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- Probabilités (Terminale ES-Spé.) - - 1 - PROBABILITES
I.) DENOMBREMENTS
Un magazine propose à ses lecteurs une liste de 5 chanteurs célèbres a, b, c, d et E ; il leur
demande de choisir 3 des ces chanteurs et de les ranger par ordre de préférence sur un coupon réponse à renvoyer au journal.Exemples de réponses :
Le but est de dénombrer les différentes réponses possibles a.) PermutationsDéfinition :
Soit E un ensemble à p éléments, on appelle permutation de E toute liste ordonnée des p éléments de E .Exemple
: Les permutations de { a, b, c } sont : abc, acb, bac, bca, cab, cba.Elles sont on nombre de 3
´ 2 ´ 1 = 6.
Définition :
Le nombre p´(p - 1)´(p - 2)´...´2 ´ 1 se note p ! et se lit " factorielle p ».Par convention, 0 ! = 1.
Exemple
: Avec les chiffres 5, 6, 7, 8 et 9 utilisés chaque fois, combien peut-on écrire de nombres à 5 chiffres ? Il s"agit des permutations de { 5, 6, 7, 8, 9 }, qui sont au nombre de 5 ! = 120.0 ! 1 ! 2 ! 3 ! 6 ! 10 !
1 1 2 6 720 3628800
1 : a 2 : b 3 : c 1 : b 2 : a 3 : c 1 : c 2 : e 3 : a - Probabilités (Terminale ES-Spé.) - - 2 - b.) CombinaisonsDéfinition :
Soit E un ensemble à n éléments, on appelle combinaison de p éléments de E toute partie de E formée de p éléments.Exemple
: Les combinaisons de 3 éléments de E = { a, b, c, d, e } sont les groupes de 3 chanteurs (sans ordre) :{a, b, c} ; {a, b, d} ; {a, b, e} ; {a, c, d} ; {a, c, e} ; {a, d, e} ; {b, c, d} ; {b, c, e} ; {b, d, e} ; {c, d, e}
Elles sont on nombre de 10. On note C
35 = 10.
Propriétés :
Soit E un ensemble non vide à n éléments et p un entier tel que 0 < p £ n, alors le nombre de combinaisons à p éléments de E noté Cnp vérifie :Cnp = n !
p ! ´ (n - p) ! c.) Triangle de Pascal et propriétés des Cnp.On dispose les C
np dans un tableau à double entrée, appelé triangle de Pascal : n \ p0 1 2 3 4 5 ...
0 C00 = 1
1 C10 = 1 C11 = 1
2 C20 = 1 C21 = 2 C22 = 1
3 C30 = 1 C31 = 3 C32 = 3 C33 = 1
4 C40 = 1 C41 = 4 C42 = 6 C43 = 4 C44 = 1
5 C50 = 1 C51 = 5 C52 = 10 C53 = 10 C54 = 5 C55 = 1
Propriétés :
Pour tous entiers p et n tels que 0 £ p £ n, on a :· C
n0 = 1 et Cn1 = n.· C
np = Cn-p n.· C
np + Cp+1 n = Cp+1n+1 d.) Binôme de NewtonOn observe que : (a + b) = 1a + 1b,
(a + b)² = 1a² + 2ab + 1b², (a + b)3 = 1a3 + 3a²b + 3ab² + 1b3.
On retrouve les coefficients du triangle de Pascal.Propriété :
Pour tous réels a et b et tout entier naturel n, on a : (a + b) n = ∑ p=0nCpn ´ an-p ´ bp
- Probabilités (Terminale ES-Spé.) - - 3 -Les nombres C
np sont appelés " coefficients du binôme ».Exemples :
· (x + 2)4 = x4 + 4x3´2 + 6x²´4 + 4x´8 + 16 = x4 + 8x3 + 24x² + 32x + 16. · (x - 2)4 = (x + (-2))4 = x4 - 8x3 + 24x² - 32x + 16. e.) Exemples d"utilisation· Exemple n°1 :
Dans un jeu de 32 cartes, on tire simultanément 3 cartes au hasard.Quelle est la probabilité d"obtenir :
1. Trois as.
2. Trois cartes de même valeur.
3. Deux coeurs et un pique.
1 : nombre de combinaisons de 3 éléments choisis parmi les 4 as du jeu.
P = C 34C332 = 4
4960 = 1
1240.2 : nombre de combinaisons de 3 éléments choisis parmi les 4 du jeu, pour les 8 valeurs.
P = 8´C
3 4C332 = 32
4960 = 1
155.3 : Il y a C
28 façons de choisir les coeurs et C18 façon de choisir le pique.
P = C28 ´ C1
8C332 = 8´7
4960 = 56
4960 = 7
155.· Exemple n°2 :
Une urne contient : 5 boules n°10 ; 4 boules n°15 ; 3 boules n°20. On tire simultanément 3 boules de cette urne. Les tirages sont équiprobables.1. Déterminer les probabilités suivantes :
A : " On tire au moins une boule n°15 »
B : " On tire trois boules portant trois numéros différents » C : " On tire trois boules portant le même numéro » D : " Parmi les trois boules, deux portent le même numéro »2. Il faut payer 51 francs pour effectuer un tirage de trois boules, et chaque tirage rapporte
en francs la somme des points marqués. Montrer que la probabilité d"être gagnant est de 13 2201. P(A) = 1 - P(
¾A) = 1 - C
3 8C312 = 1 - 56
220 = 164220 = 4155.
P(B) =
C15 ´ C1
4 ´ C1
3C312 = 5´4´3
220 = 60
220 = 1555.
P(C) =
C35 + C3
4 + C3
3C312 = 10 + 4 + 1
220 = 15
220 = 3
44.P(D) = 1 - P(B)- P(C) = 1 -
60220
- 15
220 = 145220 = 2944.
2. P =
C33 + C2
3´C14
C312 = 1 + 3´4
220 =13
220.- Probabilités (Terminale ES-Spé.) - - 4 -
II.) SCHEMA DE BERNOULLI
Un dé cubique est mal équilibré : la probabilité d"obtenir 6 est de 17, celle d"obtenir un autre
résultat est donc de 1 - 1 7 = 6 7On lance une ce dé. On appelle succès l"événement " obtenir 6 » et échec " obtenir un numéro
différent de 6 ». Cette expérience qui ne comporte que deux issues est une épreuve de Bernoulli. On effectue cinq fois cette expérience. On est en présence d"un schéma de Bernoulli. On peut représenter les éventualités sur un arbre pondéré : ARBRE On appelle X la variable aléatoire comptant le nombre de succès à l"issue des 5 lancés. a.) Loi binomiale