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les étudiants (ce dernier fixant le programme de l'examen), ou tout au moins pas de manière aussi détaillée Il On lui attribue plusieurs découvertes mathématiques, dont une formule de Abu Abdullah Muhammad ibn Musa al- Khwarizmi (

25 fév 2021 · servent de modèle pour les exercices de raisonnement Il fit dans sa vie environ 6000 découvertes qu'il consignait dans des carnets Au début du 9ème siècle Al Khawarizmi (dont le nom a donné algorithme) décrit la

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6 nov 2010 · tableau ci-dessous (document 26) synthétise l'analyse de ces questions de cours (exercices ou question particulière) par rapport à la typologie

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Des notes de cours seront transmises par courriel sous forme pdf • Devoirs à la Examens Les sujets des 4 examens seront établis par le professeur responsable de l'UE Math-170 L'histoire de l'algèbre linéaire commence avec Al-Khawarizmi qui a traduit des textes de ma- Après cette découverte, les progrès en al-

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4 7 Notes de cours, exercices sur la différence de carrés l'exemple de l' équation x2 + JOx = 39 résolue par Al-Khwarizmi d'introduction à la factorisation, comme outil de découverte et de compréhension du concept UE pdf Ball, Lynda, Robyn Pierce et Kaye Stacey 2003 « Recognising equivalent algebraic

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un parcours « découverte d'entreprise » en collaboration avec des partenaires industriels d'envergure Séquences de cours – Exercices – Exposés document de travail (en format PDF) al-Khwarizmi to Emmy Noether ”, Berlin, Springer,

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Corpus d'exercices liés au programme de la classe de seconde Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (Bagdad, 783-850) qui a http://hebergement u-psud fr/ iut-orsay/Pedagogie/MPHY/Python/courspython3 pdf : cours de Robert lorsqu' aucun échange ne sera plus nécessaire (un parcours du tableau sans découverte

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Description des matières Découverte des Méthodes du Travail Universitaire : P PHILIBOSSIAN, Analyse: rappels de cours, exercices et problèmes résolus, Contribution aux progrès de l'astronomie (al-Khawarizmi, Habash al Hasib,

Méthodes numériques

Introduction à l"analyse numérique

et au calcul scientifique

Guillaume Legendre

(version provisoire du 17 mai 2023) Ce document est mis à disposition selon les termes de la licenceCreative Commons " Attribution - Pas d"utilisation commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0

International »

.Au regretté logo de l"université (2009-2019)

Avant-propos

Ce document est une version augmentée et regroupée des notes de deux cours enseignés à l"université Paris-

Dauphine, respectivement en deuxième année de licence de Mathématiques et Informatique appliquées à l"Éco-

nomie et à l"Entreprise (MI2E) et en première année de master de Mathématiques Appliquées. Ces enseignements

se composent à la fois de cours magistraux et de séances de travaux dirigés et de travaux pratiques.

Leur but est de présenter plusieurs méthodes numériques de base utilisées pour la résolution des systèmes

linéaires, des équations non linéaires, des équations différentielles et aux dérivées partielles, pour le calcul nu-

mérique d"intégrales ou encore pour l"approximation de fonctions par interpolation polynomiale, ainsi que d"in-

troduire aux étudiants les techniques d"analyse (théorique) de ces dernières. Certains aspects pratiques de mise

en oeuvre sont également évoqués et l"emploi des méthodes est motivé par des problèmes " concrets ». La présen-

tation et l"analyse des méthodes se trouvent complétées par un travail d"implémentation et d"application réalisé

par les étudiants avec les logiciels MATLAB®1 et GNU OCTAVE2.

Il est à noter que ce support de cours comporte plusieurs passages qui ne sont pas traités dans le cours devant

les étudiants (ce dernier fixant le programme de l"examen), ou tout au moins pas de manière aussi détaillée.

Il contient également deux annexes de taille relativement conséquente, l"une consacrée à des rappels d"algèbre,

l"autre à des rappels d"analyse, qui constituent les pré-requis à une bonne compréhension des deux premières

parties du cours. Les courtes notes biographiques, qui apparaissent en bas de page à chaque première fois que le

nom d"une personne est cité, sont pour partie tirées de WIKIPEDIA3.

Je tiens enfin à adresser mes remerciements à tous les étudiants ayant décelé des erreurs, à Matthieu Hillairet

pour sa relecture d"une partie du manuscrit et ses remarques, à André Casadevall, Djalil Chafaï, Maxime Chupin,

Olga Mula, Pierre Lissy, Nicolas Salles, Julien Salomon, Anders Thorin et Gabriel Turinici pour leurs suggestions

et enfin à Donald Knuth pour l"invention de T

EX et à Leslie Lamport pour celle de LATEX.

Guillaume Legendre

Paris, janvier 2018.

Quelques références bibliographiques

Pour approfondir les thèmes abordés dans ces pages, voici une sélection de plusieurs ouvrages de référence,

que l"on pourra consulter avec intérêt en complément du cours. Par ailleurs, afin de faciliter l"accès à la littérature

de langue anglaise, des traductions des termes spécifiques à ce cours sont proposées tout au long du manuscrit,

généralement lors de l"introduction de l"objet ou de la notion en question.

Ouvrages rédigés en français

[AD08]L. AMODEIet J.-P. DEDIEU.Analyse numérique matricielle,Mathématiques pour le master/SMAI. Dunod, 2008.

[AK02]G. ALLAIREet S. M. KABER.Algèbre linéaire numérique,Mathématiques pour le deuxième cycle. Ellipses, 2002.

[Cia98]P. G. CIARLET.Introduction à l"analyse numérique matricielle et à l"optimisation - cours et exercices corrigés,Ma-

thématiques appliquées pour la maîtrise. Dunod, 1998. i [Fil09]F. FILBET.Analyse numérique - Algorithme et étude mathématique. Dunod, 2009.

[LT00a]P. LASCAUXet R. THÉODOR.Analyse numérique matricielle appliquée à l"art de l"ingénieur. 1. Méthodes directes.

Dunod, 2000.

[LT00b]P. LASCAUXet R. THÉODOR.Analyse numérique matricielle appliquée à l"art de l"ingénieur. 2. Méthodes itératives.

Dunod, 2000.

Ouvrages rédigés en anglais

[Act90]F. S. ACTON.Numerical methods that (usually) work. The Mathematical Association of America, 1990.

[Atk89]K. ATKINSON.An introduction to numerical analysis. John Wiley & Sons, second edition, 1989. [Axe94]O. AXELSSON.Iterative solution methods. Cambridge University Press, 1994.DOI:?? ? ???? ?

[CLR+09]T. H. CORMEN, C. E. LEISERSON, R. L. RIVEST, and C. STEIN.Introduction to algorithms. MIT Press, third edition,

2009.

[DB08]G. DAHLQUISTand Å. BJÖRCK.Numerical methods in scientific computing. Volume I. SIAM, 2008.DOI:???

[GGK14]W. GANDER, M. J. GANDER, and F. KWOK.Scientific computing. An introduction using Maple and MATLAB,

[GV13]G. H. GOLUBand C. F. VANLOAN.Matrix computations. Johns Hopkins University Press, fourth edition, 2013.

[IK94]E. ISAACSONand H. B. KELLER.Analysis of numerical methods. Dover, 1994.

[LeV07]R. J. LEVEQUE.Finite difference methods for ordinary and partial differential equations: steady-state and time-

[MM05]K. W. MORTONand D. F. MYERS.Numerical solution of partial differential equations. Cambridge University Press,

[PTV+07]W. H. PRESS, S. A. TEUKOLSKY, W. T. VETERLING, and B. P. FLANNERY.Numerical recipes: the art of scientific

computing. Cambridge University Press, third edition, 2007.

[QV97]A. QUARTERONIand A. VALLI.Numerical approximation of partial differential equations, volume 23 ofSpringer

[SB02]J. STOERand R. BULIRSCH.Introduction to numerical analysis, volume 12 ofTexts in applied mathematics.

[SM03]E. SÜLIand D. F. MAYERS.An introduction to numerical analysis. Cambridge University Press, 2003.DOI:

[TB97]L. N. TREFETHENand D. BAU, III.Numerical linear algebra. SIAM, 1997.

[Var00]R. S. VARGA.Matrix iterative analysis, volume 27 ofSpringer series in computational mathematics. Springer,

[Wil65]J. H. WILKINSON.The algebraic eigenvalue problem,Numerical mathematics and scientific computation. Oxford

University Press, 1965.

[You71]D. M. YOUNG.Iterative solution of large linear systems. Academic Press, 1971. ii

Table des matières

1 Généralités sur l"analyse numérique et le calcul scientifique

1.1 Différentes sources d"erreur dans une méthode numérique

1.2 Quelques notions d"algorithmique

1.2.1 Algorithme

1.2.2 Codage

1.2.3 Efficacité et complexité

1.3 Arithmétique à virgule flottante

1.3.1 Système de numération

1.3.2 Représentation des nombres réels en machine

Arrondi

1.3.3 Arithmétique en précision finie

13 Un modèle d"arithmétique à virgule flottante 14

Multiplication et addition fusionnées

Perte d"associativité et de distributivité

Soustraction exacte

Arithmétique complexe

1.3.4 La norme IEEE 754

1.4 Propagation des erreurs et conditionnement

1.4.1 Propagation des erreurs dans les opérations arithmétiques

Cas de la multiplication

Cas de la division

Cas de l"addition et de la soustraction

1.4.2 Analyse de sensibilité et conditionnement d"un problème

Problème bien posé

Conditionnement

Quelques exemples

1.5 Analyse d"erreur et stabilité des méthodes numériques

1.5.1 Analyse d"erreur directe et inverse

Quelques exemples (simples) d"analyse d"erreur

1.5.2 Stabilité numérique et précision d"un algorithme

1.6 Notes sur le chapitre

Références

I Algèbre linéaire numérique

2 Méthodes directes de résolution des systèmes linéaires

2.1 Exemples d"application

2.1.1 Estimation d"un modèle de régression linéaire en statistique *

2.1.2 Résolution numérique d"un problème aux limites par la méthode des différences finies *

2.2 Stockage des matrices

2.3 Remarques sur la résolution des systèmes triangulaires

2.4 Méthode d"élimination de Gauss

52
iii

2.4.1 Élimination sans échange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.4.2 Élimination de Gauss avec échange

2.4.3 Résolution de systèmes rectangulaires par élimination

2.4.4 Choix du pivot

2.4.5 Méthode d"élimination de Gauss-Jordan

2.5 Interprétation matricielle de l"élimination de Gauss : la factorisation LU

2.5.1 Formalisme matriciel

Matrices des transformations élémentaires

Factorisation LU

2.5.2 Condition d"existence de la factorisation LU

2.5.3 Mise en oeuvre

2.5.4 Factorisation LU de matrices particulières

68
Cas des matrices à diagonale strictement dominante 68

Cas des matrices bandes

Cas des matrices tridiagonales

Cas des matrices de Hessenberg

Cas des matrices de Toeplitz

71
Phénomène de remplissage lors de la factorisation de matrices creuses 74

2.6 Autres méthodes de factorisation

2.6.1 Factorisation LDM

>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76

2.6.2 Factorisation de Cholesky

2.6.3 Factorisation QR

2.7 Stabilité numérique des méthodes directes *

2.7.1 Résolution des systèmes triangulaires *

2.7.2 Élimination de Gauss et factorisation LU *

2.7.3 Factorisation de Cholesky *

2.7.4 Factorisation QR **

2.8 Notes sur le chapitre

Références

3 Méthodes itératives de résolution des systèmes linéaires

3.1 Méthodes linéaires stationnaires du premier degré

3.1.1 Généralités

3.1.2 Méthode de Jacobi

3.1.3 Méthodes de Gauss-Seidel et de sur-relaxation successive

100

3.1.4 Méthode de Richardson stationnaire

102

3.1.5 Méthode des directions alternées

103

3.1.6 Résultats de convergence

103
Cas des matrices à diagonale strictement dominante 104
Cas des matrices hermitiennes définies positives 105

Cas des matrices tridiagonales

107

3.1.7 Remarques sur la mise en oeuvre des méthodes

111

3.2 Méthodes de projection

112

3.2.1 Méthode de Kaczmarz

112

3.2.2 Méthode de Cimmino

112

3.3 Notes sur le chapitre

113

Références

115

4 Calcul de valeurs et de vecteurs propres

117

4.1 Exemples d"application **

118

4.1.1 Détermination des modes propres de vibration d"une plaque *

118

4.1.2 Évaluation numérique des noeuds et poids des formules de quadrature de Gauss **

119

4.1.3 PageRank

119

4.2 Localisation des valeurs propres

122

4.3 Conditionnement d"un problème aux valeurs propres

123
iv

4.4 Méthode de la puissance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.4.1 Approximation de la valeur propre de plus grand module

124

4.4.2 Déflation

127

4.4.3 Méthode de la puissance inverse

128

4.4.4 Méthode de Lanczos **

128

4.5 Méthodes pour le calcul de valeurs propres d"une matrice symétrique

128

4.5.1 Méthode de Jacobi pour une matrice réelle

129

Matrices de rotation de Givens

129

Méthode de Jacobi

131

Méthode de Jacobi cyclique

134

4.5.2 Méthode de Givens-Householder **

134

4.6 Méthodes pour la calcul de la décomposition en valeurs singulières ***

137

4.7 Notes sur le chapitre

138

Références

139

II Traitement numérique des fonctions

143

5 Résolution numérique des équations non linéaires

147

5.1 Exemples d"applications *

147

5.1.1 Équation de Kepler

148

5.1.2 Équation d"état de van der Waals pour un gaz

148

5.1.3 Calcul du rendement moyen d"un fonds de placement

149

5.2 Ordre de convergence d"une méthode itérative

149

5.3 Méthodes d"encadrement

150

5.3.1 Méthode de dichotomie

151

5.3.2 Méthode de la fausse position

152

5.4 Méthodes de point fixe

155

5.4.1 Principe

156

5.4.2 Quelques résultats de convergence

157

5.4.3 Méthode de relaxation

161

5.4.4 Méthode de Newton-Raphson

162

5.4.5 Méthode de Steffensen

166

5.4.6 Classe des méthodes de Householder **

169

5.5 Méthode de la sécante et variantes

169

5.5.1 Méthode de Muller

171

5.5.2 Méthode de Brent **

172

5.6 Critères d"arrêt

173

5.7 Méthodes pour les équations algébriques

174

5.7.1 Localisation des racines **

174

5.7.2 Évaluation des fonctions polynomiales et de leurs dérivées

174
Évaluation d"une fonction polynomiale en un point 175
Division euclidienne d"un polynôme par un monôme 175
Évaluation des dérivées successives d"une fonction polynomiale en un point 176
Stabilité numérique de la méthode de Horner 176

5.7.3 Méthode de Newton-Horner

177

5.7.4 Déflation

177

5.7.5 Méthode de Bernoulli *

178
179

5.7.7 Méthode de Laguerre

180

5.7.8 Méthode de Durand-Kerner **

182

5.7.9 Méthode de Bairstow

182

5.7.10 Méthode de Jenkins-Traub **

184

5.7.11 Recherche des valeurs propres d"une matrice compagnon **

184

5.8 Notes sur le chapitre

184
v

Références. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6 Interpolation polynomiale191

6.1 Quelques résultats concernant l"approximation polynomiale

192

6.1.1 Polynômes et fonctions polynomiales

192

6.1.2 Approximation uniforme

192

6.1.3 Meilleure approximation au sens des moindres carrés

195

6.2 Interpolation de Lagrange

195

6.2.1 Définition du problème d"interpolation

196

6.2.2 Différentes représentations du polynôme d"interpolation de Lagrange

197

Forme de Lagrange

197

Forme de Newton

199

Formes barycentriques

203

Algorithme de Neville

204

6.2.3 Interpolation polynomiale d"une fonction

206
Polynôme d"interpolation de Lagrange d"une fonction 206

Erreur d"interpolation polynomiale

207
Quelques propriétés des différences divisées associées à une fonction 209
Convergence des polynômes d"interpolation et contre-exemple de Runge 209

6.2.4 Généralisations *

214

Interpolation de Hermite

214

Interpolation de Birkhoff *

215

6.3 Interpolation par morceaux

215

6.3.1 Interpolation de Lagrange par morceaux

216

6.3.2 Interpolation par des fonctions splines

216

Généralités

216

Interpolation par une fonction spline linéaire

217

Interpolation par une fonction spline cubique

quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

[PDF] [PDF] Notes de cours - Ceremade - Université Paris-Dauphine

Méthodes numériques

Introduction à l"analyse numérique

Guillaume Legendre

International »

Avant-propos

EX et à Leslie Lamport pour celle de LATEX.

Guillaume Legendre

Paris, janvier 2018.

Quelques références bibliographiques

Ouvrages rédigés en français

Dunod, 2000.

Dunod, 2000.

Ouvrages rédigés en anglais

University Press, 1965.

Table des matières

1 Généralités sur l"analyse numérique et le calcul scientifique

1.1 Différentes sources d"erreur dans une méthode numérique

1.2 Quelques notions d"algorithmique

1.2.1 Algorithme

1.2.2 Codage

1.2.3 Efficacité et complexité

1.3 Arithmétique à virgule flottante

1.3.1 Système de numération

1.3.2 Représentation des nombres réels en machine

Arrondi

1.3.3 Arithmétique en précision finie

Multiplication et addition fusionnées

Perte d"associativité et de distributivité

Soustraction exacte

Arithmétique complexe

1.3.4 La norme IEEE 754

1.4 Propagation des erreurs et conditionnement

1.4.1 Propagation des erreurs dans les opérations arithmétiques

Cas de la multiplication

Cas de la division

Cas de l"addition et de la soustraction

1.4.2 Analyse de sensibilité et conditionnement d"un problème

Problème bien posé

Conditionnement

Quelques exemples

1.5 Analyse d"erreur et stabilité des méthodes numériques

1.5.1 Analyse d"erreur directe et inverse

Quelques exemples (simples) d"analyse d"erreur

1.5.2 Stabilité numérique et précision d"un algorithme

1.6 Notes sur le chapitre

Références

I Algèbre linéaire numérique

2 Méthodes directes de résolution des systèmes linéaires

2.1 Exemples d"application

2.1.1 Estimation d"un modèle de régression linéaire en statistique *

2.1.2 Résolution numérique d"un problème aux limites par la méthode des différences finies *

2.2 Stockage des matrices

2.3 Remarques sur la résolution des systèmes triangulaires

2.4 Méthode d"élimination de Gauss

2.4.1 Élimination sans échange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.4.2 Élimination de Gauss avec échange

2.4.3 Résolution de systèmes rectangulaires par élimination

2.4.4 Choix du pivot

2.4.5 Méthode d"élimination de Gauss-Jordan

2.5 Interprétation matricielle de l"élimination de Gauss : la factorisation LU

2.5.1 Formalisme matriciel

Matrices des transformations élémentaires

Factorisation LU

2.5.2 Condition d"existence de la factorisation LU

2.5.3 Mise en oeuvre

2.5.4 Factorisation LU de matrices particulières

Cas des matrices bandes

Cas des matrices tridiagonales

Cas des matrices de Hessenberg

Cas des matrices de Toeplitz

2.6 Autres méthodes de factorisation

2.6.1 Factorisation LDM

2.6.2 Factorisation de Cholesky

2.6.3 Factorisation QR

2.7 Stabilité numérique des méthodes directes *

2.7.1 Résolution des systèmes triangulaires *

2.7.2 Élimination de Gauss et factorisation LU *

2.7.3 Factorisation de Cholesky *

2.7.4 Factorisation QR **