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M´ethode du pivot de Gauss

D´edou

Octobre 2010

La m´ethode du pivot

La m´ethode du pivot

permet d"associer `a tout syst`eme lin´eaire un syst`eme facile ´equivalent.Elle consiste `a s´electionner une ´equation qu"on va garder intacte, et dans laquelle on va rendre une inconnue facile (en l"´eliminant des autres ´equations). Dans cette d´emarche, ce qu"on appelle le pivot, c"est la paire (´equation, inconnue) choisie.

Mon premier pivot I

Pour r´esoudre le syst`eme

?2x+ 3y+z= 1

3x+y+ 5z= 2

4x-y-z= 0,

on d´ecide de rendre facile l"inconnuexdans le premi`ere ´equation. Pour cela, on "tue"xdans les deux autres en faisant E

2:= 2E2-3E1, puisE3:=E3-2E1. On obtient le syst`eme facile

´equivalent :

?2x+ 3y+z= 1 -7y+ 7z= 1 -7y-3z=-2.

Mon premier pivot II

Pour r´esoudre le syst`eme facile

?2x+ 3y+z= 1 -7y+ 7z= 1 -7y-3z=-2. on r´esout le syst`eme d´eriv´e (par combinaison lin´eaire) et on conclut avec l"´equation facile.Exo 1

Faites-le.

Le choix par d´efaut du pivot

Pour appliquer la m´ethode du pivot `a un syst`eme, on commence donc par y choisir une ´equation et une inconnue qu"on va rendre faciles en modifiant les autres ´equations. Le choix de la premi`ere ´equation et de la premi`ere inconnue est le choix par d´efaut .

Pour le syst`eme

?3y+t= 1

2x+ 5z-t= 2

y-z-t= 0, le choix par d´efaut ne convient pas puisquexn"apparaˆıt pas dans la premi`ere ´equation.

Le cas sympa

Le cas sympa,

c"est quand le coefficient de l"inconnue facile est 1 (ou-1).Pour r´esoudre le syst`eme suivant, on choisit le pivot par d´efaut :

?x+ 3y+t= 1

4x+ 5z-t= 2

5x+y-z-t= 0.

Ensuite on ajoute aux ´equations non choisies le multiple qu"il faut de l"´equation choisie pour "tuer" l"inconnue choisie. Ici, on fait E

2:=E2-4E1etE3:=E3-5E1,

ce qui nous donne le syst`eme facile ´equivalent ?x+3y+t= 1 -12y+ 5z-5t=-2 -14y-z-6t=-5.

Le cas moins sympa

Le cas moins sympa, c"est quand le coefficient de la future inconnue facile dans la future ´equation facile n"est ni 1 ni-1 : ?3x+ 3y+ 2t= 1

4x+ 5z-3t= 2

5x+ 2y-3z-8t= 0

Si on fait encore le choix par d´efaut du pivot, il faudra faire par exemple les transformationsE2:= 3E2-4E1etE3:= 3E3-5E1 qui sont bien licites (produisent bien un syst`eme ´equivalent).

Choix intelligent I

Pour r´esoudre le syst`eme suivant, on choisit plutˆot de rendrez facile dans la deuxi`eme ´equation, `a cause du coefficient-1 : ?3x+ 3y+ 2z= 1

4x+ 5y-z= 2

5x+ 2y-2z= 0.

On fait les transformations "´el´ementaires"E1:=E1+ 2E2et E

3:=E3-2E2, qui rendent le syst`eme facile.Exo 2

R´esoudre le syst`eme de cette fa¸con.

Choix intelligent II

Pour r´esoudre le syst`eme suivant, on choisit plutˆot de rendrey facile dans la deuxi`eme ´equation, ce qui ´economise une transformation ´el´ementaire : ?3x+ 3y+ 2z= 1

4x+y-z= 2

5x-2z= 0.

On fait la transformation "´el´ementaires"E1:=E1-3E2qui rend le syst`eme facile.Exo 3

R´esoudre le syst`eme de cette fa¸con.

La m´ethode du pivot pour r´esoudre

Pour r´esoudre un syst`eme, on applique une premi`ere fois la m´ethode au syst`eme donn´e, puis a une deuxi`eme fois au syst`eme d´eriv´e du syst`eme facile obtenu, et ainsi de suite, jusqu"`a obtenir une ´equation impossible ou un syst`eme `a une ou deux ´equations, qu"on sait r´esoudre.quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34