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Enoncés et corrections : Sandra Delaunay
Exo7Sujets de l"année 2006-2007
1 Devoir à la maison
Exercice 1Soita2R, notonsAla matrice suivante
A=0 1 a1+aOn définit une suite(un)n2N, par la donnée deu0etu1et la relation de récurrence suivante, pourn2N
u n+2= (1+a)un+1aun 1. Pour quelles v aleursde ala matriceAest-elle diagonalisable ? 2.Lorsque Aest diagonalisable, calculerAnpourn2N.
3. On suppose Adiagonalisable. On noteUnle vecteurUn=un u n+1 , exprimerUn+1en fonction deUnet deA, puisUnen fonction deU0et deA.SoitAla matrice deM3(R)suivante :
A=0 @0 1 0 4 4 02 1 21
A 1.La matrice Aest-elle diagonalisable ?
2. Calculer (A2I3)2, puis(A2I3)npour toutn2N. En déduireAn. Soitfl"endomorphisme deR4dont la matrice dans la base canonique est A=0 BB@833 1
6 3 21
26 7 102
0 0 0 21
C CA: 1. Démontrer que 1 et 2 sont des v aleurspropres de f. 2.Déterminer les v ecteurspropres de f.
3. Soit ~uun vecteur propre defpour la valeur propre 2. Trouver des vecteurs~vet~wtels que f(~v) =2~v+~uetf(~w) =2~w+~v: 14.Soit ~eun vecteur propre defpour la valeur propre 1. Démontrer que(~e;~u;~v;~w)est une base deR4.
Donner la matrice defdans cette base.
5.La matrice Aest-elle diagonalisable ?
Exercice 4SoitAla matrice suivante
A=0 @3 01 2 4 21 0 31
A 1. Déterminer et f actoriserle polynôme caractéristique de A. 2.Démontrer que Aest diagonalisable et déterminer une matriceDdiagonale et une matricePinversible
tellesA=PDP1. 3. Donner en le justifiant, mais sans calcul, le polynôme minimal de A. 4.Calculer Anpourn2N.
SoitAla matrice suivante
A=1 1 2 1 1. Calculer le polynôme caractéristique et déterminer les v aleurspropres de A. 2. On note l1>l2les valeurs propres deA,E1etE2les sous-espaces propres associés. Déterminer unebase(~e1;~e2)deR2telle que~e12E1,~e22E2, les deux vecteurs ayant des coordonnées de la forme(1;y).
3.Soit ~xun vecteur deR2, on note(a;b)ses coordonnées dans la base(~e1;~e2). Démontrer que, pourn2N,
on a A n~x=aln1~e1+bln2~e2 4.Notons An~x=an
b n dans la base canonique deR2. Exprimeranetbnen fonction dea,b,l1etl2. En déduire que, sia6=0, la suitebna ntend versp2 quandntend vers+¥. 5.Expliquer ,sans calcul, comment obtenir à partir des questions précédentes une approximation de
p2 par une suite de nombres rationnels. SoitP(X)un polynôme deC[X], soitAune matrice deMn(C). On noteBla matrice :B=P(A)2Mn(C). 1. Démontrer que si ~xest un vecteur propre deAde valeur proprel, alors~xest un vecteur propre deBde valeur propreP(l). 2