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Perrine pour leur contribution à l'élaboration des corrigés des exercices La suite (un) est arithmétique, de premier terme u0 = –3 et de raison r = 1,5 La suite (vn) est On note vn, le salaire en 2015 + n, avec n ∈ ℕ Chaque Horus La déesse égyptienne des Mathématiques content/uploads/2013/09/Tangente01 pdf

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Livre du professeur

Cette version provisoire ne contient pas les corrigés du chapitre 5 ni de la partie d'algorithmique et programmation.

Sous la direction de

Paul DARTHOS

Lycée Jaufré Rudel, Blaye (33)

Auteurs Laurent CHARLEMAGNE

Lycée Marguerite Yourcenar, Beuvry (62)

Stéphanie FAVERO

Cité scolaire Jean

-Baptiste Say, Paris (75) ESPE de Paris

Paul FLAMBARD Lycée Max Linder, Libourne (33)

Vincent JOLY

Collège Frédéric Joliot-Curie, Lallaing (59)

Marie-Christine LÉVI

Lycée Fustel de Coulanges, Massy (91) ESPE de

Versailles

Christophe ROLAND

Lycée Paul Duez, Cambrai (59)

Armelle MORAND

Lycée Le Corbusier, Illkirch

-Graffenstaden (67) Didier REGHEM

Lycée Marguerite de Flandre, Gondecourt (59)

Christophe RIVIÈRE

Lycée Albert Einstein, Sainte-Geneviève-des-Bois (91) Magali SCHAEGIS Lycée Albert Schweitzer, Mulhouse (68)

Stéphane VOINOT

Lycée français d'Irlande, Dublin (AEFE)

Les directeurs de collection et les auteurs remercient chaleureuse ment Paolo Calciano et Tristan Perrine pour leur contribution à l'élaboration des corrigés des exercices.

CHAPITRE

y Les exercices

1 à

8 de la rubrique "

» sont corrigés en fin de manuel (p. 368).

p. 16 et 17 du manuel 1.

Triangle 1 2 3 4

Nombre de balles bleues 1 2 3 4

Nombre total de balles 3 6 9 12

2.Il faut 53 = 15 balles pour construire le triangle 5.

3. a. t3 = 9 , t4 = 12 , t5 = 15.

b. t1 = 3 1 , t2 = 3 2 , t3 = 3 3 , t4 = 3 4 , t5 = 3 5. 4.

5. Pour tout nombre entier naturel non nul n, tn = 3 n.

Certains élèves pourront dessiner les figures 4 et 5 afin de répondre à la question 1.

La question 2 n).

1. On a : b1 = 4 , b2 = b1 + 2 2 + 2 = 10 , b3 = b2 + 3 2 + 2 = 18 , b4 = b3 + 4 2 + 2 = 28 et

b5 = b4 + 5 2 + 2 = 40.

2. Pour tout entier naturel n non nul, bn + 1 = bn + (n + 1) 2 + 2 = bn + (n + 2) 2.

1 pour calculer les termes suivants.

Version guidée

1. Figure 4.

2. Tableau complété.

Figure numéro 1 2 3 4

Nombre de bâtons 4 10 18 28

+ 6 + 8 + 10

3. Pour construire la figure 5, il faut 28 + 12 = 40 bâtons.

4.a. b2 = b1 + 2 3 ; b3 = b2 + 2 4 ; b4 = b3 + 2 5 ; b5 = b4 + 2 6.

b. On généralise : bn+1 = bn + 2 (n + 2).

Bien faire

connaitre b1 pour calculer les termes suivants.

1.La suite des nombres calculés peut être modélisée par la suite (tn) définie par :

t0 = 4 et, pour tout entier naturel n, tn + 1 = 2 (tn ± 3).

On peut également effectuer les premiers calculs pour éliminer des réponses. t1 = 2 et t2 = ±2.

c. Vrai.

2. a. Voir le fichier ressource dans le manuel numérique enseignant.

Les algorithmes 2 et 3 conviennent.

décroissante.

2. a. Les valeurs affichées sont arrondies par le tableur. Elles ne sont peut-être pas toutes égales.

b. n3, vn + 1 ± vn = 2 ± 0,02n + 1 ± (2 ± 0,02n) = ± 0,02n + 1 + 0,02n = 0,02n(1 ± 0,02) = 0,98 0,02n.

c. Pour tout nombre entier naturel n, vn + 1 ± vn = 0,98 0,02n > 0, donc vn + 1 > vn. La conjecture est

fausse ; la suite (vn) est strictement croissante sur 3.

3. a. Pour tout nombre entier naturel n, un = ±3n + 5 = f(n) avec f(x) = ±3x + 5.

b. La fonction f est une fonction affine strictement décroissante sur [0 '>FDUa = ±3 < 0. c. La conjecture émise à la question 1 est validée.

4. a. Voir le fichier ressource dans le manuel numérique enseignant.

b. La conjecture faite à la question 1 est fausse. La suite (wn) semble strictement croissante pour n 9.

Questions supplémentaires

5. a. b. Quand n est de plus en plus grand, un semble tendre vers ±'vn vers 2 et wn YHUV' p. 21 à 25 du manuel

Utiliser une formule explicite

91.a. u1 = ±6,

u2 = 1 4

± 14 = ±13,25 ,

u3 = 1 9

± 21 = ±

188
9 u4 = 1 16

± 28 = í

447
16 = ±27,9375 et u5 = 1 25

± 35 = í

874
25
= ±34,96. b.v0 = 5 22 ± 3 = 17, v1 = 5 32 ± 3 = 42, v2 = 5 42 ± 3 = 77, v3 = 5 52 ± 3 = 122 et v4 = 5 62 ± 3 = 177.

2. u18 =

2 1 18

± 7 18 = í

40823
324

§ í125,997 et

v17 = 5 (17 + 2)2 ± 3 = 1 802.

10 a. w0 = 4, w1 = ±2, w2 = ±8 et w3 = ±14.

b. t4 = 1, t5 = ±1, t6 = 1 et t7 = ±1.

2. wn + 1 = ±6(n + 1) + 4 = ±6n ± 2 et

tn + 1 = (±1)n + 1.

Utiliser une formule récurrente

11a. u0 = 2, u1 = 2u0 + 3 = 7, u2 = 2u1 + 3 = 17,

u3 = 2u2 + 3 = 37 et u4 = 2u3 + 3 = 77. b. v1 = 5, v2 = v1 + 5 1 = 10, v3 = v2 + 5 2 = 20, v4 = v3 + 5 3 = 35 et v5 = v4 + 5 4 = 55.

12a. f(x) = x + 4.

On lit u0 = 0, u1 = 4, u2 = 8 et u3 = 12.

b. f(x) = 31x
On lit v1 = 1, v2 § 1,4 , v3 § 1,8 et v4 § 2,1. c. f(x) = 5 1x

On lit w0 = 4, w1 = 1, w2 = 2,5 et w3 § 1,4.

d. f(x) = x2 ± 4. On lit : t0 = ±2, t1 = 0, t2 = ±4 et t3 = 12.

13On note un, le nombre de carreaux de la

figure n. u1 = 1 et pour tout nombre entier naturel n, un + 1 = un + 3.

62 000 0,85 + 4 500 = 57 200.

En 2021 : 57 200 0,85 + 4 500 = 53 120.

a0 = 62 000 et pour tout nombre entier naturel n, an + 1 = 0,85 an + 4 500. comparant des termes

15a. n 3, un+ 1 ± un = (n + 1)2 ± n2 = 2n + 1 > 0

donc la suite (un) est strictement croissante sur 3. b. n 3, vn+ 1 ± vn = ±3(n + 1) + 8 ± (±3n + 8) = ±3 < 0, donc la suite (vn) est strictement décroissante sur 3. c. n 3, wn+ 1 ± wn = (n + 1)3 ± n3 = 3n2 + 3n + 1 > 0, donc la suite (wn) est strictement croissante sur 3. d. n 3, tn+ 1 ± tn = 2,4n 0, donc la suite (tn) est croissante sur 3.

16a. Pour tout entier naturel non nul n, un > 0.

1n n u u 2

2( 1)n

n 2 221nn
n

2211nn

> 1, donc la suite (un) est strictement croissante sur 3. De plus, u0 = 0 et u1 = 1, donc (un) est strictement croissante sur 3. b. Pour tout entier naturel n, v > 0. 1n n v v 143
43
n n u = 3 > 1, donc la suite (vn) est strictement croissante sur 3. c. Pour tout entier naturel n, wn > 0. 1n n w w 1 22
3 n n 13 2 n n 2 3 < 1, donc la suite (wn) est strictement décroissante sur 3. d. Pour tout entier naturel n, tn > 0. 1n n t t 3 3n 2 3 n 2 3 n n < 1, donc la suite (tn) est strictement décroissante sur 3.

17a. La fonction cube est strictement croissante

sur [0 '>, donc la suite (un) est strictement croissante sur 3. b. La fonction affine définie par f(x) = ±3x + 8 est strictement décroissante sur [0 '>, donc la suite (vn) est strictement décroissante sur 3. sur [2 '>, donc la suite (wn) est strictement croissante à partir de n = 2. y Les exercices

18 à

29 de la rubrique "

» sont corrigés en fin de manuel

(p. 368). p. 28 du manuel

30a. On peut utiliser les stratégies1 (car le signe

de la différence de deux termes consécutifs est facile à obtenir) ou 3 (car un = f(n) avec f une fonction affine) : n 3, un+ 1 ± un = í7(n + 1) + 3 ± (7n + 3) = í7 < 0. Ou bien prendre f(x) = í7x + 3 et alors f est une

IRQFWLRQDIILQHVWULFWHPHQWGpFURLVVDQWHí < 0).

Alors, la suite (un) est strictement décroissante sur 3 b. On peut utiliser les stratégies 1(car le signe de la différence de deux termes consécutifs est facile à obtenir) ou 2 (car le quotient de deux termes consécutifs se simplifie facilement et il est facile de le comparer à 1). n 3, un+ 1 ± un = 0,33n+1 ± 0,33n = 0,33n (0,33 ± 1) = í0,67 0,33n < 0 ou n 3, un = 0,33n > 0 et 1n n u u 10,33 0,33 n n = 0,33 < 1. Alors, la suite (un) est strictement décroissante sur 3 c. On peut utiliser une autre stratégie en remarquant que la suite change alternativement de signe. d. On peut utiliser la stratégie 1 car le signe de la différence de deux termes consécutifs est facile à obtenir : n 3, un+ 1 ± un = 3n2 0.

31a. On peut utiliser une autre stratégie car tous

les termes sont égaux à 100 > 50 et la réponse est

évidente : n = 0.

5N > 50 est simple à résoudre : N > 10 donc

n = 11. c. On peut utiliser les stratégies2 ou 3 car la v4 = 197,1). d. On peut utiliser les stratégies2 ou 3 car la v4 = 82).

32Dans les trois questions, on pourra remarquer le

changement alternatif de signe des trois premiers termes de la suite. a. u0 = ±3 477,265 875, u1 § 52 680,57801 et monotone. b. v0 = 0,75, v1 = ±0,25 et v2 = 0,75 donc la suite pas monotone.

33a. Pour tout entier naturel non nul n, un > 0.

1n n u u

13,5 2,4

3,5 2,4

n n u = 2,4 > 1 donc la suite (un) est strictement croissante sur 3. b. n3, vn + 2 ± vn + 1 = ±(vn)2

0 donc la suite

(vn) est décroissante sur 3. c. Pour tout entier naturel non nul n, wn = ((±

4,4)2)n = 19,36n > 0.

1n n w w

119,36

19,36 n n = 19,36 > 1 donc la suite (wn) est strictement croissante sur 3.

34 a. La fonction f semble strictement décroissante

sur [0 ; +'>, donc on peut conjecturer que la suite (un) est strictement décroissante sur 3. b. La fonction f semble strictement croissante sur [0 ; +'>, donc on peut conjecturer que la suite (un) est strictement croissante sur 3. c. La fonction f semble strictement croissante sur [0 ; +'>, donc on peut conjecturer que la suite (un) est strictement croissante sur 3. b. La fonction f semble strictement décroissante sur [0 ; +'>, donc on peut conjecturer que la suite (un) est strictement décroissante sur 3. 35
1 NZ0 2 u 8

3 Tant que u 5

4 u 8f(u)

5 N 8N + 1

6 Fin Tant que

un < 20 400
2n < 20 20 < n + 2 18 < n.

Donc N = 19.

Méthode 2 : On prouve que (un) est strictement

décroissante puis on réalise un tableau de valeurs.

Pour tout nombre entier naturel n, un > 0.

1n n u u 400
3n 2 400
n 2 3 n n < 1, donc la suite (un) est strictement décroissante sur 3. Avec la calculatrice, on trouve u18 = 20 et u19 §GRQF

N = 19.

b. Méthode 1 : n 3, un = f(un) avec f(x) = ¾T .

On représente la suite avec un logiciel. On

conjecture que la suite est strictement croissante sur 3.

Méthode 2 : On utilise la calculatrice pour

dresser un tableau de valeurs. On conjecture que la suite est strictement croissante sur 3.

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