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Université Blaise Pascal - Clermont-Université
UFR Psychologie, Sciences de L'éducation
École doctorale Lettres Langues et Sciences HumainesAgnès Malet
Thèse de doctorat
SAVOIRS ET CONNAISSANCES MATHÉMATIQUES SPÉCIFIQUES DU PROFESSEUR POUR L'ENSEIGNEMENT DU NOMBRE À L'ÉCOLE MATERNELLEThèse sous la direction de
Claire Margolinas, Maître de Conférences - Habilité à Diriger les Recherches, Université
Blaise Pascal, Clermont-Ferrand
Soutenance prévue le 9 décembre 2016
Jury Jean-Luc Dorier, Professeur ordinaire, Université de Genève (Rapporteur) Alain Bronner, Professeur des Universités, Université de Montpellier (Rapporteur) Roland Goigoux, Professeur des Université, Université Blaise Pascal (Examinateur) Stéphane Clivaz, Professeur, Haute École Pédagogique de Lausanne (Examinateur)Floriane Wozniak, Maître de Conférences Habilitée à Diriger les Recherches, Université de
Montpellier (Examinatrice)
2 3REMERCIEMENTS
Tout au long de ces années, je ne me suis jamais sentie seule dans cette aventure pourtant très personnelle. Toujours soutenue, accompagnée, épaulée, poussée... mes plus vifs et chaleureux remerciements vont à Claire Margolinas. Merci pour ces nombreuses journées à apprendre à tes côtés. Un grand merci également aux dix enseignants qui ont partagé un bout de chemin avec moi. Merci Alexandre, Angeline, Annie, Odile, Olivier, Myriam, Sibylle, Stéphanie, Sylvie et Virginie pour votre participation, vous m'avez livré une partie de votre enseignement avec tant degénérosité. Sachez que c'est toujours avec le même plaisir que j'ai travaillé sur vos données.
Je tiens à remercier vivement les inspecteurs d'académie pour leur soutien. J'adresse mes remerciements aux inspecteurs de l'éducation nationale pour leur incroyable confiance et leurs encouragements.Merci également au laboratoire de recherche, à l'école doctorale, à l'université pour m'avoir
grandement facilité les démarches administratives. Un grand merci à mes amies ; Francine pour ton soutien sans faille pour tes commentaires et tes nombreuses relectures. Sylvie pour ta relecture fine et tes observations précises tout cela en un minimum de temps. Andréa, Cécile, Sylvie et Sylvie pour votre incroyable patience. Merci à mes parents, pour leur soutien absolu à distance et merci à Magali pour m'avoir montré la voie.Enfin, un énorme merci à mes enfants, Fiona et Nicolas et à toi, Rémy pour vos
encouragements permanents, votre compréhension et votre grande patience lors des derniers mois et des derniers jours. 4 5SOMMAIRE
SOMMAIRE ............................................................................................................... 5
INTRODUCTION - LES NOMBRES, ÇA COMPTE À LA MATERNELLE ! .......................................... 23
1- D'un questionnement d'enseignante à l'école maternelle à l'élaboration d'un
questionnement de chercheur... ................................................................................................... 24
2- D'un questionnement de conseillère pédagogique maternelle à l'élaboration d'un
questionnement de chercheur... ................................................................................................... 24
3- Vers l'élaboration d'un questionnement de chercheur ............................................... 25
PARTIE 1- LES CONNAISSANCES MATHÉMATIQUES DU PROFESSEUR ET LES SAVOIRS MATHÉMATIQUESPOUR L
'ENSEIGNEMENT DU NOMBRE À L'ÉCOLE MATERNELLE ........................................................... 27
Chapitre 1- Les connaissances mathématiques spécifiques à l'enseignement duprofesseur .............................................................................................................................. 29
1- Les travaux de Shulman ................................................................................................ 29
1.1- La connaissance disciplinaire du contenu ............................................................ 31
1.2- La connaissance pédagogique du contenu .......................................................... 31
1.3- La connaissance du curriculum ............................................................................ 31
2- Les travaux de Ball ........................................................................................................ 32
2.1- Les connaissances mathématiques communes CMC (Common Content
Knowledge-CCK) ....................................................................................................................... 33
2.2- Les connaissances mathématiques spécifiques CMS (Specialized Content
Knowledge-SCK) ....................................................................................................................... 33
2.3- Les connaissances des élèves et de l'apprentissage du sujet CE (Knowledge of
Content and Students-KCS) ...................................................................................................... 33
2.4- Les connaissances du contenu et de l'enseignement du sujet CC (Knowledge of
Content ans Teaching-KCT) ...................................................................................................... 34
3- Les travaux de Margolinas ............................................................................................ 36
Conclusion ........................................................................................................................ 39
Chapitre 2- L'enseignement à l'école maternelle .......................................................... 41
1- L'histoire de l'école maternelle française contemporaine ........................................... 41
1.1- L'école maternelle française ................................................................................ 41
1.2- Historique de l'école maternelle française .......................................................... 42
2- Les pratiques de l'école maternelle contemporaine .................................................... 48
2.1- Des ateliers ........................................................................................................... 48
2.2- Des ateliers qui tournent sur la semaine ............................................................. 49
2.3- Des emplois du temps à l'école maternelle ......................................................... 50
Conclusion ........................................................................................................................ 50
Chapitre 3- Les savoirs mathématiques spécifiques à l'enseignement du nombre ......... 53 61- Savoirs et institutions ................................................................................................... 53
2- Le nombre dans les programmes ................................................................................. 54
3- Savoirs mathématiques ................................................................................................ 57
3.1- Le cardinal ............................................................................................................ 58
3.2- L'ordinal ................................................................................................................ 59
3.3- L'énumération ...................................................................................................... 60
3.4- Les numérations ................................................................................................... 61
a- La numération orale ..................................................................................................... 61
b- La numération écrite de position ................................................................................. 62
c- La numération figurée .................................................................................................. 62
3.5- Le calcul ................................................................................................................ 65
Conclusion ........................................................................................................................ 66
Chapitre 4- La théorie des situations didactiques et les savoirs mathématiques pourl'enseignement du nombre ..................................................................................................... 67
1- Une distinction nécessaire entre savoirs et connaissances ......................................... 67
1.1- Une distinction fondatrice pour la didactique des mathématiques .................... 67
1.2- Un lien dialectique entre savoir et connaissance ................................................. 68
2- Les situations fondamentales ....................................................................................... 70
2.1- Origine et organisation des situations ................................................................. 70
a- Situation générique ...................................................................................................... 70
b- Situation significative ................................................................................................... 70
c- Une suite de situations ................................................................................................. 71
2.2- Définition d'une situation fondamentale ............................................................. 71
2.3- La description de situations fondamentales comme cadre d'analyse ................. 71
3- La structuration des milieux ......................................................................................... 72
3.1- Le milieu ............................................................................................................... 72
3.2- La structuration du milieu .................................................................................... 73
3.3- La structuration des situations fondamentales .................................................... 74
3.4- Deux logiques possibles dans l'emboîtement des situations ............................... 74
Conclusion ........................................................................................................................ 75
Chapitre 5- Une modélisation des savoirs mathématiques spécifiques à l'enseignementdu nombre ............................................................................................................................. 77
1- Présentation des savoirs du nombre ............................................................................ 77
1.1- Des savoirs pour l'enseignement du nombre ...................................................... 77
1.2- Présentation des savoirs cardinal et ordinal ........................................................ 78
1.3- Présentation du savoir énumération ................................................................... 78
1.4- Présentation du savoir calcul ............................................................................... 79
1.5- Présentation du savoir numérations .................................................................... 79
2- Construction générale de l'arbre des savoirs ............................................................... 79
72.1- Représentation des emboîtements de situations fondamentales ....................... 80
2.2- Choix d'une structure hiérarchique ..................................................................... 80
2.3- Principes de la représentation des situations fondamentales successives.......... 81
3- Construction particulière d'une branche de l'arbre des savoirs : la branche cardinal 81
3.1- Construction de la situation 0 : CO collection ...................................................... 81
3.2- Deux branches au niveau 0 suivant l'orientation savoir/connaissance ............... 82
3.3- Construction des connaissances de la quantité comme grandeur ...................... 82
a- Comparaison directe .................................................................................................... 82
b- Comparaison indirecte ................................................................................................. 84
c- Les situations de formulation : éloignement dans le temps ......................................... 85
d- Situation de formulation à autrui ................................................................................. 85
e- Situation de formulation collective .............................................................................. 86
3.4- Étude des savoirs de la branche cardinal-relations .............................................. 87
Conclusion ........................................................................................................................ 88
Chapitre 6- Les savoirs mathématiques spécifiques pour l'enseignement de la cardinalitéà l'école maternelle ................................................................................................................ 89
1- La branche cardinal-quantité et les connaissances en situation .................................. 89
1.1- Le nombre comme mémoire de la quantité ........................................................ 89
1.2- Situation fondamentale S
0 : Comparer des collections ........................................ 90
a- Comparaison directe de collections ............................................................................. 90
b- Comparaison indirecte de collections : éloignement dans l'espace ............................ 90
c- Situation avec éloignement dans le temps ................................................................... 92
d- Situation de formulation à autrui ................................................................................. 92
e- Situation de formulation collective .............................................................................. 93
1.3- Situation fondamentale S
1 : Construire des collections de même quantité ........ 93
a- Situation fondamentale de S1.......................................................................................... 93
b- Situation d'anticipation de la quantité (situation d'action) ......................................... 93
c- Empêcher l'action directe (situation avec éloignement dans l'espace) ....................... 94
d- Situation de formulation : éloignement dans le temps ................................................ 97
e- Situation de formulation à autrui ................................................................................. 98
f- Situation formulation collective .................................................................................... 99
1.4- Situation fondamentale S
2 : Classer des collections........................................... 100
a- Situation de classement direct ................................................................................... 100
b- Situation classement indirect ..................................................................................... 100
c- Situation de formulation à autrui ............................................................................... 101
d- Situation de formulation collective ............................................................................ 102
Conclusion de la branche cardinal-quantité .............................................................. 102
2- La branche cardinal-relations et les connaissances en situation ............................... 106
2.1- La visite de l'oeuvre " nombre » ......................................................................... 106
8 a-Cardinal-relations ....................................................................................................... 106
b- Étude de " un » .......................................................................................................... 107
2.2- Visite du savoir V
0 : Itération/Succession ........................................................... 108
a- Construire 2 comme 1 et 1 ......................................................................................... 108
b- Construire 3 comme 2 et 1 ......................................................................................... 108
2.3- Visite du savoir V
1 : Figuration/Dénomination ................................................... 109
a- Figurer/Dénommer 2 .................................................................................................. 109
b- Figurer/dénommer le long de la branche .................................................................. 109
2.4- Visite du savoir V
2 : Décomposition ................................................................... 110
a- Décomposer 3 ............................................................................................................ 110
b- Décomposer après cinq .............................................................................................. 110
2.5- Visite du savoir V
3 : Recomposition .................................................................... 111
a- Recomposer à partir des doubles ............................................................................... 111
b- Recomposer à partir des triples ................................................................................. 111
Conclusion de la branche cardinal-relations ............................................................. 112
Conclusion ...................................................................................................................... 114
Conclusion de la partie 1 ............................................................................................ 117
PARTIE 2- UN ÉTAT DES LIEUX DES CONNAISSANCES MATHÉMATIQUES SPÉCIFIQUES POUR L'ENSEIGNEMENT DU NOMBRE À L'ÉCOLE MATERNELLE .................................................................. 119
Chapitre 1- L'étude des connaissances mathématiques spécifiques ou méthodologie pouridentifier les CMS .................................................................................................................. 121
1- Comment déterminer les connaissances mathématiques spécifiques du professeur
pour l'enseignement du nombre à l'école maternelle ? ............................................................. 121
1.1- Méthodologie des études antérieures sur les connaissances mathématiques
spécifiques pour enseigner .................................................................................................... 121
a- Ball .............................................................................................................................. 121
b- Clivaz .......................................................................................................................... 122
1.2- Difficultés méthodologiques concernant l'étude des connaissances
mathématiques spécifiques pour enseigner le nombre à l'école maternelle ....................... 122
1.3- Le choix d'un entretien ....................................................................................... 123
2- Le recueil et l'élaboration des données ..................................................................... 124
2.1- Déroulement de l'entretien ............................................................................... 124
a- Mise en place de l'entretien ....................................................................................... 124
b- Démarche de l'entretien ............................................................................................ 124
2.2- L'anonymat des enseignants .............................................................................. 126
2.3- Les verbatim ....................................................................................................... 126
2.4- Les enseignants interrogés ................................................................................. 127
3- Le traitement des données avec le logiciel Transana ................................................. 129
3.1- Présentation du logiciel Transana ...................................................................... 129
3.2- La structure hiérarchique et les mots-clés dans Transana ................................. 130
93.3- Élaboration des mots-clés à partir de l'arbre des savoirs sur le nombre à la
maternelle .............................................................................................................................. 130
Conclusion ...................................................................................................................... 131
Chapitre 2- Des choix méthodologiques pour présenter les résultats ........................... 133
1- Des choix dans les codages ........................................................................................ 133
1.1- Des connaissances mathématiques pour l'enseignement non codées ............. 133
a- Les connaissances du contenu et des élèves (CC) ...................................................... 134
b- Les connaissances des élèves et de l'apprentissage du sujet (CE) ............................. 134
c- Les connaissances du programme et des moyens d'enseignement (CP) : ................. 134d- Les connaissances de l'horizon mathématique (CHM) : ............................................ 135
e- Les connaissances mathématiques communes (CMC) .............................................. 135
f- Les connaissances mathématiques spécifiques pour l'enseignement (CMS) ............. 1351.2- La recherche de situations fondamentales à coder ........................................... 135
1.3- Coder des situations emboitées ......................................................................... 136
1.4- Des niveaux d'activité codés en complément .................................................... 136
2- Explication du codage et premières remarques concernant les branches ............... 137
2.1- Des facilités et des obstacles pour le codage ..................................................... 138
a- Des savoirs clairement énoncés ..................................................................................... 138
b- Un lexique commun partagé ......................................................................................... 138
c- Connaissances partagées entre chercheur et enseignants interrogés .......................... 138
2.2- Des choix de codage pour les branches ............................................................ 139
a- Les frontières avec la branche calcul ............................................................................. 139
b- Les frontières avec la branche numérations .................................................................. 140
Conclusion ...................................................................................................................... 142
Chapitre 3- Analyse globale des résultats à l'aide de l'arbre des savoirs du nombre ..... 1431- L'arbre des savoirs : un outil de lecture des programmes d'enseignement .............. 143
1.1-Lecture des programmes de l'école maternelle de 1882 à nos jours ................. 143
a- Programmes de la maternelle de 1882 ...................................................................... 143
b- Programmes maternelle - Note du 18 octobre 1945 ................................................. 144
c- Orientations pour l'école maternelle de 1986............................................................ 144
d- Programmes maternelle 1991 (en termes de compétences) ..................................... 145
e- Programmes de la maternelle 1995 ........................................................................... 145
f- Programmes de la maternelle de 2002 ....................................................................... 146
g- Programmes de la maternelle BO du 19 juin 2008 ..................................................... 146
h- Programme de la maternelle BO du 26 mars 2015 .................................................... 147
2- L'arbre des savoirs : un outil d'analyse des branches ................................................ 148
3- Analyse de la branche cardinal ................................................................................... 151
3.1- La branche cardinal-quantité ............................................................................. 152
3.2- La branche cardinal-relations ............................................................................. 154
104- Analyse de la branche numérations ........................................................................... 157
4.1- Numération orale ............................................................................................... 157
4.2- La numération figurée ........................................................................................ 160
4.3- Numération écrite .............................................................................................. 160
5- Analyse de la branche calcul ...................................................................................... 162
6- Analyse de la branche ordinal .................................................................................... 165
6.1- La branche ordinal-relations .............................................................................. 166
6.2- La branche ordinal-position ............................................................................... 167
7- Énumération ............................................................................................................... 168
Conclusion concernant l'analyse globale ....................................................................... 172
Chapitre 4- Analyse détaillée des résultats par enseignant .......................................... 173
1- L'enseignement de A .................................................................................................. 173
1.1- L'arbre des savoirs du nombre de A ................................................................... 173
a- Focus sur les cinq principaux savoirs de l'arbre du nombre .......................................... 173
b- Durée des extraits codés ............................................................................................... 174
1.2- Quelles connaissances mathématiques spécifiques sont présentes dans chacune
des branches ? ........................................................................................................................ 174
a- La branche cardinal ........................................................................................................ 174
b- La branche numérations ................................................................................................ 176
c- La branche énumération ................................................................................................ 177
1.3- Dialectique savoir/connaissance à travers certaines activités décrites ............. 178
a- Des savoirs vers les connaissances ................................................................................ 178
b- Des connaissances vers les savoirs ................................................................................ 179
1.4- Les niveaux d'activités de A ................................................................................ 179
a- Niveau+3 : niveau noosphérien ou idéologique ............................................................ 179
b- Niveau+2 : situation de construction ............................................................................. 180
c- Niveau +1 et niveau 0 : situation de projet de leçon (dans la séance) et situation
didactique ........................................................................................................................................ 180
d- Niveau -1 : niveau d'observation ou de dévolution ....................................................... 181
1.5- Conclusion concernant A .................................................................................... 181
2- L'enseignement de B .................................................................................................. 182
2.1- L'arbre des savoirs du nombre de B ................................................................... 182
a- Focus sur les cinq principaux savoirs de l'arbre du nombre .......................................... 182
b- Durée des extraits codés ............................................................................................... 183
2.2- Quelles connaissances mathématiques spécifiques sont présentes dans chacune
des branches ? ........................................................................................................................ 183
a- La branche numérations ................................................................................................ 183
b- La branche cardinal ........................................................................................................ 184
c- La branche ordinal .......................................................................................................... 186
d- La branche calcul ........................................................................................................... 187
11 e- La branche énumération ................................................................................................ 187
2.3- Dialectique savoir/connaissance à travers certaines activités décrites ............. 188
a- Des savoirs vers les connaissances ................................................................................ 188
b- Des connaissances vers les savoirs ................................................................................ 188
2.4- Les niveaux d'activités de B ................................................................................ 188
a- Niveau +3 : niveau noosphérien ou idéologique ........................................................... 188
b- Niveau+2 : situation de construction ............................................................................. 189
c- Niveau +1 et niveau 0 : situation de projet de leçon (dans la séance) et situation
didactique ........................................................................................................................................ 189
d- Niveau -1 : niveau d'observation ou de dévolution ....................................................... 190
2.5- Conclusion concernant B .................................................................................... 190
3- L'enseignement de C .................................................................................................. 191
3.1- L'arbre des savoirs du nombre de C ................................................................... 191
a- Focus sur les cinq branches de l'arbre des savoirs du nombre ...................................... 191
b- Durée des extraits codés ............................................................................................... 191
3.2- Quelles connaissances mathématiques spécifiques sont présentes dans chacune
des branches ? ........................................................................................................................ 192
a- La branche numérations ................................................................................................ 192
b- La branche calcul ........................................................................................................... 193
c- La branche cardinal ........................................................................................................ 194
d- La branche énumération ................................................................................................ 195
e- La branche ordinal ......................................................................................................... 196
3.3- Les niveaux d'activités de C ................................................................................ 196
a- Niveau+3 : niveau noosphérien ou idéologique ............................................................ 196
b- Niveau+2 : situation de construction ou de conception d'un thème ............................ 197
c- Niveau +1 et niveau 0 : situation de projet de leçon (dans la séance) et situation
didactique ........................................................................................................................................ 197
d- Niveau -1 : niveau d'observation ou de dévolution ....................................................... 197
3.4- Conclusion pour C............................................................................................... 198
4- L'enseignement de D .................................................................................................. 199
4.1- L'arbre des savoirs du nombre de D ................................................................... 199
a- Focus sur les cinq branches de l'arbre des savoirs du nombre ...................................... 199
b- Durée des extraits codés ............................................................................................... 199
4.2- Quelles connaissances mathématiques spécifiques sont présentes dans chacune
des branches ? ........................................................................................................................ 200
a- La branche numérations ................................................................................................ 200
b- La branche cardinal ........................................................................................................ 201
c- La branche calcul ............................................................................................................ 203
d- La branche énumération ................................................................................................ 203
4.3- Les niveaux d'activités de D ............................................................................... 203
a- Niveau+3 : niveau noosphérien ou idéologique ............................................................ 203
12 b- Niveau+2 : situation de construction ............................................................................. 204
c- Niveau+1 et niveau 0 : situation de projet de leçon (dans la séance) et situation
didactique ........................................................................................................................................ 204
d- Niveau-1 : niveau d'observation ou de dévolution ........................................................ 205
4.4- Conclusion concernant D.................................................................................... 205
5- L'enseignement de E .................................................................................................. 206
5.1- L'arbre des savoirs du nombre de E ................................................................... 206
a- Focus sur les cinq branches de l'arbre des savoirs du nombre ...................................... 206
b- Durée des extraits codés ............................................................................................... 206
5.2- Quelles connaissances mathématiques spécifiques sont présentes dans chacune
des branches ? ........................................................................................................................ 208
a- La branche numérations ................................................................................................ 208
b- La branche cardinal ........................................................................................................ 210
c- La branche ordinal .......................................................................................................... 212
d- La branche calcul ........................................................................................................... 214
e- La branche énumération ................................................................................................ 217
5.3- Dialectique savoir/connaissance à travers certaines activités décrites ............. 218
a- Des savoirs vers les connaissances ................................................................................ 218
b- Des connaissances vers les savoirs ................................................................................ 218
5.4- Les niveaux d'activités de E ................................................................................ 218
a- Niveau +3 : niveau noosphérien ou idéologique ........................................................... 218
b- Niveau +2 : situation de construction ............................................................................ 219
c- Niveau +1 et niveau 0 : situation de projet de leçon (dans la séance) et situation
didactique ........................................................................................................................................ 219
d- Niveau -1 : niveau d'observation ou de dévolution ....................................................... 220
5.5- Conclusion concernant E .................................................................................... 220
6- L'enseignement de F .................................................................................................. 221
6.1- L'arbre des savoirs du nombre de F ................................................................... 221
a- Focus sur les cinq branches de l'arbre des savoirs du nombre ...................................... 221
b- Durée des extraits codés ............................................................................................... 221
6.2- Quelles connaissances mathématiques spécifiques sont présentes dans chacune
des branches ? ........................................................................................................................ 222
a- La branche numérations ................................................................................................ 222
b- La branche cardinal ........................................................................................................ 224
c- La branche calcul ............................................................................................................ 225
d- La branche ordinal ......................................................................................................... 225
e- La branche énumération ................................................................................................ 226
6.3- Les niveaux d'activités de F ................................................................................ 227
a- Niveau+3 : niveau noosphérien ou idéologique ............................................................ 227
b- Niveau+2 : situation de construction ............................................................................. 227
13 c- Niveau +1 et niveau 0 : situation de projet de leçon (dans la séance) et situation
didactique ........................................................................................................................................ 228
d- Niveau -1 : niveau d'observation ou de dévolution ....................................................... 228
6.4- Conclusion concernant F .................................................................................... 228
7- L'enseignement de G .................................................................................................. 230
7.1- L'arbre des savoirs du nombre de G .................................................................. 230
a- Focus sur les cinq branches de l'arbre des savoirs du nombre ...................................... 230
b- Durée des extraits codés ............................................................................................... 230
7.2- Quelles connaissances mathématiques spécifiques sont présentes dans chacune
des branches ? ........................................................................................................................ 231
a- La branche cardinal ........................................................................................................ 231
b- La branche numérations ................................................................................................ 233
c- La branche ordinal .......................................................................................................... 236
d- La branche énumération ................................................................................................ 236
7.3- Les niveaux d'activités de G ............................................................................... 237
a- Niveau+3 : niveau noosphérien ou idéologique ............................................................ 237
b- Niveau+2 : situation de construction ............................................................................. 238
c- Niveau+1 et niveau 0 : situation de projet de leçon (dans la séance) et situation
didactique ........................................................................................................................................ 238
d- Niveau-1 : niveau d'observation ou de dévolution ........................................................ 238
7.4- Conclusion concernant G ................................................................................... 238
8- L'enseignement de H .................................................................................................. 240
8.1- L'arbre des savoirs du nombre de H................................................................... 240
a- Focus sur les cinq branches de l'arbre des savoirs du nombre ...................................... 240
b- Durée des extraits codées.............................................................................................. 240
8.2- Quelles connaissances mathématiques spécifiques sont présentes dans chacune
des branches ? ........................................................................................................................ 241
a- La branche cardinal ........................................................................................................ 241
b- La branche numérations ................................................................................................ 243
c- La branche calcul ............................................................................................................ 244
d- La branche énumération ................................................................................................ 246
8.3- Dialectique savoir/connaissance à travers certaines activités décrites ............. 246
a- Des savoirs vers les connaissances ................................................................................ 246
b- Des connaissances vers les savoirs ................................................................................ 246
8.4- Les niveaux d'activités de H ............................................................................... 247
a- Niveau +3 : niveau noosphérien ou idéologique ........................................................... 247
b- Niveau +2 : situation de construction ou de conception d'un thème ........................... 247
c- Niveau +1 et niveau 0 : situation de projet de leçon (dans la séance) et situation
didactique ........................................................................................................................................ 248
d- Niveau -1 : niveau d'observation ou de dévolution ....................................................... 248
8.5- Conclusion concernant H ................................................................................... 249
149- L'enseignement de I ................................................................................................... 250
9.1- L'arbre des savoirs du nombre de I .................................................................... 250
a- Focus sur les cinq branches de l'arbre des savoirs du nombre ...................................... 250
b- Durée des extraits codés ............................................................................................... 250
9.2- Quelles connaissances mathématiques spécifiques sont présentes dans chacune
des branches ? ........................................................................................................................ 250
a- La branche cardinal ........................................................................................................ 250
b- La branche numérations ................................................................................................ 254
c- La branche énumération ................................................................................................ 255
d- La branche calcul ........................................................................................................... 255
e- La branche ordinal ......................................................................................................... 256
9.3- Dialectique savoir/connaissance à travers certaines activités décrites ............. 256
a- Des savoirs vers les connaissances ............................................................................. 256
b- Des connaissances vers les savoirs ............................................................................. 257
9.4- Les niveaux d'activités de I ................................................................................. 257
a- Niveau +3 : niveau noosphérien ou idéologique ........................................................... 257
b- Niveau +2 : situation de construction ............................................................................ 258
c- Niveau +1 et niveau 0 : situation de projet de leçon (dans la séance) et situation
didactique ........................................................................................................................................ 258
d- Niveau -1 : niveau d'observation ou de dévolution ....................................................... 259
9.5- Conclusion concernant I ..................................................................................... 259
10- L'enseignement de J ................................................................................................. 260
10.1- L'arbre des savoirs du nombre de J .................................................................. 260
a- Focus sur les cinq branches de l'arbre des savoirs du nombre ...................................... 260
b- Durée des extraits codés ............................................................................................... 261
10.2- Quelles connaissances mathématiques spécifiques sont présentes dans
chacune des branches ? ......................................................................................................... 261
a- La branche cardinal ........................................................................................................ 261
c- La branche numérations ............................................................................................. 264
c- La branche calcul ............................................................................................................ 265
d- La branche énumération ............................................................................................ 266
e- La branche ordinal ......................................................................................................... 267
10.3- Dialectique savoir/connaissance à travers certaines activités décrites ........... 268
a- Des savoirs vers les connaissances ................................................................................ 268
b- Des connaissances vers les savoirs ................................................................................ 268
10.4- Les niveaux d'activités de J ............................................................................... 269
a- Niveau +3 : niveau noosphérien ou idéologique ........................................................... 269
b- Niveau +2 : situation de construction ............................................................................ 269
c- Niveau +1 et niveau 0 : situation de projet de leçon (dans la séance) et situation
didactique ........................................................................................................................................ 270
d- Niveau -1 : niveau d'observation ou de dévolution ....................................................... 270
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