Math-III-Algèbre — semestre de printemps 2009 Examen partiel jeudi 9 avril 2009 a) Calculer le polynôme caractéristique et le polynôme minimal de A b) La matrice A est-elle Exercice 3 Pour quelle(s) valeur(s) de α la matrice ⎛ ⎝ 1 α 0 1 ⎞ Deuxième partie : cours et travaux dirigés Notée sur 20, coefficient 0,4
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Université Lyon 1
Math-III-Algèbre semestre de printemps 2009
Examen partiel
jeudi 9 avril 2009 durée : 2h documents autorisés, calculatrices interditesExercice 1
La matrice
0 BBBBBBBBBBBB@1 2 3 4 5
0 6 7 8 9
0 0 10 11 12
0 0 0 13 14
0 0 0 0 151
CCCCCCCCCCCCA
est-elle diagonalisable?Exercice 2
SoitA:=0
BBBBB@1 0 0
1 1 00 0 11
CCCCCA.
a) Calculer le polynôme caractéristique et le polynôme minimal deA. b) La matriceAest-elle diagonalisable? c) Est-elle inversible? Si oui, calculerA1, sinon passer à un autre exer- cice.Exercice 3
Soitt2?. On poseR(t) :=0
B @costsint sintcost1 C A. a) Déterminer le polynôme caractéristique deR(t). b) Calculer l"inverse deR(t). c) Montrer queR(t)est diagonalisable sur?et déterminer une matrice Pinversible indépendante detet une matrice diagonaleDtelle que :R(t) =PDP11
d) Pour quelst2?, la matriceR(t)est-elle trigonalisable sur?.Exercice 4
On pose
B:=0 BBBBB@115 5
5 33 53 31C CCCCA a) Trouver les valeurs propres deB. b) Trouver une matrice inversiblePet une matrice diagonaleDtelle que :
B=PDP1:
c) On suppose qu"il existe une matrice complexeAtelle queA2=B.Montrer queAetBcommutent.
d) On suppose toujours queA2=B. Montrer queAlaisse stable les espaces propres deB. e) Montrer que toute base de vecteurs propres deBest aussi une base de vecteurs propres deA. f) Trouver toutes les matrices diagonalesdtelles que : d 2=0 BBBBB@0 0 0
0 4 00 0 161
CCCCCA:
g) Combien y a-t-il de matricesAtelles queA2=B?2Université Lyon 1
Math-III-Algèbre semestre de printemps 2009
Contrôle continu final
jeudi 18 juin 2009 durée : 2h documents autorisés, calculatrices interditesExercice 1
a) Rappeler la définition d"une matrice nilpotente. b) Donner un exemple de matrice non nulleN, de taille33, vérifiant N2= 0et un exemple vérifiantN26= 0etN3= 0.
Soientn >0etN2Mn(?)une matrice nilpotente.
c) Quel est le polynôme caractéristique deN? d) Montrer queNn= 0et que la trace deN:TrNest nulle. e) ExprimerexpNcomme un polynôme de degrén1enN. f) Quelles sont les valeurs propres deexpN? Montrer que dét(expN) = e TrN.SoitDune matrice diagonalisable.
g) Montrer que dét(expD) =eTrD. h) Montrer que dét(expA) =eTrApour toute matriceA2Mn(?).Exercice 2
a) Diagonaliser (sur?) la matrice A=0 B @01 1 01 C A: b) En déduire que pour toutt2?: exptA=0 B @costsint sintcost1 C A:Exercice 3
Donner la décomposition de Jordan-Dunford des matrices suivantes : 1 0 B @1 2 0 11 C Aet0 B @1 1 0 21 C A:Exercice 4
Soit A:=0 BBBBB@6 0 21
2 1 62 0 71
CCCCCA:
a) Calculer le polynôme caractéristique et le polynôme minimal deA. b) Déterminer les projecteurs spectraux deA. c) Exprimer les coefficients de la matriceexptAen fonction det2?. d) Trouver les fonctionsx;y;zréelles telles que :8t2?;8
>>>>:x0(t) =6x(t) + 21z(t)
y0(t) =2x(t) +y(t) + 6z(t)
z0(t) =2x(t) + 7z(t)
x(0) =y(0) = 0 et limt!1z(t) = 6: 2Université Lyon 1
Math-III-Algèbre semestre de printemps 2009
corrigé du contrôle continu final du jeudi 18 juin 2009Exercice 1
a) Une matriceNest nilpotente siNa= 0pour un certaina >0. b) Par exemple : 0 BBBBB@0 1 0
0 0 00 0 01
CCCCCAet0
BBBBB@0 1 0
0 0 10 0 01
CCCCCA:
Soientn >0etN2Mn(?)une matrice nilpotente.
c)N(X) =Xncar0est la seule valeur propre possible pourN. d) D"après le théorème de Cayley-Hamilton,Nn= 0. De plusTrNest le coefficient devantXn1dansN(X). DoncTrN= 0. e)expN= 1 +N+N22 +:::+Nn1(n1)!. f) Les valeurs propres deexp(N)sont les1++22 +:::+n1(n1)!oùest une valeur propre deN. Donc1est la seule valeur propre deexpN. D"où : dét(expN) = 1 =e0=eTrN. g) Soient1;:::;nles valeurs propres deD. La matriceDest semblableà la matrice diagonale
0 B BBBB@ 1 n1 C CCCCA etexpDà la matrice diagonale 0 BBBBB@e
1 e n1 C CCCCA donc : dét(expD) =e1:::en=e1+:::+n=eTrD: 1 h) On utilise la décomposition de Jordan-Dunford deA: il existe une matrice diagonalisableDet une matrice nilpotenteNqui commutent et telles queA=D+N. On a alorsexpA= expDexpNcarDN=NDet d"après les questions précédentes : détexpA=détexpDdétexpN =eTrDeTrN =eTrD+TrN =eTrA:Exercice 2
a) SiP:=0 B @1 1 ii1 CA, alorsA=P0
B @i0 0i1 C AP1. b) On a : exptA= exptP0 B @i0 0i1 C AP1 =Pexp0 B @it0 0it1 C AP1 =P0 B @eit0 0eit1 C AP1 0 B @costsint sintcost1 C A:Exercice 3
0 B @1 2 0 11 CA=I2+0
B @0 2 0 01 C A et : 2 0 B @1 1 0 21 C A est déjà diagonalisable (2valeurs propres distinctes).Exercice 4
a)A(X) =X(X1)2etPA(X) =X(X1). b) Notons0et1les projecteurs spectraux associés respectivement aux valeurs propres0et1. On a0+1= 1et0:0+ 1:1=AcarAest diagonalisable donc :0= 1Aet1=A. c) On a : exptA=0+et1= (1A) +etA 0 BBBBB@76et0 21(et1)
2(1et)et6(et1)
2(1et) 0 7et61
C CCCCA pour toutt2?. d) Si on poseX(t) :=0 BBBBB@x(t)
y(t) z(t)1 CCCCCApour touttréel, alors :
X(t) = exptA:X(0)
= exptA:0 BBBBB@0
0 z(0)1 C CCCCA =z(0)0 BBBBB@21(et1)
6(et1)
7et61 CCCCCA:
3 En particulier,limt!1z(t) =6z(0) = 1,z(0) =1. En conclusion :X(t) =0
BBBBB@21(1et)
6(1et)
67et1C