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Gabriel Cramer (1704-1752) qui a introduit l'expression générale de la solution d'un système linéaire de n équations à n inconnues Voici sa méthode dans le 

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Méthode de Cramer inconnues du système pour avoir le pivot maximum en valeur absolue 2 Le pivotage se complique par rapport à la méthode de Gauss

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Résoudre un système de m équations à 2 inconnues, c'est déterminer Donc pour utiliser les formules de Cramer, il faudrait appliquer la méthode du pivot

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1) Donner la démonstration élémentaire des formules de Cramer dans le cas d' un Considérons un système (S) de trois équations linéaires à trois inconnues x , En utilisant la méthode du pivot de Gauss, on conserve la première équation,  

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RÉSOLUTION DES SYSTÈMES D'ÉQUATIONS À 2 INCONNUES PAR LA MÉTHODE DES DÉTERMINANTS DE CRAMER Système étudié à titre d' exemple:

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Preuve : On fait passer les inconnues non principales dans le second membre et on résout le système triangulaire de Cramer en 2 La méthode du pivot

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Forme générale Opérations 3 Méthode du pivot de Gauss Fixons un réel a Considérons le système de trois équations à deux inconnues suivant : (S) :

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Je donne ci-dessous la méthode générale de Cramer dans le cas n × n Soit donc un système linéaire de n équations à n inconnues (x1, , xn) Il peut être écrit 

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Résoudre dans R les systèmes linéaires suivants, d'inconnues x, y et z : (a) la méthode du pivot (a) Exercice 14 le système ci-dessous de second membre quelconque est-il de Cramer ? Si oui, exprimer la

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RÉSOLUTION DES SYSTÈMES D'ÉQUATIONS À 2 INCONNUES

PAR LA MÉTHODE DES DÉTERMINANTS DE CRAMER.

Système étudié à titre d'exemple: S{3x4y=5

6x7y=8}Appelons A la colonne

3

6, B la colonne 4

7et C la colonne 5

8.

Première étape. Calcul du déterminant

du système. On considère les colonnes A et B et on calcule le déterminant du système S c'est à dire: =∣34

67∣;=3×7-6×4=-3 Comme

D n'est pas nul, ce système admet un couple solution unique.

( Si le déterminant d'un système est nul, alors c'est un cas particulier qu'il faut étudier. )

Deuxième étape. Calcul du déterminant

x de x puis de la valeur de x. On remplace la colonne A par la colonne C, la colonne B ne changeant pas : 5

8; 4

7et on calcule le déterminant de x c'est à dire: x=

∣54

87∣;x=5×7-8×4=3L'inconnue x vaut tout simplement:

x c'est à dire : x=x =3 -3=-1Troisième étape. Calcul du déterminant y puis de la valeur de y. On remplace la colonne B par la colonne C, la colonne A ne changeant pas : 3

6; 5

8et on calcule le déterminant de y c'est à dire:

y=∣35

68∣;y=3×8-6×5=-6L'inconnue y vaut:

y c'est à dire : y=y =-6 -3=2 Le couple solution x;yde ce système vaut donc : -1;2

Généralisation:

S {axby=e cxdy=f}; =∣ab cd∣=ad-bc Si est non nul, alors: x= ∣eb fd∣=ed-fb et x=x

De même:

y=∣ae cf∣=af-ce et y=y . D'où le couple solution x;ydu système S. .*******************************************************. Dquotesdbs_dbs27.pdfusesText_33