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D’après le théorème de Pythagore on a : BA2 + BC2 = AC2 62 + BC2 = 752 36 + BC2 = 5625 BC2 = 5625 ? 36 BC2 = 2025 BC = p2025 BC = 45 On peut aussi se passer du calcul de BC en obtenant directement BD = BG ? BD = 125 km ? 7 km = 55 km Dans le triangle CFG les droites (DE) et (CF) sont parallèles

Brevet de maths Pondichéry 2016 - Maths : cours et exercices

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Remarque:dans la correction détaillée ici proposée, les questions des exercices sont presque intégralement réécrites pour faci-

liter la lecture et la compréhension du lecteur. Il est cependant exclu de faire cela lors de l"examen, le temps est précieux! Il est

par contre nécessaire de numéroter avec soin vos questions et de souligner ou encadrer vos résultats. Pour plus de précisions et

d"astuces, consultez la page dédiée de math93.com : présenter une copie, trucs et astuces.

Exercice 1. Calcul littéral7 points

On considère l"expressionE=(x-2)(2x+3)-3(x-2).

1. DévelopperE.

E=(x-2)(2x+3)-3(x-2)

E=2x2+3x-4x-6-6x+6

E=2x2-4x

2. FactoriserEet vérifierqueE=2F, oùF=x(x-2).

E=(x-2)(2x+3)-3(x-2)

E=(x-2)?

(2x+3)-3?

E=(x-2)(2x)

E=2×x(x-2)

On a bien montré que :E=2F, oùF=x(x-2)

3. Déterminertous les nombresx tels que (x-2)(2x+3)-3(x-2)=0.

(x-2)(2x+3)-3(x-2)=0??2×x(x-2)

c"est une équation produit nul et par théorème, un produit defacteurs est nul si et seulement si l"un au moins des facteurs

est nul soit (x-2)(2x+3)-3(x-2)=0??? 2x=0? ou? x-2=0? (x-2)(2x+3)-3(x-2)=0??? x=0? ou? x=2?

Les solutions de l"équation sont :

0et2.

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2 Mai 2017

Exercice 2. Probabilités6 points

Un sac contient20boules ayant chacune la même probabilité d"être tirée. Ces20boules sont numérotées de 1 à 20. On tire une

boule au hasard dans le sac. Tous les résultats seront donnéssous forme de fractions irréductibles.

1. Quelleest la probabilité de tirer la boule numérotée13?

Le sac contient 20 boules ayant chacune la même probabilité d"être tirée. Ces 20 boules étant numérotées de 1 à 20, il y a

une boule portant le numéro 13 sur 20 et donc la probabilité detirer la boule numérotée 13 est :p1=1

20.

2. Quelleest la probabilité de tirer une boule portantun numéropair?

Sur les 20 boules étant numérotées de 1 à 20, il y a 10 boules portant un numéro pair et donc la probabilité de tirer portant

un numéro pair est :p1=10

20=12.

3. A-t-on plus de chances d"obtenir une boule portant un numéro multiple de 4 que d"obtenir une boule portant un

numérodiviseur de 4?

• Parmi les entiers de 1 à 20, les multiples de 4 sont au nombre de 5, ce sont les entiers : 4; 8; 12; 16 et 20.

Donc la probabilité de cet évènement est :p2=5

20=14.

• Parmi les entiers de 1 à 20, les diviseurs de 4 sont au nombre de 3, ce sont les entiers : 1; 2 et 4.

Donc la probabilité de cet évènement est :p3=3

20<14.

On a donc plus de chances d"obtenir une boule portant un numéro multiple de 4 , que d"obtenir une boule portant un

numéro diviseur de 4 .

4. Quelleest la probabilité de tirer une boule portantun numéroqui soit un nombre premier?

Parmi les entiers de 1 à 20, les nombres premiers sont au nombre de 8, ce sont les entiers : 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17 et 19.

Donc la probabilité de cet évènement est : p 4=8 20=25 www.math93.com /www.mathexams.fr2/8

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2 Mai 2017

Exercice 3. Programme de calcul et algorithme7 points On considère le programme de calcul ci-contre dans lequel x,Étape 1, Étape 2 et

Résultat sont quatre variables.

1. a. Julie a fait fonctionner ce programme en choisissant lenombre 5. Véri-

fier que ce qui est dit à la fin est : "J"obtiens finalement20». Pour x=5 : • étape 1 : 6×5=30 • étape 2 : 30+10=40 • résultat : 40:2=20 • dire "J"obtiens finalement 20».

1. b. Que dit le programmeenchoisissant audépart7?

Pour x=7 : • étape 1 : 6×7=42 • étape 2 : 42+10=52 • résultat=52:2=36 • dire "J"obtiens finalement 26».

2. Julie fait fonctionnerle programme,et ce qui est dit est :"J"obtiens finalement8». Quel nombre a-t-ellechoisi?

Pour retrouver le nombre du départ on peut "remonter» l"algorithme, d"où • dire "J"obtiens finalement 8». • résultat=8=?8×2=16 • étape 2 : 16-10=6 • étape 1 : 6÷6=1 • le nombre de départ est 1.

3. Si l"on appellexle nombre choisi au départ, écrire en fonction dexl" expressionobtenue à la fin du programme,puis

réduirecette expressionautant que possible.

Pourxau départ :

• étape 1 : 6×x=6x • étape 2 : 6x+10 • résultat : (6x+10) :2=3x+5

4. Maxime utilise le programmede calcul ci-dessous:

Choisir un nombre.

Lui ajouter 2

Multiplier le résultat par 5

Peut-onchoisir un nombre pour lequelle résultatobtenu parMaxime est le même que celui obtenupar Julie?

• Le programme de Maxime donne, en choisissantxcomme nombre de départ :

Pourxau départ :

-étape 1 : 2+x -étape 2 : 5×(2+x)=10+5x

• On cherche doncxpour que les deux programmes donnent le même résultat. Cela revient à résoudre l"équation :

10+5x=3x+5??2x=-5

??x=-5

2=-2,5

Le résultat obtenu par Maxime est le même que celui obtenu parJulie avec-2,5 au départ. www.math93.com /www.mathexams.fr3/8

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2 Mai 2017

Exercice 4. Problème : fonctions, statistiqueset tableur7 points

Pour ses 32 ans, Denis a acheté un vélo d"appartement afin de pouvoir s"entraîner pendant l"hiver. La fréquence cardiaque(FC)

est le nombre de pulsations (ou battements)du coeur par minute.

1. Denis veut estimer sa fréquence cardiaque : en quinze secondes, il a compté 18 pulsations. À quelle fréquence car-

diaque,exprimée enpulsationspar minute, celacorrespond-il?

Temps en s15 s60 s

Nb pulsations18n?Soitn=60×1815=72.

La fréquence cardiaque correspondante est donc de :

72pulsationsparminutes.

2. Son vélo est équipé d"un cardiofréquencemètrequi lui permet d"optimiser son effort en enregistrant, dans ce cardio-

de0,8secondeentre deux pulsations.Calculerla fréquencecardiaquequi sera affichée par le cardiofréquencemètre.

60 s

0,8s 0,8s 0,8s 0,8s 0,8s

Pulsations :

1ère2e 3e 4e

On cherche le nombre d"intervalles de 0,8 secondes présentsdans 60 secondes : 60÷0,8=75. Il y a donc 75 intervalles de

0,8 secondes dans 60 secondes, ce qui nous donne

76pulsationsparminute.

3. Aprèsune séanced"entraînement,le cardiofréquencemètrelui a fournilesrenseignementssuivants:

Nombre de pulsations

enregistréesFréquenceminimale enregistrée

364065 pulsations/minute130 pulsations/minute182 pulsations/minute

3. a. Quelleest l"étendue des fréquencescardiaquesenregistrées?

Dans une série statistique, l"étendue est la différence entre les valeurs extrêmes soit ici :e=182-65=117

3. b. Denisn"a pas chronométréla durée de sonentraînement.Quellea été cette durée?

Le nombre de pulsations enregistrées est 3 640 avec une moyenne de 130 pulsations par minutes soit :

Temps en s1 mint?

Nb pulsations1303 640Soitt=1×3640130=28 min.

La durée de son entraînement a été de

28minutes.

4. Denis souhaite connaître sa fréquence cardiaque maximale conseillée (FCMC) afin de ne pas la dépasser et ainsi de

ménagersonoeur. LaFCMC d"un individu dépendde sonâgea,expriméenannées,ellepeuts"obtenirgrâceà laformule

enfonctionde l"âgea, ona doncf(a)=220-a.

4. a. Vérifierque la FCMC de Denis est égaleà 188pulsations/minute.

La FCMC de Denis qui a 32 ans est égale à :

f(32)=220-32=

188pulsations/minute.

4. b. Comparerla FCMC de Denis avecla FCMC d"une personnede 15 ans.

La FCMC d"une personne de 15 ans est supérieure à celle de Denis en effet elle est égale à :

f(15)=220-15=

205pulsations/minute>188.

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2 Mai 2017

5.Aprèsquelques recherches,Denis trouveune autre formule permettantd"obtenir saFCMC de façonplus précise.Si a désigne

l"âge d"un individu, sa FCMC peut être calculée à l"aide de laformule de Gellish : "Fréquence cardiaque maximale conseillée =191,5-0,007×âge2».

On note g(a)la FCMC en fonction de l"âge a, on a donc g(a)=191,5-0,007×a2. Denis utilise un tableur pour comparer les

résultats obtenus à l"aide des deux formules :

B2=220-A2

ABC

1ÂgeaFCMCf(a) (Astrand et Ryhming)FCMCg(a) (Gellish)

230190185,2

331189184,773

432188184,332

533187183,877

(Gellish)»?

La formule est :

=191,5-0,007?A2?A2 ou=191,5-0,007?A2?2 Exercice 5. Problème : statistiques,volumesde solides8 points

Un TeraWattheure est noté : 1 TWh. La géo-

thermie permetla production d"énergie élec- trique grâce à la chaleur des nappes d"eau souterraines. Le graphique ci-contre repré- sente les productions d"électricité par diffé- rentes sources d"énergie en France en 2014.

Statistiques de l"électricité en France 2014 RTE - chiffresde production2014 - EDFNucléaire : 415,9 TWh

Thermique à flamme :

25,8 TWh

Hydraulique:

67,5 TWh

Autres énergies

(dont la géothermie) : 31 TWh 1.

1. a. Calculerla productiontotale d"électricitéenFranceen 2014.

La production totale d"électricité en France en 2014 est :P=25,8+67,5+31+415,9=

540,2TWh.

1. b. Montrerquelaprop.d"électricitéproduiteparles"Autresénergies(dontlagéothermie)»estenvironégaleà5,7%.

Laproductiond"électricité produitepar les"Autresénergies(dontlagéothermie)»estde31 TWhsur untotalde540,2 TWh

ce qui représente une proportion de :31

540,2≈5,7%

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2.Ce tableau présente les productions d"électricité par les différentes sources d"énergie, en France, en 2013 et en 2014.

Thermique à flammeHydrauliqueAutres énergies (dont la géothermie)Nucléaire

Production en 2013

(en TWh)43,575,128,1403,8

Production en 2014

(en TWh)25,867,531415,9

Variationdeproduc-

tion entre 2013 et

2014 en %

-40,7%-10,1% +10,3% +3%

Variationdeproduc-

tion entre 2013 et

2014 en TWh

25.8-43.5=-17,767,5-75,1=-7,631-28.1=2,9

415.9-403.8=12,1

Alice et Tom ont discuté pour savoir quelle est la source d"énergie qui a le plus augmenté sa production d"électricité.

Tom pense qu"il s"agit des "Autres énergies (dont la géothermie)» et Alice pense qu"il s"agit du "Nucléaire». Quel est le

raisonnementtenupar chacund"entre eux? • Tom a regardé le pourcentage d"augmentation de 2013 à 2014 :+10,3%.quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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Exercice 1. Calcul littéral7 points

On considère l"expressionE=(x-2)(2x+3)-3(x-2).

1. DévelopperE.

E=(x-2)(2x+3)-3(x-2)

E=2x2+3x-4x-6-6x+6

E=2x2-4x

2. FactoriserEet vérifierqueE=2F, oùF=x(x-2).

E=(x-2)(2x+3)-3(x-2)

E=(x-2)?

E=(x-2)(2x)

E=2×x(x-2)

On a bien montré que :E=2F, oùF=x(x-2)

3. Déterminertous les nombresx tels que (x-2)(2x+3)-3(x-2)=0.

Les solutions de l"équation sont :

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Exercice 2. Probabilités6 points

1. Quelleest la probabilité de tirer la boule numérotée13?

2. Quelleest la probabilité de tirer une boule portantun numéropair?

20=12.

3. A-t-on plus de chances d"obtenir une boule portant un numéro multiple de 4 que d"obtenir une boule portant un

20=14.

20<14.

4. Quelleest la probabilité de tirer une boule portantun numéroqui soit un nombre premier?

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Résultat sont quatre variables.

1. a. Julie a fait fonctionner ce programme en choisissant lenombre 5. Véri-

1. b. Que dit le programmeenchoisissant audépart7?

2. Julie fait fonctionnerle programme,et ce qui est dit est :"J"obtiens finalement8». Quel nombre a-t-ellechoisi?

3. Si l"on appellexle nombre choisi au départ, écrire en fonction dexl" expressionobtenue à la fin du programme,puis

Pourxau départ :

4. Maxime utilise le programmede calcul ci-dessous:

Choisir un nombre.

Lui ajouter 2

Multiplier le résultat par 5

Pourxau départ :

10+5x=3x+5??2x=-5

2=-2,5

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2 Mai 2017

1. Denis veut estimer sa fréquence cardiaque : en quinze secondes, il a compté 18 pulsations. À quelle fréquence car-

Temps en s15 s60 s

Nb pulsations18n?Soitn=60×1815=72.

72pulsationsparminutes.

2. Son vélo est équipé d"un cardiofréquencemètrequi lui permet d"optimiser son effort en enregistrant, dans ce cardio-

0,8s 0,8s 0,8s 0,8s 0,8s

Pulsations :

1ère2e 3e 4e

0,8 secondes dans 60 secondes, ce qui nous donne

76pulsationsparminute.

3. Aprèsune séanced"entraînement,le cardiofréquencemètrelui a fournilesrenseignementssuivants:

Nombre de pulsations

364065 pulsations/minute130 pulsations/minute182 pulsations/minute

3. a. Quelleest l"étendue des fréquencescardiaquesenregistrées?

3. b. Denisn"a pas chronométréla durée de sonentraînement.Quellea été cette durée?

Temps en s1 mint?

Nb pulsations1303 640Soitt=1×3640130=28 min.

La durée de son entraînement a été de

28minutes.

4. Denis souhaite connaître sa fréquence cardiaque maximale conseillée (FCMC) afin de ne pas la dépasser et ainsi de

4. a. Vérifierque la FCMC de Denis est égaleà 188pulsations/minute.

La FCMC de Denis qui a 32 ans est égale à :

188pulsations/minute.

4. b. Comparerla FCMC de Denis avecla FCMC d"une personnede 15 ans.

205pulsations/minute>188.

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5.Aprèsquelques recherches,Denis trouveune autre formule permettantd"obtenir saFCMC de façonplus précise.Si a désigne

B2=220-A2

1ÂgeaFCMCf(a) (Astrand et Ryhming)FCMCg(a) (Gellish)

230190185,2

331189184,773

432188184,332

533187183,877

La formule est :

Un TeraWattheure est noté : 1 TWh. La géo-

Thermique à flamme :

25,8 TWh

Choisir un nombre.

Lui ajouter 2

Multiplier le résultat par 5