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A. P. M. E. P.
?Corrigé du baccalauréat ES Métropole - La Réunion?22 juin 2016
Exercice 1 Commun à tous lescandidats 4 points
L"intervalle de confiance au seuil de 95% est?225300-1?300;225300+1?300? ≈[0,692; 0,808]. SiXest la variable aléatoire donnant un nombre au hasard dans l"intervalle[4; 11]; alorsP(X?10)=10-4
11-4=67.
La dérivée secondef??s"annule et change de signe enx=1, donc la courbe représentant la fonctionfadmet
un point d"inflexion enx=1.Exercice 2Candidats de ES n"ayant pas suivi l"enseignementde spécialité etcandidats de L5 points
1.D"une année sur l"autre, le loueur vend 25% de ses voitures donc il lui en reste 75%, ce qui correspond à un
coefficient multiplicateur de 1-25100=0,75. De plus, il achète 3000 voitures chaque année, qu"il faut ajouter au
nombre de voitures du parc automobile.On a alors pour tout entier natureln:
un+1=0,75×un+3000.2. a.On cherche une expression du typevn+1=q×vn.
n+1=un+1-12000 =0,75×un+3000-12000 =0,75×(vn+12000)-9000 =0,75×vn+9000-9000 n+1=0,75×vn0=u0-12000=10000-12000=-2000
(vn) est une suite géométrique de raison 0,75 de premier terme-2000. b.Pour tout entier natureln,vn=v0×qnsoit vn=-2000×0,75n. limn→+∞0,75n=0 car 0<0,75<1 donc limn→+∞-2000×0,75n=0.La limite de la suite (vn) est 0.
c.un=vn+12000 donc, un=12000-2000×0,75n. d.On a limn→+∞12000-2000×0,75n=12000.On peut conjecturer qu"au bout d"un grand nombre d"années, le nombre de voitures se stabilisera à 12000.
3. a.On complète l"algorithme :
Initialisation U prend la valeur 10000
N prend la valeur 0
Traitement Tant queU<11950 faire
N prend la valeurN+1
U prend la valeur0,75U+3000
Fin Tant que
Sortie AfficherN
Baccalauréat ESA. P. M. E. P.
b.La calculatrice donneN =13, ce qui correspond à l"année 2028. c.Résolution de l"inéquation : ??0,75n?-50 -2000 ??ln(0,75n)?ln(0,025) ??nln(0,75)?ln(0,025) ??n?ln(0,025) ln(0,75) Or, ln(0,025) ln(0,75)≈12,8 donc, on retrouve bien la valeur den=13. Exercice 2 Candidats ayant suivi l"enseignementde spécialité 5 points1.On traduit les données de l"énoncé par un graphe probabiliste de sommetsCetR:
C R 0,2 0,60,80,4
?cn+1=0,8cn+0,6rn n+1=0,2cn+0,4rn???cn+1rn+1?=?cnrn??0,8 0,20,6 0,4?La matrice de transition de ce graphe est donc
M=?0,8 0,20,6 0,4?.
3.On donneM6=?0,750016 0,2499840,749952 0,250048?
Pour déterminer la probabilitéc6qu"Hugo coure le 7ejour, il faut déterminerP6. d"après le cours, on sait que
6=P0×M6donc :?c6r6?=?1 0?×?0,750016 0,2499840,749952 0,250048?
=?0,750016 0,249984?La probabilité qu"Hugo coure le 7
ejour est d"environ 0,75.4. a.Par définition,Pn+1=Pn×M.
b.Pn+1=Pn×M???cn+1=0,8cn+0,6rn n+1=0,2cn+0,4rn=?cn+1=0,8cn+0,6rn Mais, d"après le texte, pour toutn:cn+rn=1 donc :0,2cn+0,6
5.Pour tout entier natureln, on considère la suite(vn)définie parvn=cn-0,75; donccn=vn+0,75.
0=c0-0,75=1-0,75=0,25
Donc la suite (vn) est géométrique de raisonq=0,2 et de premier termev0=0,25. b.On déduit de la question précédente que, pour toutn,vn=v0×qn=0,25×0,2n. La suite (vn) est géométrique de raison 0,2 et 0<0,2<1 donc la suite (vn) a pour limite 0. c.On a vu que, pour toutn,cn=vn+0,75 et quevn=0,25×0,2n; on en déduit que, pour toutn, cn=0,75+0,25×0,2n.d.On sait que la suite (vn) a pour limite 0 et que, pour toutn,cn=0,75+vn; on peut donc en déduire que la
suite (cn) a pour limite 0,75.Entre le 1
erjanvier et le 29 décembre, il y a plus de 360 jours et on sait quec6≈0,75; donc on peut raisonna-
blement déduire que la probabilité qu"Hugo coure le 29 décembre est voisine de 0,75. e.On peut conjecturer que l"état stable?c r?correspond àc=0,75 etr=1-c=0,25. ?0,75 0,25?×?0,8 0,20,6 0,4? =?0,75×0,8+0,25×0,6 0,75×0,2+0,25×0,4?=?0,75 0,25? L"état stable du système est donc?0,75 0,25?.