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Le volume d'un cylindre circulaire de rayon r et le rapport du volume du cylindre à celui de la d'une sphère a une aire qui vaut quatre fois cel- Marie- France Dallaire et Bernard R Hodgson, Accro- math, vol 8, hiver-printemps 2013 , p

Le volume d'un cylindre de rayon R et de hauteur h est égal à πR2h EXERCICE 1 Calculer l'aire et le volume de chacun des solides suivants : Cas n°1 :

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L'aire d'une sphère de rayon R est donnée par la formule : Airesphre = 4 ⇥ π ⇥ R2 2 cm et d'un cylindre de révolution de même rayon et de hauteur 5 cm

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Conclusion : « Le volume d'une sphère fait les deux tiers du volume du cylindre de même diamètre (rayon) de base et de même hauteur » – De cette égalité

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Définition d'une boule Une boule de centre O et de rayon R est l'ensemble des points de l'espace tels que Calculer au millimètre près, le rayon d'une sphère d 'aire 20cm² 2 2 20 5 5 4 20 Section d'un cylindre de révolution VII Section

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implicite) de la sphère de centre 0 et de rayon r • D = [0,21] x [ - I, I ] ; porir Exemple 7 On se propose de determiner l'aire de la partie du cylindre d'équation

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1 fév 2019 · Dans chaque cas, A désigne l'aire de la figure Cylindre de révolution 2 / 2 Boule R : rayon de la boule V 3 4 3 R π = 2 4 Aire R π =

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Volume de la sphère = Volume du cylindre = πr2h Volume du cube = Llh Volume de la pyramide = (aire de la base) x hauteur Volume du prisme = (aire de la

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Accrom

th vol.8, été-automne 2013

Solutions

Été-automne 2013

L'évolution de glaciers

Compte tenu des données de l'énoncé, le volume de glace en Antarctique est ~ 2 × 14 000 000 = 28 000 000 km 3 ce qui représente ~ 28 000 000 × 0,9 = 25 200 000 km 3 d'eau.

Par ailleurs, puisque la surface de la terre est

~ 4(6 371) 2 = 510 064 472 km 2 alors la surface des océans est ~ 510 064 472 × 0,7 = 357 045 130 km 2 Finalement, on divisant le volume total d'eau par la surface des océans, on obtient ~ 0,070 km, soit 70 mètres.

L-systèmes

Prouver que a(n + 1) = a(n) + (2

n ) × 8. L'itération 1 de la plante, S[-F][+F], comporte 9 instructions. Pour passer à l'itération 2, nous devons retirer deux F et les remplacer par S[-F][+F].

Mathématiquement, nous avons

a(2) = 9 - 2 + 2 × 9 = 25. Pour passer à l'itération 3, nous devons retirer qua- tre F et les remplacer par S[-F][+F]. Le nombre de F à retirer pour passer à l'itération n + 1 est donc 2 n . Ces F doivent être retirés de a(2), puis rempla-cés par quatre S[-F][+F] de longueur 9.

Mathématiquement, nous avons

a(3) = a(2) - 2 2 + (2 2 ) × 9.

Plus généralement,

a(n + 1) = a(n) - 2 n + (2 n ) × 9.

En mettant en évidence 2

n , nous avons a(n + 1) = a(n) + (2 n ) × 8.

Prouver que a(n) = 2

n+3 - 7.

En simplifiant a(n + 1) = a(n) + (2

n ) × 8, nous ob- tenons a(n + 1) = a(n) + 2 n+3 , car 8 = 2 3 Réécrivons-la de manière à avoir a(n) dans le membre de gauche de l'équation a(n) = a(n - 1) + 2 n+2

Nous pouvons développer cette équation:

a(n) = a(n -2 ) + 2 n+1 + 2 n+2 = a(n - 3) + 2 n + 2 n+1 + 2 n+2 = 1 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + ... + 2 n + 2 n+1 + 2 n+2

Rajoutons les termes 2

1 et 2 2 manquants dans cet- te progression géométrique et retirons-les à la fin de l'expression a(n) = 1 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + 24 + 2 5 + 2 n + 2 n+1 + 2 n+2 - 2 1 - 2 2

La somme des termes de 1 à 2

n+2 est alors la som- me des n + 2 premiers termes d'une progression géométrique dont le premier terme est a = 1 et la raison est r = 2. Or, la somme des k premiers ter- mes d'une telle progression est S a r r ( 1) 1 k k1

Dans le cas présent, on obtient

1(2 1)

2 1 2 1, n n n 2 3 3 d'où a(n) = 2 n+3 - 1 - 2 1 - 2 2 = 2 n+3 - 7. II

Accrom

th vol.8, été-automne 2013

Regard archimédien sur le cercle

et la sphère : le clin d'oeil de Kepler 1.

Simple comme 1-2-3

Le volume d'un cylindre circulaire de rayon r et

de hauteur r est donné par r 2

× r = r

3 , tandis que celui du cône de mêmes rayon et hauteur est r 1 3 3

Il s'agit donc de trouver un solide

dont le volume est r 2 3 3

Or, comme le volu-

me d'une sphère de rayon r est égal à r 4 3quotesdbs_dbs4.pdfusesText_8

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