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Si un problème de programmation linéaire admet au moins une solution réalisable optimale finie, il existe au moins une solution réalisable optimale de base

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Selon le chapitre précédent, nous savons que la solution optimale du problème d 'optimisation linéaire max z = ctx, Ax = b, x ≥ 0 (3 1) se trouve en un sommet 

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Leçon 0603C La programmation linéaire 2 le simplexe doc 1/5 Bernard Auge – Alexandre Vernhet Module 06 - Leçon 03 : La méthode du simplexe

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Ecrire le dual de ce problème A-t-il une solution réalisable ? Confirmer votre réponse en résolvant (P) par l'algorithme du simplexe Que se 

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est une solution optimale, pour laquelle z = 13 Avant de formaliser l'algorithme du simplexe, et d'en découvrir les bases théoriques, voyons une deuxi`eme 

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On introduit la forme standard qui va être utilisée dans l'algorithme du simplex max z = 4x1 + 5y1 2x1 + x2 ≤ 4 x1 + 2x2 ≤ 10

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maximiser le profit obtenu apr`es deux ans? 3/56 Introduction Méthode graphique Simplexe Dualité Des probl 

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20 avr 2007 · MATH-F-306 – 3 Algorithme du Simplexe Exercice 3 3 Exercice 3 3 Soit le programme linéaire suivant : min z = x2 − 3x3 + 2x5 s t : x1

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Dualité en Programmation Linéaire

Algorithmes primal et dual du simplexe

Alain Faye

Option 3A

Optimisation 1

1 Plan

Dualité lagrangienne (rappels)

Programmation linéaire et dualité

DĠfinition du dual d'un programme linĠaire

Théorème de dualité forte

Algorithmes primal et dual du simplexe

Annexes

Interprétation des variables duales

Théorème des écarts complémentaires

2 3

Dualité lagrangienne

Dualité lagrangienne

avec ܴܺ

Problème Primal

Fonction de Lagrange

Fonction duale

Problème Dual

4

Dualité lagrangienne

Théorème de dualité

Soit ݔܺכ

et כǡכ tels que:

Corollaire

5 6

Programmation Linéaire et dualité

7

96coût

unités 10unités 5C vitamine unités 20unités 30B vitamine unités 5unités 20A vitamine

2 elaboratoir1 elaboratoirpoudre de 100g

Il lui faut au moins

25 unités de vitamine A

60 unités de vitamine B

15 unités de vitamine C

Pb du pharmacien ͗ fournir une potion contenant un minimum d'unitĠs en vitamines A, B, C en utilisant les poudres fournies par 2 laboratoires 8

96coût

unités 10unités 5C vitamine unités 20unités 30B vitamine unités 5unités 20A vitamine

2 elaboratoir1 elaboratoirpoudre de 100g

Il lui faut au moins

25 unités de vitamine A

60 unités de vitamine B

15 unités de vitamine C

Pb du pharmacien ͗ fournir une potion contenant un minimum d'unitĠs en vitamines A, B, C en utilisant les poudres fournies par 2 laboratoires tt t t t 00 15105

602030

25520
s.c. 96min
21
21
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xx xx xx xx xx

Quelques solutions

x1 = 3, x2 = 0, z = 18 x1 = 2, x2 = 1, z = 21 Ce sont des solutions sous-optimales donc majorantsde la valeur optimale z* zΎ ч 18

Comment obtenir des minorants?

͍ ч zΎ

9

Majorants et minorants

3/10 ×la contrainte vit.A7,5 ч 6 dž1+ 3/2 x2ч 6 dž1+ 9 x2= z

Donc 7,5 ч zΎ

3/20 ×vit.A+ 1/10 ×vit.B75ͬ20 н 6 ч 6 dž1+ (15/20 + 2) x2ч 6 dž1+ 9 x2= z

Donc 3,75 н 6 с 9,75 ч zΎ

2/10 ×la contrainte vit.B12 ч 6 dž1+ 4 x2ч 6 dž1+ 9 x2= z

Donc 12 ч zΎ

On sait dèjàque 12 ч zΎ ч 18

Peut-on faire mieux ?

10

Généralisons cette approche

Introduisons les variables

yAш0 , yBш0 , yCш0

25 ч 20 dž1+ 5 x2×yA60 ч 30 dž1+ 20 x2×yB15 ч 5 dž1+ 10 x2×yC

25 yA+ 60 yB+ 15 yCч dž1(20 yA+ 30 yB+ 5 yC) + x2(5 yA+ 20 yB+ 10 yC)

On impose

20 yA+ 30 yB+ 5 yCч 6(1)

5 yA+ 20 yB+ 10 yCч 9(2)

On a alors

25 yA+ 60 yB+ 15 yCч 6 dž1+ 9 x2= z

maximiser 25 yA+ 60 yB+ 15 yCsous contraintes (1) , (2) et avec yAш0 , yBш0 , yCш0 11

Résumons

Problème primal (P)

s.c. ൝σ௝ୀଵ௡ܽ௜௝ݔ௝൒ܾ

Problème dual (D)

s.c. ൝σ௜ୀଵ௠ܽ௜௝ݕ௜൑ܿ tt t t t 00 15105

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s.c. 96min
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