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Chapitre7

Calculdeprimitiv e

49

50CHAPITRE7.CALCULDEPRI MITIVE

7.1Th´e orie

7.1.1Primiti vesetint´egrales

D´efinition:Soitfunefonctiond ´efiniesur unintervalleI.Ondit queF estunepr imitivedefsurIsiFestd´ erivablesurIetF =f. Exemples:Lafonc tionlnestuneprimitivedela fonction inverses ur ]0;+∞[,la foncti onexpestuneprimitived'e lle-mˆeme surR,lafonction sinestu neprimiti vedelafo nctioncos,lafonctionf 1 :x?→ 3 4 x 4 +5x 2 +18 estun eprimitiv edelafonctionf 2 :x?→3x 3 +10xsurR,mais´egalement f 1 -12ou enc oref 1 tion). Onvoit surledernie rexemplequ'unef onct ionfquiadme tuneprimitive Fena dmetenfaitune infinit ´epuisqueF+kseraencore uneprimit ivedef quelqueso itk?R(oumˆeme k?Csio nconsid `eredesfonctions`avaleurs complexes).Cependant,cesontles seules: Propri´et´e:Soitfunefonctionqui admetune primitiveFsuruninter - valleI.Alor slesprimitivesdefsontlesfonctions dela formeF+kaveck constante.Deplus,si a?I,alors fadmetuneunique primitive quis'annule enI. Remarque:¸Can 'ad onc pas des ens de par ler delaprimitived'unefonct ion fpuisqu'elleenauneinfinit ´e,mais¸ca ena undepa rlerdelaprimitivedef quis'ann uleena. Consid´eronsmaintenantunefonctio nfquiadmet uneprimitiveFsur uninte rvalleIet(a,b)?I 2 .SiGestu neautrepr imitivedefsurI alorsilexiste unec onstantektellequeG=F+k.DoncG(b)-G(a)= (F(b)+k)-(F(a)+k)=F(b)-F(a).D oncl'accroissement delaprimitive entreaetbned ´ependpasdelaprimitiveconsid´er´e e,maisuniquemen tde la fonctionfetdes nombr esaetb.Onluidonneunnom: D´efinition:Sifadmetunepr imitive Fsuruninter valle Ietsi(a,b)?I 2 alorsonappel leint´ egraledefentreaetb,not´ ee b a f(x)dxlenombre

F(b)-F(a).

7.1.TH

EORIE51

Remarques:

-Sigestu nefonctionq uelconque,onnote[g(x)] b a ler ´eelg(b)-g(a).On adonc b a f(x)dx=[F(x)] b a -Ona b a f(x)dx=- a b f(x)dx. nec hangerienaur´es ultatdelasomme: n k=0 a k n j=0 a j n p=0 a p .De mˆemepourl'int´ egrale,leno mdelavariableintervenantdansl'intr´eg ale n'intervientpasdansler´esulta t: b a f(x)dx= b a f(t)dt= b a f(u)du. Attentioncependant`anepa schoisircommenomdevariable unedes bornesdel'int´e grale( i.e´eviter b a f(b)db).

Exemples:

10 6 (t 3 +5t)dt= 1 4 t 4 5 2 t 2 10 6 1 4 10 4 5 2 10 2 1 4 6 4 5 2 6 2

2750-414= 2336.

32
1 dt t =[ln(t)] 32
1 =ln(3 2)-ln(1)=ln(32) =5ln( 2). /4 0 tan(x)dx= /4 0 sin(x) cos(x) dx=[-ln(cos(x))] /4 0 1 2 ln(2). /2 0 (sin(x)+xcos(x))dx=[xsin(x)] /2 0 2

7.1.2Propri´et´e sdel'int´egrale

Onv avoirquelque spropri´et´es calculatoiresdel'int ´egrale. Soitfunefonc tionquiadmetuneprimitive Fsurunin terval leIet (a,b,c)?I 3 .Alo rsF(c)-F(a)=F(b)-F(a)+F(c)-F(b).Autre ment dit,o nalapropri´ et´ esuivan te:

Propri´et´e(relationdeChasles):Ona

c a f(x)dx= b a f(x)dx+ c b f(x)dx (sousr´ eserved'existencedestroisint´egrales).

Demˆ eme,nousmontrons:

52CHAPITRE7.CALCULDEPRI MITIVE

b a (λf(x)+µg(x))dx=λ b a f(x)dx+µ b a g(x)dx Propri´et´e:Sif?0(resp.f?0)surun segment[a,b](etadmetune primitive),alors b a f(x)dx?0(resp. b a f(x)dx?0).De plus,sia´egalement. Exemple:Sanscalc ulerdeprimitive(enadmetta ntqu'il yenait),onsait que 1 0 e arcsin(x) dx>0. Remarque:Lesnombresaetbneson tpasquelconques:o ndoita voir Corollaire:Onpeut int´egrerlesin ´egalit´esentreaetbsia?b. Propri´et´e(in´egalit´etriangula ire):Ona b a f(x)dx b a |f(x)|dx (sousr´ eserved'existencedecesint´egrales).

Exemple:Pourtoutn?N,ona:

1 0 cos 3 (x)sin 2 (x)x n dx 1 0 |cos 3 (x)sin 2 (x)x n |dx? 1 0 x n dx= 1 n+1

Onen d´eduitque

1 0 cos 3 (x)sin 2 (x)x n dx→0quandn→∞etce,sa nsfa ire decalc uldeprimitives(en admettan tquetoutescesfonctionsen admettent).

7.1.3Interpr´et ationsgraphiques

Proposition.Soitfunefonctionc ontinueadmettantune primitivesur [a,b],alors ilexistec?[a,b]telque f(c)= 1 b-a b a f(t)dt.

7.2.CALCULSD'I NT

EGRALES53

Propri´et´e:Soitfunefonctionc ontinuesurI.Alor sfadmetune(et donc des)primit ive(s)surI.De plussi(a,x)?I 2 ,lavaleur enxdelapr imitive defquis'annuleen aestl'aire compriseentre lacourberepr´esenta tivede fetl'axedes abscissessurl'inter valle[a,x](avecdesconventionsde signes).

Remarques:

partirdumomen to` uunefonctionfestco ntinuesurunintervalle[ a,b], ons aitque b a f(x)dxexiste. ´eg ali t´e sde vie nne nt´evid ent es sio nle sre gar dee nte rme sd 'ai res ous la courbe. continuessur[a,b],alors ona b a f(t)g(t)dt 2 b a f 2 (t)dt b a g 2 (t)dt.

7.2Calculs d'int´egrales

Onva voircomment calculerde sint´egralesdansc ertainscaslorsquel'on nedisp osepasdirectementd'uneprimitive delaf onction`aint´egrer.

7.2.1Int´egrat ionparpartiesetchangementdevariable

position),onpeutd´eduiredesm ´ethod esdecalcu lsd'int´egrales:

Soientuetvdeuxfonctionsde classeC

1 suruni ntervall e[a,b].On aalor s (uv) =u v+uv doncu v=(uv) -uv .Commetouteslesfonctionssont continuessur[a,b],on peutl esint´egrer: b a u (x)v(x)dx= b a (uv) (x)dx- b a u (x)v(x)dx

54CHAPITRE7.CALCULDEPRI MITIVE

Or,uvestun eprimitiv ede(uv)

sur[a,b],do nc b a (uv) (x)dx=[u(x)v(x)] b a

Ona donclapr opri´e t´e suivante:

Propri´et´e(Int´egrationparparti es):Siuetvsontdeclasse C 1 surun intervalle[a,b]alors: b a u (x)v(x)dx=[u(x)v(x)] b a b a u (x)v(x)dx

Exemples:Calculer

3 0 xe x dx. -laprimitivedef:x?→x 3 ln(x)quis'annuleen1. Regardonsmaintenantceque l'onpeutobteniravecdesc ompositions.

Soitφunefo nctiondeclasseC

1 suruni nterval le[a,b]etfcontinuesur φ([a,b]).Noton sFuneprimitiv edefsurφ([a,b]).Alors (F◦φ) =(F (f◦φ)φ ,autrementdit,F◦φestun eprimiti vede(f◦φ)φ sur[a,b].On a donc b a f(φ(x))φ (x)dx=[(F◦φ)(x)] b a =F(φ(b))-F(φ(a)).On end´ed uit lapr opri´et´esuivante: Propri´et´e(changementdevariables) :Siφestdeclasse C 1 surun intervalle[a,b]etfcontinuesurφ([a,b]),alors : b a f(φ(x))φ (x)dx=

φ(b)

φ(a)

f(x)dx

Exemple:Onca lcule

/2 0 (sin 3 (x)-5sin(x))cos(x)dx.Pourcela,ilsuffit d'appliquerlaform uleav ecφ(x)=s in(x)etf(x)=x 3 -5x.Onaalors: /2 0 (sin 3 (x)-5sin(x))cos(x)dx= 1 0 (x 3 -5x)dx=- 9 4 Eng´ en´eral,onr´edigeceladelama ni`eresu ivante(mˆemesi¸can'est pas tr`esrigoureux,c'es tsu ffi santpourindiquerlesf onctionsmisese njeu):on poseu=sin( x).O naalors du=cos(x)dx(carsin (x)=cos(x)),donc: /2 0 (sin 3 (x)-5sin(x))cos(x)dx= 1 0 (u 3 -5u)du

Remarques:

7.2.CALCULSD'I NT

EGRALES55

dansune somme. -Attentionauφ (x)danslapropri´et´e.Onn'apas b a f(φ(x))dx=

φ(b)

φ(a)

f(x)dx.

Autresexemples:

-Oncalcule 1 0 e x e 2x +1 dx.Onfaitlechangementdevariablesu=e x (doncdu=e x dx).O naalors: 1 0 e x e 2x +1 dx= e 1 du u 2 +1 =[ar ctan(u)] e 1 =ar ctan(e)- 4 pressionplussimple.Maisonp euta ussil'utiliserda nsl'autresens : onca lcule 1 0 1-t 2 dt.Pourcela,onfaitlechangementdevariable u=ar csin(t)desortequet=sin( u).On adt=cos(u)duetuvariede 0`a 2 .Donc: 1 0 1-t 2 dt= /2 0 1-sin 2 (u)cos(u)du /2 0 cos 2 (u)ducar 1-sinquotesdbs_dbs10.pdfusesText_16