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BULLETIN DE LAS. M. F.EDM.MAILLET

Bulletin de la S. M. F., tome 36 (1908), p. 69-77

© Bulletin de la S. M. F., 1908, tous droits réservés. L"accès aux archives de la revue " Bulletin de la S. M. F. » (http: //smf.emath.fr/Publications/Bulletin/Presentation.html) implique l"accord avec les conditions générales d"utilisation (http://www.numdam.org/ conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d"une infraction pénale. Toute copie ou impression de

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SUR LA

DÉCOMPOSITION

D'U N

ENTIER

E N UN E

SOMMEDE PUISSANCES HUITIÈMES D'ENTIERS

(Problèm e de

Waring)

PA R M. EDMON D

MAILLET

I. On peu t se demander ave c

Waring

si tou t nombr e entie r N n'es t pas que l qu e soi t N l a somm e d'u n nombr e A", limit et indé pendan t de N, d e puissance s icnïes d'entier s positifs C'est l a une des

énigmes

historiques de ^Arithmétique, qu'o n peu t appele r problème de

Waring,

e t qu i n' a encor e reç u s a solutio n qu e pou r les petite s valeur s d e n O n sai t qu e l a répons e es t affirmativ e pou r /i== 2 (/r^4 i

Fermât

Euler

Lagrange)

n== 4 (J

Liouville)

3 e t 5 (E

Maillet)

et comm e vien t de le montre r 1 M. Alber t Fleck pou r n 6 Le jol i résulta t de M. Fleck m' a donn l'idée d'étendr e s a méthode d'un e manièr e convenable a u cas de n 8 Les calcul s sont assez compliqués mai s enfi n il s m e permetten t d'établir grâce de s lemme s d e Cauch y e t de J

Liouville

l'exac- titud e d e l'hypothès e de Warin g pou r n 8 En terminant j e démontr e qu e k^n-{-\ pou r un e infinit de valeur s de N s i cett e hypothèse est vrai e pou r un e infinit de va- leur s de /i, k croî t indéfinimen t ave c n. II Soien t n quantité s x\^ x^ x^ et la somme (i (p^n) n obtenu e en prenan t dan s les parenthèse s toute s les combinaisons^ p d e ces n quantité s e t additionnan t dan s chaqu e combinaiso n l Math. Ann., t LXIV 1907,
p 56i
où Fo n trouve aussi l'historique de l a question). J'a i donné u n résumé d e ma présent e Not e dans les

Comptes

rendus, 3o décembre 1907.
xxxvi. 5 - 70 - les p lettre s don t p i ont

été

affectée s des signes o u de tonte s les manière s possibles. Le nombr e des termes obtenu s dan s le second membre de (i est ainsi 2^~ C^ Je développ e le second membr e de (i) On a en posan t (Ao=]^5 •L==^{^ M=^t^ (2 P =2^ Q =2 a?îa7îa71 1 (3 A/,-

C£:î

Ao

C£ZÎ(^

L pfM C^P

C£rtxQ

avec 8. 7

8.7.6.

5 5

8.7.6.

5 (8!) (4 j^-T ^d-nr ^-T--

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1 La méthod e qu equotesdbs_dbs13.pdfusesText_19