Transformée de Fourier discrète 1D et 2D 3 TFD 2D et transformations géométriques des images Recalculer la DFT de u à l'aide de tfu = fftshift(fft(u)); et
| Previous PDF | Next PDF |
[PDF] 2D-FFT Matlab Tutorial
frequency domain (F(u,v)) The equation for the two-dimensional discrete Fourier transform you can use the function fftshift F2=fftshift(F); F2=abs(F2); figure
[PDF] Initiation au traitement du signal et applications Séance 1 - Loria
plot(abs(fftshift(fW1))); zoomez sur la partie centrale À quoi sert fftshift? ( indication Rappelez-vous que la TFD-2D est obtenue par une TFD-1D selon les
[PDF] Transformée de Fourier discrète 1D et 2D
Transformée de Fourier discrète 1D et 2D 3 TFD 2D et transformations géométriques des images Recalculer la DFT de u à l'aide de tfu = fftshift(fft(u)); et
[PDF] IMA TP5 : Transformée de Fourier 2D
La transformée de Fourier discrète 2D est calculée en matlab par la fonction fft2 La fonction fftshift réorganise le résultat de fft pour afficher la fréquence nulle au
[PDF] Transformée de Fourier Discrète
l'amplitude et la valeur moyenne du signal 2-D Commentez les résultats obtenus Puis, on utilise la fonction fftshift pour que la composante fréquentielle
[PDF] Calcul numérique avec Scilab Nou
fdelta_fft = fftshift(fft(fftshift(fdelta))); fgauss_fft = Delta*fftshift(fft(fftshift(fgauss))); Utilisant fft, calculer fbox_fft, la transformé de Fourier 2D discrète de fbox
[PDF] La transformation de Fourier rapide sous Matlab : fft, ifft, fftshift, ifftshift
fftshift, ifftshift Karsten Plamann, février 2018 1 Définition et syntaxe de fft et ifft1 Y = fft(X) et X = ifft(Y) calculent la transformation de Fourier discrète (TFD) et
[PDF] Fourier Transform Introduction - School of Computer Science and
An image is a 2D array of pixel measurements We form a 2D grid of spatial frequencies A given Fourier Transform Shifting Operator Demo: FFT Shift m
[PDF] Labo Transformée de Fourier Discrète et FFT (Fast Fourier Transform)
Visualiser-le (real, abs, imag) • Visualiser la version fftshift fft fftshift 2D discrete Fourier Basis em[n] = 1 √ N e 2iπ N0 Pour les curieux: une vague en 2D
[PDF] 2d fourier transform mathematica
[PDF] 2d fourier transform properties
[PDF] 2d heat equation derivation
[PDF] 2d image to 3d model python
[PDF] 2d picture to 3d model
[PDF] 2d to 3d conversion image processing
[PDF] 2eme couronne parisienne
[PDF] 2nd order polynomial equation
[PDF] 2nd tier entitlement calculator
[PDF] 2p france x reader
[PDF] 2p france x reader deviantart
[PDF] 2p france x reader fluff
[PDF] 2p france x reader lemon
[PDF] 2p france x reader lemon forced
TFD1DTFD2D T ransformationsgéométr iques
Transformée de Fourier discrète 1D et 2D
Bruno Galerne
bruno.galerne@parisdescartes.frUniversité Paris Descartes
Cours Perception, acquisition et analyse d"images (M2 MM)TFD1DTFD2D T ransformationsgéométr iques
Plan du cours
1Transformée de Fourier discrète
2Transformée de Fourier discrète des images numériques
3TFD 2D et transformations géométriques des images
TFD1DTFD2D T ransformationsgéométr iques
Outline
1Transformée de Fourier discrète
2Transformée de Fourier discrète des images numériques
3TFD 2D et transformations géométriques des images
TFD1DTFD2D T ransformationsgéométr iques
Signaux discrets : Cadre et notation
SoitN2Nun entier naturel non nul que l"on supposera être pair.On se place sur l"espace vectorielCNdes vecteurs
u= (u0;u1;:::;uN1)à coefficients complexes àNcoefficientsdont les indices sont numérotés de0àN1.Notation des coordonnées :u= (u0;u1;:::;uN1)ou notation fonctionnelleu= (u(0);u(1);:::;u(N1)).On noteraN=f0;1;:::;N1gles valeurs des indices,i.e.le
domaine spatial.TFD1DTFD2D T ransformationsgéométr iques
Signaux discrets : Périodicité
Un vecteuru2CNest étendu surZparN-périodicité, c"est-à-dire :8n2Z;u(n) =u(nmodN)On verra que c"est naturel vu la définition de la transformée de Fourier
discrète...TFD1DTFD2D T ransformationsgéométr iques
Signaux discrets : Echantillonnage de fonctions périodiques Etant donné une fonctionf:R!C2-périodique, on définit le vecteuréchantillonnée àNpoints defpar
8n2N;u(n) =f2nN
:C"est compatible avec laN-périodicité des signaux : f2-périodique=)u N-périodiqueTFD1DTFD2D T ransformationsgéométr iques
Transformée de Fourier discrète : Définition Definition (Transformée de Fourier discrète) La transformée de Fourier discrète (TFD) est l"application linéaireF:CN!CN
u7!^u= (^u0;^u1;:::;^uN1) où pour toutk2 N, uk=1N N1X n=0u ne2iknN =1N N1X n=0u n!kn N;(1) en posantN=e2iN
:On remarque que ^u0n"est autre que la moyenne deu.TFD1DTFD2D T ransformationsgéométr iques
Transformée de Fourier discrète inverse
Proposition
La TFDF:u7!^uest un isomorphisme deCN. La matrice de la TFD dans la base canonique est égale à A=1N 0 BBBBBB@1 1 1:::1
1!1 N!2N::: !(N1)
N 1!2 N!4N::: !2(N1)
N............
1!(N1)
N!2(N1)
N::: !(N1)(N1)
N1 CCCCCCA=1N
!kl N06k;l6N1
Elle est donc proportionnelle à la matrice de Vandermonde associée au vecteur(1;!1 N;!2N;:::;!(N1)
N). Cette matrice est inversible et
A 1=0 BBBBBB@1 1 1:::1
1!1N!2N::: !N1
N1!2N!4N::: !2(N1)
N............
1!N1N!2(N1)
N::: !(N1)(N1)
N1 CCCCCCA=!klN
06k;l6N1:
TFD1DTFD2D T ransformationsgéométr iques
Transformée de Fourier discrète inverse
Definition (TFD inverse)
La transformée de Fourier discrète inverse (TFD inverse) est l"application linéaireF1:CN!CN
u7! F1(u) =u= (u0;u1;:::;uN1) où pour toutk2 N, uk=N1X n=0u n!knN:Remarques La TFD et son inverse sont très proches. En effet, on a pour toutu2CN, F1(u) =NF(u):Il n"y a d"ailleurs pas de convention universelle pour la distinction entre le
TFD et la TFD inverse (ou encore savoir quelle transformée est divisée parN). Cette ambiguité se retrouve dans les différents algorithmes calculant la DFT.TFD1DTFD2D T ransformationsgéométr iques
TPTransformée de Fourier discrèteDans matlab, la TFD se calcule par la commandefft(pour fast Fourier
transform) et son inverse parifft.Question:Vérifier queifftest bien l"inverse defft(attention cen"est pas toujours le cas dans certaine librairies !)Question:Calculer la DFT de signaux simples afin de déterminer la
DFT calculer par matlab. Est-ce la même définition que dans le cours ?TFD1DTFD2D T ransformationsgéométr iques
Module et phase
Vocabulaire :
Le vecteurk7! j^ukjest appelé lemodulede la TFD deu, et notéj^uj.On parle aussi du module deupar abus de langage.Le vecteurk7!arg(^uk)est appelé laphasede la TFD deu.Proposition
Siu2RNest un vecteur à coefficients réels alors^u0et^uN2 =^uN2 sont réels et pour tousk2Nn0;N2
,^uk=^ uk. En particulier, le module deuest une fonction paire et la phase deuest une fonction impaire.Etant donné ces conditions de symétries, il est d"usage de travailler avec un domaine d"indice centré autour de 0 pour les indices des vecteur de la TFD.On distinguera donc le domaine spatial
N=f0;1;:::;N1get le domaine
spectral N= N2 ;:::;1;0;1;:::;N2 1 (Nindices dont la fréquence nulle est au centre).TFD1DTFD2D T ransformationsgéométr iques
TPTransformée de Fourier discrèteOn considère la fonctionf2-périodique égale à l"indicatrice de l"intervalle
2 ;35 ]sur[0;2[.Questions :1Définir la fonctionfà l"aide def = @(x).2Calculer le vecteur échantillonnéudefpourN=256.3Afficher le graphe deuainsi que le graphe du module deuet celui de la
phase deu. Que remarque-t-on ?4Recalculer la DFT deuà l"aide detfu = fftshift(fft(u));etafficher à nouveau le graphe du module deu.5Afficher à nouveau le module deuen précisant les bonnes valeurs sur
l"axe des abscisses.TFD1DTFD2D T ransformationsgéométr iques
Polynômes trigonométriques
Definition (Polynômes trigonométriques)
Un polynôme trigonométrique de degré inférieur ou égal àNest une fonction p:R!Cde la forme p(x) =NX k=Nc keikx: où lescksont des nombres complexes appelés coefficients du polynôme trigonométriquep. On dit quepest de degréNsi de pluscN6=0 oucN6=0.Rappel : Formule de Fourier Les coefficients d"un polynôme trigonométrique sont donnés sous forme intégrale par ses coefficients de Fourier:8k2Z;ck=ck(p) =12Z
2 0 p(x)eikxdx: (où on étend la définition desckà toutZpar des 0)TFD1DTFD2D T ransformationsgéométr iques
Polynômes trigonométriques et TFD
Proposition
Soitu2CN. Il existe un unique polynôme trigonométrique de la forme p(x) =N2 1X k=N2 c keikx et dont les échantillons depvalentu, c"est-à-dire:8n2N,p2nN
=un. Les coefficients de ce polynôme sont donnés par la TFD deu:8k2^ N, c k=^uk.TFD1DTFD2D T ransformationsgéométr iques
Polynômes trigonométriques et TFD
Corollaire (Calcul des coefficients d"un polynôme) Sipest un polynôme trigonométrique de la forme p(x) =N2 1X k=N2 c keikx; alors les coefficients depsont exactement calculables à partir desNéchantillonsun=p2nN
.On a donc montré que c k=12Z 2 0 p(x)eikxdx=1N N1X n=0p2nN e 2iknN :Interprétation : Egalité entre l"intégrale sur le domaine continu[0;2]de la fonctionx7!12p(x)eikxet la somme de Riemann de cette fonction associée à la subdivision régulière2nN ;n2 f0;:::;N1g.S"étend à toutes les fonctions 2-périodiques ?TFD1DTFD2D T ransformationsgéométr iques
Séries de Fourier, TFD et échantillonnage
Proposition
Soitfune fonction 2-périodique intégrable sur[0;2],N2N, etu2CNle vecteur échantillonné def, c"est-à-dire le vecteurutel que 8n2N;un=f2nN
. Alors, pour toutk2^N, le coefficient^ukd"indicek
de la TFD est l"approximation par la méthode des trapèzes du coefficient de Fourierck(f).Vu la périodicité, on peut voir l"approximation comme la formule du point milieu sur l"intervalle[12N;212N]donc l"erreur est de l"ordre de1N 2pour une fonction suffisamment régulière.En fait on peut relier explicitement la TFD de l"échantillonnéudefavec
les coefficients de Fourier def...