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Chapitre 1 Introduction 5 Chapitre 2 Élément de logique et méthodes de raisonnement avec Exercices Corrigés 7 1 Régles de logique formelle 7 2

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Plus de 600 énoncés d'exercices 1 à 4 Corrrigés des exercices Tous les exercices sont corrigés de façon détaillée Énoncés des cours qu'il apprend à la recherche nécessaire et fructueuse des exercices L'étude de l'interpolation du point de vue de l'algèbre linéaire et la dualité ne sont pas au programme PT

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activement par vous-même des exercices, sans regarder les solutions site Exo7 toutes les vidéos correspondant à ce cours, ainsi que des exercices corrigés Sommaire 1 Les nombres réels 1 1 L'ensemble des nombres rationnels Aux temps des Babyloniens (en Mésopotamie de 3000 à 600 avant J C ) le

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43 Algèbre: rappels de cour, exercices et problème d'examens corrigés D Bourguiba 51 Analyse 1-cours et 300 exercices corrigés 2émé année MPSI PCSI PTSI 55 Analyse 2-cours et 600 exercices corrigés 1ére année MPSI PCSI PTSI

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51-510-000-AZO1A-1 MATHS DEUG "A" 1 : COURS ET EXERCICES RESOLUS MATHEMATIQUES BTS/DUT ALGEBRE ET GEOMETRIE 08/ESTA/17227

Cours d"Algèbre I et II avec Exercices

Corrigés

Imene Medjadj

Table des matières

Chapitre 1. Introduction 5

Chapitre 2. Élément de logique et méthodes de raisonnement avec Exercices

Corrigés 7

1. Régles de logique formelle 7

2. Méthodes de raisonnement 12

3. Exercices Corrigés 13

Chapitre 3. Théorie des ensembles avec Exercices Corrigés 19

1. Notion d"ensemble et propriétés 19

2. Applications et relations d"équivalences 22

3. Relations Binaires dans un ensemble 26

4. Exercices Corrigés 28

Chapitre 4. Structures Algébriques avec Exercices Corrigés 35

1. Lois De Composition Internes 35

2. Groupes 36

3. Anneaux 36

4. Corps 36

5. Exercices Corrigés 37

Chapitre 5. Notion deIK-Espaces vectoriels(IKétant un Corps Commutatif) avec Exercices Corrigés 43

1. Espace vectoriel et sous espace vectoriel 43

2. Somme de deux sous espaces vectoriels 45

3. Somme directe de deux sous espaces vectoriels 45

4. Familles génératrices, familles libres et bases 45

5. Notion d"Application Linéaire 48

6. Exercices Corrigés 51

Chapitre 6. Notion de Matrice Associée à une Application Linéaire et Calcul Algébrique sur les Matrices avec Exercices Corrigés 57

1. Espace vectoriel des matrices 57

2. Produit de deux matrices 59

3. Matrices carrées 60

4. Les Déterminants 61

5. Relations entre une application linéaire et sa matrice Associée 65

6. Matrices et Changements de Bases 683

4 TABLE DES MATIÈRES

7. Diagonalisation 70

8. Systèmes d"équations linéaires 73

9. Exercices Corrigés 77

Bibliographie 83

CHAPITRE 1

Introduction

Ce document cours d"Algèbre I et II avec exercices corrigés recouvre le programme d"Algèbre linéaire de la 1ère année universitaire. Le lecteur trouvera une partie cours qui a été enseigné et à la fin de chaque chapitre une partie exercices corrigés dont la plupart ont été proposé dans le cadre de travaux dirigés ou ont fait l"objet de contrôle des connaissances. Il est destiné principalement aux étudiants de la 1ère année L.M.D. ainsi que toute personne ayant besoin d"outils de bases d"Algèbre linéaire. Nous espérons que ce polycopié réponde aux attentes des étudiants et qu"il les aidera à réussir.5

CHAPITRE 2

Élément de logique et méthodes de raisonnement avec

Exercices Corrigés

1. Régles de logique formelleDéfinition1.1.une proposition est une expression mathématique à laquelle on

peut attribuer la valeur de vérité vrai ou faux.Exemple1.2.(1)?Tout nombre premier est pair?, cette proposition est

fausse.(2)⎷2est un nombre irrationnel, cette proposition est vraie(3)2est inférieure à4, cette proposition est vraieDéfinition1.3.Toute proposition démontrée vraie est appelée théorème (par

exemple le théorème de PYTHAGORE, Thalès...)

La négation?(nonP)?,?P?:Définition1.4.SoitPune proposition, la négation dePest une proposition

désignant le contraire qu"on note(nonP),ou bienP,on peut aussi trouver la notation ?P. Voici sa table de vérité.PP

Exemple1.5.(1)SoitE?=∅,P: (a?E), alorsP: (a /?E).(2)P:la fonctionfest positive, alors?P:la fonctionfn"est pas positive.(3)P:x+ 2 = 0, alors(nonP) :x+ 2?= 0.

1.1. Les connecteurs logiques.SoitP,Qdeux propositions

1) La conjonction?et?,? ? ?Définition1.6.la conjonction est le connecteur logique?et?,? ? ?, la

proposition(PetQ)ou(P?Q)est la conjonction des deux propositionsP,Q.-(P?Q)est vraie siPetQle sont toutes les deux.-(P?Q)est fausse dans les autres cas. On résume tout ça dans la table de vérité

suivante.7

82. ÉLÉMENT DE LOGIQUE ET MÉTHODES DE RAISONNEMENT AVEC EXERCICES CORRIGÉS

PQP?Q111

100
010 000 Exemple1.7.(1)2est un nombre pair et3est un nombre premier, cette

2) La disjonction?ou?,? ? ?Définition1.8.la disjonction est un connecteur logique?ou?,? ? ?, on

note la disjonction entreP,Qpar(PouQ),(P?Q). P?Qest fausse siPetQsont fausses toutes les deux, sinon(P?Q)est vraie. On résume tout ça dans la table de vérité suivante.PQP?Q111 101
011 000

3)L"implicationDéfinition1.10.L"implication de deux propositionsP,Qest notée :P?Qon

ditPimpliqueQou bien siPalorsQ.P?Qest fausse siPest vraie etQest fausse, sinon(P?Q)est vraie dans les autres cas.PQP?Q111 100
011 001 (3)Omar a gagné au loto?Omar a joué au loto. Vraie c"est une conséquence.

4)La réciproque de l"implication

1. RÉGLES DE LOGIQUE FORMELLE 9

Définition1.12.La réciproque d"une implication(P?Q)est une implication

mon parapluie, alors il pleut).(3)La réciproque de : (Omar a gagné au loto?Omar a joué au loto),est:

(Omar a joué au loto?Omar a gagné au loto).

5)La contraposée de l"implicationSoitP,Qdeux propositions, la contraposée

de(P?Q)est(Q?P), on a (P?Q)??(Q?P)Remarque1.14.(P?Q)et(Q?P)ont la même table de vérité, i.e., la même valeur de vérité.Exemple1.15.(1)La contraposée de :(Il pleut, alors je prends mon para-

pluie),est(je ne prends pas mon parapluie, alors il ne pleut pas).(2)La contraposée de :( Omar a gagné au loto?Omar a joué au loto),est:

(Omar n"a pas joué au loto?Omar n"a pas gagné au loto).

6)La négation d"une implicationThéorème1.16.SoitP,Qdeux propositions on a(P?Q)?(P?Q).Exemple1.17.(1)La négation de : (il pleut, alors je prends mon parapluie),

est: (il pleut et je ne prends pas mon parapluie).(2)La négation de : (Omar a gagné au loto?Omar a joué au loto),est: (Omar

a gagné au loto et Omar n"a pas joué au loto).(3)(x?[0,1]?x≥0)sa négation :(x?[0,1]?x <0).

Conclusion(1)La négation de(P?Q)est(P?Q).(2)La contraposée de(P?Q)est(Q?P).(3)La réciproque de(P?Q)est(Q?P).Remarque1.18.(P?Q)?(P?Q).

102. ÉLÉMENT DE LOGIQUE ET MÉTHODES DE RAISONNEMENT AVEC EXERCICES CORRIGÉS

preuve.Il suffit de montrer que(P?Q)a la même valeur de vérité que(P?Q), on le voit bien dans la table de vérité suivante :PQPP?QP?Q11011 10000
01111
00111

7)L"équivalence

Définition1.19.l"équivalence de deux propositionsP,Qest notéeP?Q, on peut aussi écrire(P?Q)et(Q?P). On dit queP?QsiPetQont la même valeur de verité, sinon(P?Q)est fausse.PQP?Q111 100
010 001 Remarque1.20.(1)P?Qc"est à direPn"est pas équivalente àQlorsque

P?QouQ?P.(2)P?Qpeut être luePsi et seulement siQ.Exemple1.21.(1)x+ 2 = 0?x=-2.(2)Omar a gagné au loto?Omar a joué au loto.Théorème1.22.SoitP,Qdeux propositions on a :

(P?Q)?(P?Q)?(Q?P).preuve.

PQP?QQ?P(P?Q)?(Q?P)(P?Q)111111

100100

011000

001111

8)Propriétés des connecteurs logiquesQuelle que soit la valeur de vérité des

propositionsP,Q,Rles propriétés suivantes sont toujours vraies.(1)P?P.(2)P?P.(3)P?P?P.(4)P?Q?Q?P.Commutativité de?(5)P?Q?Q?P.Commutativité de?

1. RÉGLES DE LOGIQUE FORMELLE 11

(6)((P?Q)?R)?(P?(Q?R)).Associativité de?(7)((P?Q)?R)?(P?(Q?R)).Associativité de?(8)P?P?P(9)P?(Q?R)?(P?Q)?(P?R)).(10)P?(Q?R)?(P?Q)?(P?R)).(11)P?(P?Q)?P.(12)P?(P?Q)?P.(13)P?Q?P?QLois de Morgan(14)P?Q?P?QLois de Morgan(15)(P?Q)?(P?Q)?(Q?P).preuve.(13)

PQPQP?QP?QP?Q

1100100

1001011

0110011

0011011

(14)

PQPQP?QP?QQ?P

1100111

1001000

0110111

0011111

1.2. Les quantificateurs.

(1)Quantificateur universel? ? ? La relation pour tousxtel que P(x) est notée :?x, P(x)se lit quel que soit x, P(x).(2)Quatificateur existentiel? ? ?

la relation il existe unxtel queP(x)est notée :?x, P(x).Remarque1.23.Il existe un et un seul élémentxdeEc"est à dire un uniquex,

P(x)est notée :?!x?E,P(x)Exemple1.24.Ecrire à l"aide des quantificateurs les propositions suivantes :

(1)P(x) :La fonctionfest nulle pour tousx?IRdevient P(x) :?x?IR, f(x) = 0.(2)P(x) :la fonctionfs"annule enx0devient P(x) :?x0?IR, f(x0) = 0.Remarque1.25.Les relations?x,?y,P(x,y)et?y,?x,P(x,y)sont différentes, dans la premièreydépend dextandis que dans la secondeyne dépend pas dex.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_4

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