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Pour tout entier naturel k tel que 0 ≤ k ≤ n, le nombre de chemins menant à k succès sur les n tentatives est le nombre ( n k) (qui se lit « k parmi n ») Théorème (
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Deuxième méthode : On remarque que choisir k éléments parmi n revient à Le résultat s'ensuit Exercice 2 Pour tout entier n ⩾ 1, on a n ∑ k=0 (n k ) = 2n
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d'une ensemble en contenant n (il se lit « p parmi n ») p ) = 0 Théorème 1 : Soient p, n ∈ N tels que p ⩽ n Alors (np) = n p (n − p) Par le principe multiplicatif, on a donc l'égalité Ap n = p(n p ), d'où le résultat, sachant que Ap n = n/(n
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Version longue : «nombre de combinaisons de p éléments pris parmi n» Version n ⩾ x − 0, d'où (1 + x)n − 1 ⩾ nx, d'où le résultat 12 Démontrer que (n 0 )
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p) tirages possibles de p boules parmi n boules, ces tirages étant Quels que soient les entiers n et p tels que 0 p n, on a : (n p) ( n np) Chaque liste de résultats représentant l'évènement X=k est formée de k succès et n-k échecs La
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1) On lance un dé plusieurs fois de suite et on note à chaque fois le résultat On Il n'y a qu'un seul chemin correspondant à 0 succès parmi n épreuves :
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