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UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE

U.F.R. SEGMI Année universitaire 2012 - 2013

Master d"économie Cours de M. Desgraupes

Méthodes Numériques

Document 4 : Corrigé des exercices d"optimisation linéaire1 Programmation linéaire 1 Méthode du simplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Raffinerie de pétrole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Méthode des variables ajoutées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Indices d"octane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Fabrique de pièces détachées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Plan de production de moteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Excavation et matériaux de carrière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Dualité 19

Main d"oeuvre et équipements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Trois techniques de production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Production en heures-machines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Programmation linéaire

Corrigé ex. 1 : Méthode du simplexe

Programme 1

8 >>>>>:Max(x1+ 2x2) x

1+ 3x221

x1+ 3x218 x 1x25 x

1etx20

On introduit des variables d"écart, ce qui conduit aux équations suivantes pour les contraintes du problème : 8>< :x

1+ 3x2+x3= 21

x1+ 3x2+x4= 18 x

1x2+x5= 5

Le premier tableau du simplexe s"écrit :

1 x

1x2x3x4x51 3 1 0 021x

3-1 3 0 1 018x

41 -1 0 0 15x

5-1 -2 0 0 00

La variable entrante estx2qui correspond à l"élément le plus négatif de la dernière ligne. La variable sortante se calcule en trouvant le plus petit rapport positif entre la colonne de droite et la colonne dex2(colonne entrante) : Min 213
;183 =183 = 6 Doncx4est la variable sortante. La ligne dex4sert de ligne pivot et on exécute une transformation du pivot autour de la valeur 3 (à l"intersection de la ligne dex4et de la colonne dex2).

On obtient le tableau suivant :

x

1x2x3x4x52 0 1 -1 03x

3-1/3 1 0 1/3 06x

22/3 0 0 1/3 111x

5-5/3 0 0 2/3 012

Maintenant c"estx1qui entre etx3qui sort car :

Min 32
;112=3 =32 Un nouveau pivot autour du nombre 2 (à l"intersection de la ligne dex3et de la colonne dex1) conduit au tableau suivant : x

1x2x3x4x51 0 1/2 -1/2 03/2x

10 1 1/6 1/6 013/2x

20 0 -1/3 2/3 110x

50 0 5/6 -1/6 029/2

Maintenant c"estx4qui entre etx5qui sort car :

Min

13=21=6;102=3

=102=3= 15 Un nouveau pivot autour du nombre 2/3 (à l"intersection de la ligne dex5et de la colonne dex4) conduit au tableau suivant : x

1x2x3x4x51 0 1/4 0 3/49x

10 1 1/4 0 -1/44x

20 0 -1/2 1 3/215x

40 0 3/4 0 1/417

2 Ce tableau correspond à l"optimum car il n"y a plus de termes négatifs dans la dernière ligne. On obtient donc comme solution :

8>>>>>><

>>>>>:x 1= 9 x 2= 4 x 3= 0 x 4= 15 x 5= 0 La première et la troisième contrainte sont saturées.

Programme 2

8 >>>>>:Min(x13x2)

3x12x27

x1+ 4x29

2x1+ 3x26

x

1etx20

On transforme le problème en une maximisation en changeant le signe de la fonc- tion objectif :

Max(x1+ 3x2)

On introduit ensuite les variables d"écart comme ceci : 8>>>< >>:3x12x2+x3= 7 x1+ 4x2+x4= 9

2x1+ 3x2+x5= 6

x

1etx20

Le tableau de départ pour la méthode du simplexe est donc : x

1x2x3x4x53 -2 1 0 07x

3-1 4 0 1 09x

4-2 3 0 0 16x

51 -3 0 0 00

La variable entrante estx2qui correspond à l"élément le plus négatif de la dernière ligne. La variable sortante se calcule en trouvant le plus petit rapport positif entre la colonne de droite et la colonne dex2(colonne entrante) : Min 94
;63 =63 = 2 Doncx5est la variable sortante. La ligne dex5sert de ligne pivot / on exécute une transformation du pivot autour de la valeur 3 (à l"intersection de la ligne dex5et de la colonne dex2).

Cela conduit au tableau suivant :

3 x

1x2x3x4x55/3 0 1 0 2/311x

35/3 0 0 1 -4/31x

4-2/3 1 0 0 1/32x

2-1 0 0 0 16

Cette fois la variablex1entre dans la base et la variablex4sort car : Min

115=3;15=3

=35 Le pivot se fait autour de la valeur 5/3 (à l"intersection de la ligne dex4et de la colonne dex1). On obtient alors le tableau suivant : x

1x2x3x4x50 0 1 -1 210x

31 0 0 3/5 -4/53/5x

10 1 0 2/5 -1/512/5x

20 0 0 3/5 1/533/5

Il n"y a plus de terme négatif dans la dernière ligne et on est donc à l"optimum. La solution est :

8>>>>>><

>>>>>:x

1= 3=5

x

2= 12=5

x 3= 10 x 4= 0 x 5= 0 La deuxième et la troisième contrainte sont saturées. Il ne faut pas oublier de re- changer le signe de la fonction objectif : la valeur à l"optimum est -33/5 (alors que la case inférieure droite du tableau indique 33/5 car ce tableau correspond à la maximisa- tion def).Corrigé ex. 2 : Raffinerie de pétrole On désigne parx1etx2les quantités de brut 1 et 2 qu"il faut traiter. La fonction objectif est la marge totale, qu"il faut maximiser :

Max (3x1+ 4x2)

Les contraintes de production s"expriment sous la forme suivante : 8>< :0;25x1+ 0;35x2825

0;30x1+ 0;30x2750

0;45x1+ 0;35x21065

qui se simplifient sous la forme suivante : 8>< :5x1+ 7x216500 x

1+x22500

9x1+ 7x221300

4 Si on notex3,x4,x5les variables d"écart, les contraintes deviennent : 8>< :5x1+ 7x2+x3= 16500 x

1+x2+x4= 2500

9x1+ 7x2+x5= 21300

Les tableaux du simplexe sont successivement :

Tableau 1

x

1x2x3x4x55 7 1 0 016500x

31 1 0 1 02500x

49 7 0 0 121300x

5-3 -4 0 0 00

x

2entre etx3sort.

Tableau 2

x

1x2x3x4x55/7 1 1/7 0 016500/7x

22/7 0 -1/7 1 01000/7x

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