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CARACTERISTIQUES CARACTERISTIQUES

D"INERTIE DES D"INERTIE DES

SOLIDESSOLIDES

2/14

1) 1) CENTRE D"INERTIECENTRE D"INERTIE

2)2) MOMENT D"INERTIEMOMENT D"INERTIE

3)3) MATRICE D"INERTIEMATRICE D"INERTIE

4) 4) SOLIDES ELEMENTAIRESSOLIDES ELEMENTAIRES

1) CENTRE D"INERTIE1) CENTRE D"INERTIEa) Définitiona) Définition ::On appelle centre d"inertie

(ou centre de gravité ) d"un

0=´

dmGM s intégrale triplesolide

SSle point

GG, unique et fixe dans

SS, défini par :

3/14 MM est un point " courant » qui décrit si solide homogène :si g est constant :

centre de masse = centre de volumecentre de masse = centre de volumecentre de masse = centre de gravitécentre de masse = centre de gravité

totalement le solide SS.

Moment

d"inertieSolides

élémentaires

CentreCentre

d"inertied"inertie

Matrice

d"inertie b) Propriétés :

Symétrie matérielleymétrie matérielle ::appartient alors à cet élément de symétrie.vue répartition des masses, le centre d"inertie

GG un élément de symétrie (plan, axe), d"un point de s"il existe, pour un solide

SS,4/14

Moment

d"inertieSolides

élémentaires

CentreCentre

d"inertied"inertie

Matrice

d"inertie s dmAMGA GM s dmGM s s dmAMdmGA =0rsoit

AAun point quelconque, on a :

Position :Position :

5/14 s s =´AGm∫ s dmAM

Moment

d"inertieSolides

élémentaires

CentreCentre

d"inertied"inertie

Matrice

d"inertie si on appelle ( x G yG zG )les composantes de AG dmxxm s G on a en projection sur les axes du repère :

Nota :

=´AGm∫ s dmAM 6/14 s∫∫∫ dmyym sG dmzzm sG

Moment

d"inertieSolides

élémentaires

CentreCentre

d"inertied"inertie

Matrice

d"inertie n n 1ii AG.m AG

Associativité :

pour un ensemble de nnsolides

SSiide

masses respectives mm iiet de centres d"inertie GG i i , on a :7/14 n1im AG masse totale

Moment

d"inertieSolides

élémentaires

CentreCentre

d"inertied"inertie

Matrice

d"inertie y z O 1 2 3 G 3 G 1 G 2

SymétrieSymétrie

xxGG= 0= 0 c) Exemple : 8/14 x

332211321

OGmOGmOGmOGmmm++=++

Par simple associativité, on a :Par simple associativité, on a : ou bien :ou bien :

3132121321GGmGGmGGmmm+=++

en projection sur y et zen projection sur y et z

Moment

d"inertieSolides

élémentaires

CentreCentre

d"inertied"inertie

Matrice

d"inertie

Application à un cylindre

H Oxy dy qqqqd qqqqd.r y Prenons l"élément de matière suivant :9/14 qdrdydr..V= ∫ ∫ ∫R H dyddrr 02 0 0 p q 2R2 pppp2 H

PréliminairePréliminaire

calcul du volume :calcul du volume : dv = z qqqqd.r

Moment

d"inertieSolides

élémentaires

CentreCentre

d"inertied"inertie

Matrice

d"inertie

Finalement :

HRV2 pppp====

Calcul de la positionCalcul de la position

du centre de gravité :du centre de gravité : H O z x y

Par symétrie Par symétrie

GG estest sur l"axe Osur l"axe Oyy 11/14 solide dmOMOGm

Moment

d"inertieSolides

élémentaires

CentreCentre

d"inertied"inertie

Matrice

d"inertie z dy qqqqd qqqqd.r y

Calcul de Calcul de yyGG

s G dmyym H O z x y solide dmOMOGm 12/14 ∫s∫= sG dv..yy.V.rr sG dyddrr.yy.HRqp 2

Moment

d"inertieSolides

élémentaires

CentreCentre

d"inertied"inertie

Matrice

d"inertie z dy qqqqd qqqqd.r y d"où : HR G yryHR 02 2 0 02 2 22?
p qp 2 2 H R H O z x y sG dyddrryyHRqp 2 13/14

2.2.2.2

2 2 H R yHRG pp soit : 2Hy G z dy qqqqd qqqqd.r y

Moment

d"inertieSolides

élémentaires

CentreCentre

d"inertied"inertie

Matrice

d"inertie k

2) MOMENT D"INERTIE2) MOMENT D"INERTIEIA(S) =

dmAM s 2 MM a) Par rapport à un pointa) Par rapport à un point A :A :point quelconque

AA:d"inertie

IIAA(S)(S)

d"un solide

SSpar rapport à un

yon appelle moment1/15 kSS s∫∫∫∫

L"unité est le :

kg.m2 zx A

Solides

élémentaires

Centre

d"inertieMatrice d"inertie

MomentMoment

d"inertied"inertie

On appelle moment d"inertie

IIDDDDDDDD(S)(S)

====)S( I dm AM i 2 r b) Par rapport à une droiteb) Par rapport à une droiteDDDDDDDD::droite quelconque

DDDDDDDD:d"un solide

SSpar rapport à une

S zy x

Point quelconque de DDDDDDDD

?DDDD k AM aaaaH 2/15 ====)S(

IDDDD(

s dmkAMi..sin.. 2r r aquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40