,,bÖ00ggab',',bgbÖ00trouver le ou les couples (),xy?×oo qui satisfont simultanément les deux équations (1) et (2).
Ces couples sont les solutions du système.
Exemple. Considérons le système linéaire de deux équations à deux inconnues : p 23817412
xy xy HZ JZJ R S T Intéressons-nous d'abord aux solutions de l'équation (1). Le couple best une solution de cette
équation, car . Mais c'est loin d'être l'unique solution ! En effet il est facile de vérifier
que 12,g 21328ôHôZ
(,),(24,),(,),...JJ561 5 2 sont d'autres couples de solution de cette équation. En fait l'équation(1) admet une infinité de solutions. La forme générale de ces solutions peut s'obtenir en calculant y
en fonction de x :238382
823 xyyxy x
HZøZJøZ
J Le s solutions de (1) sont donc les couples de la forme x x 823 J FI K J H G où x est un réel quelconque.
Par exemple : si xZJ2 alors yZ
JôJ
ZZ 8223 12 3 4 , d'où la solution bg. J24,
De même, l'équation (2) admet une infinité de solutions. On trouve facilement que ce sont les
couples de la forme x x 714H F H G I K J , où x est un réel quelconque. Par exemple : 12235 15 4 ,,,,,,...bgbgJbg Remarquons que le couple b est à la fois solution de (1) et de (2). C'est donc une solution du
système . Le système admet-il d'autres solutions ? Les méthodes de résolutions exposées
ci-dessous vont prouver que best l'unique solution de . 12, ()p 12,g g ()p ()p2. Méthodes de résolution
Reprenons le système de l'exemple précédent. ()p a) Résolution par substitution (Z remplacement) On calcule y en fonction de x à l'aide de l'équation (1) :238382
823
3xyyxy
xHZøZJøZ
JOn substitue l'équation (3) dans l'équation (2) : On substitue l'équation (3) dans l'équation (2) :
7482
3 13
214823
213283
292914 x x xx xx x x J J F H G I K J
ZJô
øJJZJ
øJHZJ
øZ øZ bgFinalement on substitue (4) dans (3) :
yZ Jô ZZ 8213 6 3 2 Le système admet donc une solution unique : . SZ12,bgmr b) Résolution par combinaison linéaire Combinons d'abord les équations (1) et (2) pour éliminer y :
41ô() : 81232xyHZ (1')
32ô() : 21123xyJZJ (2')
(1') + (2') : 29291xxZøZ Combinons maintenant les équations (1) et (2) pour éliminer x :71ô() : 142156xyHZ (1'')
Jô22() : JHZ1482xy (2'')
(1'') + (2'') : 29582yyZøZOn retrouve que . SZ12,bgmr
c) Méthode graphiqueSi l'on rapporte le plan à un repère Oij,,
ch 81, les équations (1) et (2) sont en fait les équations cartésiennes de deux droites, que nous notons d et d. Résoudre le système revient à
déterminer le point d'intersection de ces deux droites. Représentons graphiquement les deux droites.
12 pbg dxy 123:HZ dxy
274:JZJ
I12,bg
ddI 12 d 1 d 2 x -3 1 5 y -5 2 9 x -2 1 4 y 4 2 0 1..223. Résolution générale par la méthode de Cramer
C'est le mathématicien suisse Gabriel Cramer (1704-1752) qui a introduit l'expression générale de la
solution d'un système linéaire de n équations à n inconnues. Voici sa méthode dans le cas . nZ2
1.3 p axbyc axbyc HZ HZ R S T 1 2Ô=Eliminons d'abord y :
b'()ô1 : (1') abxbbycb''HZJôb()2 : (2') JJZJabxbbycb''
(1') + (2') : ababxcbcb''''JZJbg On peut en déduire l'expression de x, à condition que . Alors : abab''JÖ0 x cbcb abab Z J J (1.1)Ô=Eliminons de la même façon x :
a'()ô1 : (1'') aaxabyac'''HZJôa()2 : (2'') JJZJaaxabyac'''
(1'') + (2'') : ' / ôJ ababyacac'''JZJbg1bg ababyacac''''JZJbgNous avons multiplié la dernière équation par -1 afin de faire précéder l'inconnue y du même
coefficient que x (cf. ligne (1') + (2')). Donc si ab, on a : ab''JÖ0 y acac abab Z J J (1.2) Le système admet donc une solution uniqà condition que l'expression soit non nulle. est appelé déterminant du système b, pour la simple raison que : pbgue, aZJabab'' apg aZJZabab ab ab (1.3)Remarquons maintenant que les numérateurs de x et de y peuvent aussi être écrits sous forme d'un
déterminant. En effet : a x cbcb cb cb ZJZ'' (1.4)Et de même :
a y acac ac ac ZJZ'' (1.5)Les déterminants aa sont appelés déterminants de Cramer. En résumé, si le déterminant
du système a est non nul, alors (p) admet la solution unique : a, x et y xy cb cb ab ab ac ac ab ab x y ,bgZ F H G G G G I K J J J J Z F H G I K J a a a a (1.6) Règles mnémotechniques : Règles mnémotechniques :Ô=a=est formé des colonnes
H G et H G des coefficients de x et de y du système (p). Ô=a=est formé des colonnes H G et H G des coefficients de x et de y du système (p). a a' FI K J a a' FI K J b b' FI K J b b' FI K JÔ= est obtenu en remplaçant dans a la colonne par la colonne . Ô= est obtenu en remplaçant dans a la colonne par la colonne . a
x a x a a' F H G I K J a a' F H G I K J c c' F H G I K J c c' F H G I K JÔ= est obtenu en remplaçant dans a la colonne par la colonne . Ô= est obtenu en remplaçant dans a la colonne par la colonne . a
y a y b b' F H G I K J b b' F H G I K J c c' F H G I K J c c' F H G I K JExemple. Reprenons notre système du paragraphe 1. Exemple. Reprenons notre système du paragraphe 1.
p 23817412
xy xy HZ JZJ R S T p 2381
7412
xy xy HZ JZJ R S T a a a Z J ZJJZJ Z JJ ZJHZJ Z J ZJJZJ U V W ûZ J J ZZ J J Z 23
74
82129
83
14 32329
28
71
25658
29
29
1 58
29
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