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Chapitre 13 : Probabilités partie 2 : les combinaisons Page 1 sur 2

Terminale S. - Lycée Desfontaines - Melle

Correction exercice 4 - Probabilités 2

On tire simultanément 3 boules dans une urne contenant 4 boules rouges, 3 vertes et 2 noires indisernables au

toucher.

1. Combien y-a-t-il de tirages possibles ?

Les 9 boules de l"urne sont indiscernables au toucher, tirer 3 boules simultanément parmi les 9 consiste donc

constituer une combinaison de 3 éléments parmi 9. Il y a donc 9

3 càd 84 tirages possibles.

2.

a. Calculons la probabilité de l"événement A :"le tirage contient exactement 2 boules rouges"

Pour que A se réalise, il faut tirer 2 boules rouges parmi les 4 et 1 boule non rouge parmi les 5 non rouges.

Or, tirer 2 boules rouges parmi les 4 revient à constituer une combinaison de 2 éléments parmi 4

donc il y a 4

2=6 possibilités faire un tel tirage.

Et il y a

5

1=5 possibilités de tirer une boule non rouge (3 vertes et 2 noires) parmi les 5 non rouges.

D "où il y a 6×5=30 possibiltés de tirer exactement deux boules rouges. donc en supposant l "équiprobabilité des tirages, p(A) = ((( 4

2×(((

)))5 1 9 3 = 3084 = 5

14 ó0,36

La probabilité de tirer exactement deux boules rouges est p(A)= 5

14 ó0,36

b. Calculons la probabilité de l"événement B : "Le tirage contient au moins 2 boules rouges".

"Tirer au moins 2 boules rouges" revient à "tirer soit 2 boules rouges exactement, soit 3 boules rouges"

Il y a donc 30

+4=34 possibilités de tirer au moins 2 boules rouges.

Or, nous avons vu qu

"il y a ((( 4

2×(((

)))5

1=30 possibilités de tirer exactement 2 boules rouges, et tirer 3 boules

rouges revient à constituer une combinaison de 3 éléments parmi 4 soit 4

3=4 possibilités

Donc en supposant l

"équiprobabilité, p(B) = ((( 4

2×(((

)))5 1+((( )))4

3×(((

)))5 0 9 3 = 3484 = 17

42 ó0,4

La probabilité de tirer au moins 2 boules rouges est p(B)= 17

42 ó0,4

c. Calculons la probabilité de l"événement C : "Le tirage contient exactement 2 boules de même

couleur" ?

Pour que C se réalise, on peut :

- tirer exactement 2 boules vertes ce qui revient à constituer une combinaison de 2 éléments parmi 3 et

tirer une boule non verte ce qui revient à constituer une combinaison de 1 élément parmi 6. Il y a donc

3 2((( 6

1=18 possibilités de tirer exactement 2 boules vertes.

- ou tirer exactement 2 boules noires ce qui revient à constituer une combinaison de 2 éléments parmi 2 et

tirer une boule non noire ce qui revient à constituer une combinaison de 1 éléments parmi 7. Il y a donc

2 2((( 7

1=7 possibilités de tirer exactement 2 boules noires.

Chapitre 13 : Probabilités partie 2 : les combinaisons Page 2 sur 2 - ou tirer exactement 2 boules rouges sachant qu"il y a ((( 4

2×(((

)))5

1=30 possibilités de la faire.

- D

"où finalement, il y a 18+7+30=55 possibilités de tirer exactement 2 boules de même couleur donc

en supposant l "équiprobabilité p(C) = ((( 3

2×(((

)))6 1+((( )))2

2×(((

)))7 1+((( )))4

2×(((

)))5 1 9 3 = 55

84 ó0,65

La probabilité de tirer exactement deux boules de même couleur est p(C)= 55

84 ó0,65

d. Calculons la probabilité de l"événement D : "Le tirage contient une boule de chaque couleur"

Pour que D se réalise, il faut :

- tirer exactement une boule rouge ce qui revient à constituer une combinaison de 1 élément parmi 4.

- et tirer exactement une boule verte ce qui revient à constituer une combinaison de 1 élément parmi 3.

- et tirer exactement une boule noire ce qui revient à constituer une combinaison de 1 élément parmi 2.

Il y a donc

4 1((( 3 1((( 2

1=24 possibilités de tirer une boule de chaque couleur

Donc p(D)

= 2484 = 2

7 ó0,29

La probabilité de tirer une boule de chaque couleur est p(D)= 2

7 ó0,29.

3. Si les trois boules tirées sont rouges, le joueur gagne 100 euros ; si exactement deux boules tirées sont

rouges, il gagne 15 euros ; si une seule boule est rouge, il gagne 4 euros ; dans les autres cas, il ne gagne

rien. On appelle X la variable aléatoire qui prend pour valeurs le gain, en euros, du joueur lors d "un jeu. a. Déterminons la loi de probabilité de la v.a. X

X peut prendre pour valeurs 100, 15, 4 ou 0.

o p(X =15)=p(A)= 5 14

o Tirer exactement 3 boules rouges revient à constituer une combinaison de 3 éléments parmi 4. Il y a

donc 4

3=4 possibilités de tirer exactement 3 boules rouges donc p(X=100)= 4

84 = 1

21

o Tirer deux boules non rouges revient à constituer une combinaison de 2 éléments parmi 5 et tirer une

boule rouge revient à constituer une combinaison de 1 élément parmi 4, il y a donc 5 2((( 4 1=40 possibiltés de tirer exactement 1 boule rouge donc p(X =4)= 4084 = 1021 o p(X =0)=1-(P(X=4)+p(X=15)+p(X=100))=1- 1021 - 5

14 - 1

21 = 5

42
D "où la loi de probabilité de la v.a. X : xi 100 15 4 0

P( )X=xi 1

21 5

14 1021 5

42
b. Pour une mise de 10 euros, le jeu est-il favorable au joueur ?

Calculons l"espérance de X : E(X)=∑

i=0i=3 xi p( )X=xi=100× 1

21 +15× 5

14 +4× 1021 +0× 1

14 = 505

42 ó12,02

En moyenne, le joueur peut donc espérer gagner 2,02 euros environ. Pour une mise de 10 euros, le jeu est favorable au joueur.quotesdbs_dbs32.pdfusesText_38