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n=3 1 nlog n(log(log n))p ; Solution: We again use the Cauchy condensation test and observe that it is sufficient to prove the convergence properties of ∞ ∑

[PDF] HOMEWORK 6 - UCLA Math

so ∑n≥4 1/n log n log log n diverges by the integral test Alternatively, by the Cauchy condensation test, ∑n≥4 1/n log n log log n converges if and only

[PDF] Convergence de séries à termes positifs

1 n log n = 1 2 log 2 + 1 3 log 3 + ··· + 1 N log N Utiliser le résultat de la question précédente pour obtenir une minoration de cette somme : ∫ N 2

[PDF] Analysis 1

says, for n ≥ 6: pn < n log(n) + n log(log(n)) Use this to prove the divergence of the prime harmonic series: ∞ ∑ n=1 1 pn Note: Isn't this a little bit impressive?

[PDF] An O(logn/log logn)-approximation Algorithm for - MIT Mathematics

O(log n/ log log n) of the optimum with high probability 1 Introduction In the Asymmetric Traveling Salesman problem (ATSP) we are given a set V of n points  

[PDF] An O(log n/log log n)-approximation Algorithm for the Asymmetric

Traveling salesman problem is one of the most celebrated and intensively studied problems in combinato- rial optimization [30, 2, 13] It has found applications in 

[PDF] also called Cauchys condensation test - mathchalmersse

3 mai 2018 · to integral test, but in many cases the condensation test requires less work than the integral n log n diverges (c) With an = 1/n2, we have ∞ ∑ n=1 2na2n = ∞ ∑ n=1 2n 1 n=16 1 n log 2(log n log 2)(log log n log 2)p

[PDF] MATH 370: Homework 5

where M > 0 exists because the sequence log n n has a limit (= 0); hence, the original series converges (e) ∞ ∑ n=4 1 n(log n)(log log n) diverges b/c ∫ ∞

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Universite des Sciences et Technologies de Lille

Licence MASS, S3 (2012-13)

Analyse, Feuille 4

x4. Series : calculs elementaires

1. Exercice

1.1)Calculer une decomposition en elements simples de la fraction

1n(n+ 1)

et en deduire la somme de la serie P1 n=11=n(n+ 1).

1.2)Calculer les sommes partielles de la serieP1

n=1log(1 + 1=n).Indication :onecrira log(1+1=n) comme une dierence log(1 + 1=n) =un+1unen utilisant les proprietes multiplicatives du logarithme. Conclusion? x5. Comparaisons de series et d'integrales

2. Exercice

Cet exercice a pour but d'aider a comprendre la methode de comparaison d'une serie avec une integrale en reprenant les demonstrations du cours pour l'exemple de la serieP+1 n=21=nlogn.

2.1)Verier que la fonction

f(t) =1tlog(t) est decroissante sur [2;+1[, et en deduire un encadrement :

1(n+ 1) log(n+ 1)Z

n+1 ndttlog(t)1nlogn; valable pourn= 2;3;:::.

2.2)On note

S N=NX n=21nlogn=12 log2 +13 log3 ++1NlogN: Utiliser le resultat de la question precedente pour obtenir une minoration de cette somme : Z N

2dttlog(t)SN:

2.3)Calculer l'integrale

I N=Z N

2dttlog(t)=Z

N

21=tlog(t)dt;

determiner la limite de cette suite et conclure quant a la nature de la serie P+1 n=21=nlogn.

2.4)SoituN=SNIN. CalculeruN+1uNet montrer queuNest decroissante en utilisant le

resultat de la question (1). Observer queuN0 et en conclure que la suiteuNest convergente.

2.5)Montrer que l'on a la relationSNlog(log(N)).BF, Courriel:Benoit.Fresse@math.univ-lille1.fr

1

3. Exercice

Calculer l'integrale

I N=Z N

2dttlog(t)

et conclure quant a la nature des series 1 X

21n(logn);

pour un parametre >1. On pourra appliquer directement le theoreme de comparaison du cours. x6. Comparaison de series

4. Exercice

4.1)Quelle est la nature des series

+1X n=1log(n)n

0;66;+1X

n=1log(n)n 1;33?

4.2)Quelle est la nature des series

+1X n=2n 2+ 4n

42;+1X

n=1n

22n;+1X

n=21(logn)3;+1X n=11n sin(1n Indication :On comparera ces series a des series plus simples.

4.3)Quelle est la nature de la serie

+1X n=0 (1 +np)1=pn selon la valeur dep >0?

4.4)Quelle est la nature des series

+1X n=0 n1n n2 et+1X n=0 n+ 1n n2

4.5)Quelle est la nature de la serie

+1X n=0e n selon la valeur de?

4.6)Quelle est la nature des seriesP+1

n=12n=n!,P+1 n=1n!=nn,P+1 n=11=nlognetP+1 n=1n11=n?

5. Exercice

Soit u n=1n! ne npn: Prouver que la serie de terme generalvn= log(un+1=un) converge. Que peut-on en conclure quant a la suiteun? Utiliser ces resultats pour prouver quen! a un equivalent de la forme n!Cne npn;ouC2R:

Remarque :On montre queC=p2.

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