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Le problème

Complément culturel

Les nombres premiers forment l"alphabet des entiers naturels. Ils sont aux entiers ce que les let-

tres sont aux mots. De même qu"un mot est une suite de lettres, un entier naturel (à partir de 2)

est un produit de nombres premiers. On veut décomposer l"entier naturel N en un produit de nombres premiers (voir en page 14). Le principe est simple : on essaie de le diviser successivement, jusqu"à " épuisement » (jusqu"à ce que le produit des facteurs mis en évidence soit N), par les nombres premiers pris dans l"ordre croissant.

Par exemple, pour 252, on obtient : 252 = 2

2 ?3 2 ?7.

32TTaannggeennttee ÉÉdduuccaattiioonnn° 15 Spécial ProgrammationDécomposer en facteurs premiers

Les programmes

Le programme " dec » teste la divisibilité par 2 du nombre initial, puis de son éven- tuel quotient par 2, et ainsi de suite jusqu"à obtenir un nombre impair. Il recom- mence ensuite avec 3,puis avec tous les impairs, de deux en deux (en dehors de 2, tous les nombres premiers sont impairs). Seuls les nombres premiers fourniront une possibilité de réponse positive au test de divisibilité, les facteurs des nombres non

premiers ayant déjà été " purgés ». Chaque fois que ddivise l"entier N, il est ajouté à la liste et

N est remplacé par N /d. À la fin du programme, la liste des diviseurs premiers est affichée.

Langage :le reste de la division euclidienne de N par dest obtenu en tapant N%d; pour obtenir le quotient, on écrit int(N/d). Pythonle programmele résultat

ScratchAlgoBox

Prolongements

Si la décomposition en facteurs premiers permet d"écrire N sous la forme N = où p 1 ,p 2 ,...,p k sont des nombres premiers et ? 1 2 k sont des entiers naturels non nuls, le nombre de diviseurs positifs de N est 1 + 1)(?? 2 + 1)...(?? k + 1).

Le programme ci-contre donne le nom-

bre de diviseurs positifs à partir de la décomposition en produit de facteurs premiers écrite in extenso(sans utiliser d"exposants).

On pourra utiliser la composée " nom-

bredediviseurs(dec(N)) », où " dec » est définie à la page précédente ; nous obtiendrons ainsi directement le nombre de diviseurs positifs de N. k k ppp 21
21
Spécial Programmation n° 15 TTaannggeennttee ÉÉdduuccaattiioonn 33
le programmequotesdbs_dbs32.pdfusesText_38