[PDF] Algèbre linéaire 3eme Année Bac +3 Mathématiques
[PDF] algèbre linéaire cours exercices corrigés pdf PDF Cours,Exercices ,Examens
[PDF] algèbre linéaire cours pdf PDF Cours,Exercices ,Examens
[PDF] algèbre linéaire espace vectoriel PDF Cours,Exercices ,Examens
[PDF] Algèbre linéaire et espace vectoriel Bac +1 Mathématiques
[PDF] algèbre linéaire exercices PDF Cours,Exercices ,Examens
[PDF] algebre lineaire exercices corrigés pdf PDF Cours,Exercices ,Examens
[PDF] algèbre linéaire matrice PDF Cours,Exercices ,Examens
[PDF] algèbre linéaire pdf PDF Cours,Exercices ,Examens
[PDF] algèbre linéaire pour les nuls PDF Cours,Exercices ,Examens
[PDF] algèbre linéaire pour les nuls pdf PDF Cours,Exercices ,Examens
[PDF] Algèbre linéaire Sous-espace Bac +3 Mathématiques
[PDF] Algebre lineaire: Polynomes de degré < 4 + Calcul vectoriel Bac Mathématiques
[PDF] algebre mathématique PDF Cours,Exercices ,Examens
[PDF] algebre pdf PDF Cours,Exercices ,Examens
GROUPES
Exercices corrig´es de
Algebra
1,
Hungerford, Thomas W.
Adem
¨Ozt¨urk et2Fabien Trihan
8 2005
1 Reprint of the 1974 original. Graduate Texts in Mathematics, 73. Springer-
Verlag, New York-Berlin, 1980.
2ozturk@umh.ac.be, trihan@umh.ac.be.
Universit´e de Mons-Hainaut, Institut de Math´ematique B-7000 Mons, Belgique.
2Informations
L"exercice 2 de la section 8 du chapitre I sera mentionn´e avec la notation "exercice 2" tout au long de la section 8, et avec la notation "exercice
8.2" dans les autres sections du chapitre I.
La notation "exercice II 3.2" sera utilis´ee pour l"exercice 2 de la section
3 du chapitre II.
Le Lemme (ou Corollaire, Th´eor`eme, Proposition) 2 de la section 3 du chapitre I sera mentionn´e avec la notation "Lemme 3.2" danstoutes les sections du chapitre I. La notation "Lemme II 3.2" sera utilis´ee pour le Lemme 2 de lasection
3 du chapitre II.
Notations
Soitn,m?N.
n|msignifie quendivisem.
Z/nrepr´esente le groupe quotient deZpar le sous-groupe engendr´e par n. Snest le groupe des permutations sur{1,...,n}. (n,m) est le plus grand commun diviseur denetm. [n,m] est le plus petit commun multiple denetm. SoientGun groupe,H,Kdeux sous-groupes deG,Xun sous-ensemble deG etg1,...,gn?G. eGrepr´esente l"´el´ement neutre du groupeG.
H< Gindique queHest un sous-groupe deG.
H?Gindique queHest un sous-groupe normal deG.
[G:H] est l"indice deHdansG.
?X?est le sous-groupe deGengendr´e par les ´el´ements deX. 3 ?{g1,...,gn}?est le sous-groupe deGengendr´e par les ´el´ementsg1,..., g n. Par abus de notation, nous le noterons?g1,...,gn?. |G|est l"ordre du groupeGet repr´esente le cardinal deG. |g1|est l"ordre deg, c"est le plus petit entier positif tel queg|g1| 1= 1. 4
Chapter 1Groupes8. Sommes directes et produits directsExercice 5.Supposons que (|G|,|H|) = 1 et Soientgethrespectivement des
g´en´erateurs deGet deH. On a que (g,h)|g||h|=?(g|g|)|h|,(h|h|)|g|?= (eG,eH).
Donc,|(g,h)|divise|g||h|. D"autre part,
(eG,eH) = (g,h)|g||(g,h)|= (eG,h|g||(g,h)|). Donc|h|divise|(g,h)|puisque (|g|,|h|) = 1. De mˆeme,|g|divise|(g,h)|et donc|g||h|divise|(g,h)|. Enfin, on obtient que|G||H|=|g||h|=|(g,h)|, donc (g,h) est un ´el´ement d"ordre|G||H|etG×Hest cyclique.
Si (|G|,|H|)?= 1, alors, pour tout (g,h)?G×H,
(g,h)|G||H| (|G|,|H|)= (eG,eH). Par cons´equent,G×Hne peut ˆetre cyclique. Exercice 1.Puisque|S3|= 6,S3ne peut ˆetre que le produit direct interne de deux groupes d"ordre 2 et 3 respectivement. Supposons alorsqueS3=H×K o`uHetKsont des sous-groupes d"ordre 2 et 3 respectivement. Ces sous- groupes sont donc cycliques et par cons´equent, en vertu de l"exercice pr´ec´edent, S
3est cyclique, ce qui est absurde.
5
6CHAPTER 1. GROUPES
PourZ/pn, le th´eor`eme de Lagrange nous dit que les sous-groupes propres sont direct fini de groupes dont les ordres sont des puissances nonnulles depn"est pas cyclique. CommeZ/pnest cyclique, il ne peut ˆetre le produit direct de ses sous-groupes propres. Enfin, les sous-groupes propres deZsont de la formenZavecn≥2. Comme nZ×mZn"est pas cyclique,Z, qui lui est cyclique, ne peut ˆetre le produit direct d"une famille de ses sous-groupes propres. Exercice 2.D"apr`es l"exercice 5., on sait queZ/6×Z/5 etZ/3×Z/10 sont cycliques d"ordre 30. D`es lors, on a
Z/6×Z/5≂=Z/30≂=Z/3×Z/10.
Exercice 3.Supposons queG=H?Ket notonsσcet isomorphisme. Soient H:H?K→H: (h,k)?→h, πK:H?K→K: (h,k)?→k, H:H→H?K:h→(h,0), ιK:K→H?K:k→(0,k). On montre ais´ement qu"il s"agit d"homomorphismes de groupes et queπ1= Hσ,π2=πKσ,ι1=σιHetι2=σιKsont les homomorphismes recherch´es. Montrons la r´eciproque. Soith?H. Siι1(h) = 0, alorsh=π1ι1(h) = 0. On en d´eduit queι1est injectif. De la mˆeme mani`ere, on montre queι2est aussi injectif. De l`a, H ≂=ι1(H)?GetK≂=ι2(K)?G. Six?G, dex=ι1π1(x)+ι2π2(x), on d´eduit quex? ?ι1(H)?ι2(K)?puisque
1(x)?Hetπ2(x)?K. Soitx=ι1(h) =ι2(k)?ι1(H)∩ι2(K) avech?H
etk?K. Alors, deπ1ι2= 0 etπ2ι1= 0, on d´eduit que x=ι1π1(x) +ι2π2(x) =ι1π1(ι2(k)) +ι2π2(ι1(h)) =e et donc,ι1(H)∩ι2(K) =?e?. Par cons´equent,
G=ι1(H)?ι2(K)≂=H?K.
d"apr`es le Th´eor`eme 8.10.
8. Sommes directes et produits directs7
Exercice 6.SoitA={a1,...,an} ?Gun ensemble de g´en´erateurs deGtel que aucun sous-ensemble propre deAn"engendreG. Notons que ?ai?≂=Z/p puisqueaiest d"ordrep(Th´eor`eme I 3.2). D"autre part, si 0?=kai? ?ai? ∩ n j?=i?aj??, alorskai=?nj?=iαjajo`uk,αi? {1,...,p-1}. Mais, 0?=kai? ?ai?qui est un groupe d"ordrep, par cons´equent,|kai|=pet donc,?ai? ? n j?=i?aj??.On a alors G=??nj=1?aj??=∩??nj?=i?aj??=?{a1,...,an} \ {ai}?, ce qui contredit la minimalit´e de{a1,...,an}. D`es lors, G ≂=?a1? × ··· × ?an?≂=Z/p? ··· ?Z/p. Exercice 7.Supposons queN∩H=N∩K={e}et soient (n1,n2)?Net (h,k)?G. Le Th´eor`eme 5.3 (iv)1montre que (n1,n2)(h,k) = (n1h,n2k) = (hn1,kn2) = (h,k)(n1,n2).
Par cons´equentNest dans le centre deG.
SoientG=S3×Z/2,H=S3×{0}etK=N={id}×Z/2. Le lecteur v´erifie queG=H×KetC(G) =N. PuisqueS3n"est pas commutatif,Gne l"est pas. De plus,N?C(G) etN∩K?=?{(id,0)}?. Exercice 9.Consid´erons le morphisme suivantσ:K→G/H:k?→kH. PuisqueGest le produit direct interne deHetK, le Th´eor`eme 8.9 montre que tout ´el´ementg?Gs"´ecrit de mani`ere unique comme un produithkavec h?Hetk?K. D"autre part, le Th´eor`eme 5.3 (iv) implique quehk=khet donc,gH=hkH=kH=σ(k),σest donc surjective. Elle est aussi injective puisqueH∩K=?e?par hypoth`ese. Exercice 12.(a) Par hypoth`ese, il existeN?GetF?Ktels queK=H×F etG=K×N. Le Th´eor`eme 8.9 montre queK=HFetG=KN. Soient h?Hetg=kn?Gaveck?Ketn?N. On a (kn)-1hkn=n-1k-1hkn=n-1nk-1hk=k-1hk
1Th´eor`eme 5.3 (iv): siK,N?GetK∩N=?e?alorskn=nkpour toutk?Ketn?N.
8CHAPTER 1. GROUPES
cark-1hk?Ket les ´el´ements deKetNcommutent entre eux. Puisque
H?K,k-1hk?Het donc,H?G.
Remarquons que cet exercice montre queG=H×F×N. (b) Par hypoth`ese, il existeK?Gtel queG=H×K. Siσ:H→Gest un morphisme alors ˜σ:G→G: (h,k)?→σ(h) en est un. Supposons queσest injectif et montrons queσne s ´etend pas, en g´en´eral, en un automorphisme deG. Notons d"abord que siσs"´etend en un automorphisme ˜σdeGalors ˜σ(H) est un facteur direct deG,G= ˜σ(H)טσ(K). En effet, si g?˜σ(H)∩˜σ(K), il existeh?Hetk?Ktels que ˜σ(h) = ˜σ(k). Comme ˜σ est injectif,h=ket donc,h=e=kpuisqueH∩K=?e?.
Soit le morphisme de groupe suivant:
σ:Z/2× ?
0? →Z/2×Z/4 : (1,0)?→(0,2).
L"image de (
0,1) par un automorphisme ˜σdeZ/2×Z/4 ne peut ˆetre qu"un
´el"ement d"ordre 4 dansZ/2×Z/4, c"est-`a-dire (
0,1),(0,3),(1,1) ou (1,3).
Dans tous les cas, on montre que ˜σ(Z/2× ?
0?)∩˜σ(?0? ×Z/4)?=?(0,0)?et
donc,σn"est pas extensible en un automorphisme deZ/2×Z/4.
Exercice 13.Consid´erons l"homomorphisme
i?IG i→? k?I\JG k:{ai} ?→ {ck} avecck=akpourk?I\J. Clairement,?est un´epimorphisme de groupes. On v´erifie ais´ement queα(? j?JGj) = ker?. Le premier th´eor`eme d"isomorphisme nous permet de conclure.
Exercice 14.
(a) PosonsG1=G2=Z,H1= 2ZetH2= 3Z. On aG1≂=G2,H1≂=H2 mais G
1/H1=Z/2? Z/3 =G2/H2.
(b) Consid´eronsK1=?
2?le sous-groupe deZ/6 etK2=?2?le sous-groupe
deZ/4. Soient G
1=G2=Z/6×Z/4, H1=K1×Z/4 etH2=Z/6×K2.
Groupes libres, produits libres, et g´en´erateurs et relations9 On sait en outre queK1?Z/6 etK2?Z/4 puisqueZ/6 etZ/4 sont commutatifs. On sait alors que G
1/H1≂=(Z/6)/K1×(Z/4)/(Z/4)≂=Z/2× ?
0?≂=Z/2
et G
0? ×Z/2≂=Z/2
bien queH1?H2. (c) SoientH1=?
2?sous-groupe deG1=Z/4 etH2=?(1,0)?sous-groupe
deG2=Z/2×Z/2. On a clairementH1≂=Z/2≂=H2etG1/H1≂=Z/2≂= G
2/H2, alors queG1?G2.
9. Groupes et produits libres, g´en´erateurs et
relations Exercice 1.Soite?=x=xλ11···xλmm, un mot r´eduit de F(X) o`uxi?Xet i? {-1,+1}. Sixn= 1 alors, pour touti? {0,...,m-1},xλm-i m-i= (xλi+1 i+1)-1.
Simest pair,xλm/2
m/2= (xλm/2+1 m/2+1)-1, ce qui contredit le fait quexest r´eduit. Si mest impair alorsxλ(m+1)/2 (m+1)/2= (xλ(m+1)/2 (m+1)/2)-1et donc,xne serait pas r´eduit. Exercice 2.L"exercice 1 montre queaest d"ordre infini et donc,F(a) est un groupe infini et cyclique puisque les ´el´ements r´eduits sont de la formeanavec n?Z. L"applicationσ:F(a)→Z:an?→nest l"isomorphisme souhait´e.
Exercice 3.Pour tout 0?=x?F(X) etyn?N,
xy nx-1=xyx-1xyx-1···xyx-1= (xyx-1)n?N. Exercice 4.Remarquons que tout mot r´eduit deF(X) peut s"´ecrire de mani`ere unique sous la formex1y1x2···ynxn+1avecxi?F(X\Y),yi?F(Y) et ´eventuellemntx1=eou/etxn+1=e. Consid´erons l"application σ:F(X)→F(X\Y) :x1y1x2···ynxn+1?→x1x2···xn+1. Montrer queσest un ´epimorphisme. Le premier Th´eor`eme d"Isomorphisme montre alors que
F(X)/kerσ≂=F(X\Y).
10CHAPTER 1. GROUPES
Il suffit donc de montrer que kerσ=H. Soitz=x1y1x2···ynxn+1?kerσet montrons par induction
2surnquez?H. Le r´esultat est vrai lorsquen= 1.
Traitons le cas g´en´eral. Notonsxi=xi1···xi?iavecxij?X\Y. Comme x
1x2···xn+1=e, il existek? {1,...,n}tel quexk+1= (xk(?k-?k+1)···xk?k)-1
Donc,y?
k=xk(?k-?k+1)···xk?k+1ykxk+1?H. Alors, en notantxk=x?kxk(?k-?k+1)
···xk?k+1, nous obtenons
x kyk+1xk+2···ynxn+1 qui est dansHpar hypoth`ese d"induction. Nous venons de montrer que kerσ? H. D"autre part, commeY?kerσet kerσ?F(X),H?kerσcarHest le plus petit sous-groupe normal deF(X) contenantY. Par cons´equent,H= kerσ et donc,
F(X)/H≂=F(X\Y).
Exercice 5.Les ´el´ements deG=?a,b|a8=a4b2=ab-1ab=e?sont des produits finis de la formeai1bj1···ainbino`uik,jk?Z. Des relations a
8=a4b2=ab-1ab=e, on d´eduit queb2=a4(doncb4=e),b-1a=
a Par cons´equent, tout ´el´ement deGpeut encore s"´ecrire sous la formeaibjavec Exercice 6.SoitG=?a,b|a2=b3=a-1b-1ab=e?. Onab=baet donc, |ab|=|a||b|= 6 (exercice 8.5). L"ordre deGest donc≥6. D"autre part, un raisonnement similaire fait dans l"exercice pr´ec´edent montre que les ´el´ements deGsont de la formeaibjaveci? {0,1}etj? {0,1,2}. L"ordre deGest
G=?ab?est cyclique.
Autre solution: montrer que l"applicationG→Z/6 :a?→3+6Zetb?→2+6Z est un isomorphisme de groupe (notons queab?→5 + 6Z). Exercice 7.Puisqu"il n"y a aucune relation entreaetb, le groupe n"est ni ab´elien ni fini (ex:abest un ´el´ement d"ordre infini etab?=ba).
2nous montrons que six1x2···xn+1=ealors quelque soientyi?H,x1y1x2···ynxn+1
est dansH Groupes libres, produits libres, et g´en´erateurs et relations11 Exercice 8.Deabab=e, on d´eduit queba=a-1b-1. Commeb-1=b, ba=a-1b. Le Th´eor`eme 6.13 montre alors que?a,b|an=b2=abab=e?est isomorphe `aDn.
Exercice 9.On v´erifie que l"application
?b|bm=e? →Z/m:bi?→i+mZ est un isomorphisme de groupe.
12CHAPTER 1. GROUPES
Chapter 2Structure des groupes1. Groupes ab´eliens libresExercice 2. (a) Soitx? ?X?et supposons quexadmette deux ´ecritures: n
1x1+...+nkxk=m1x?1+...+mlx?l
o`unietmjsont des entiers non nuls et o`ux1,...,xksont distincts de on sait queni= 0, ce qui contredit l"hypoth`ese. Par cons´equent,k=l et pour touti, il existejtel quexi=x?j(i). Alors, de (n1-mj(1))x1+ ...+ (nk-mj(k))xk= 0, on d´eduit que l"´ecriture dexest unique. La r´eciproque est claire en proc´edant par l"absurde. (b) On sait que{1}est une base deZ. Le sous-groupe{2}est clairement lin´eairement ind´ependant, compte 1 ´el´ement, mais n"engendre pasZ. (c){2}ne peut ˆetre compl´et´e en une base deZpuisqu"une base ne compte qu"un ´el´ement. (d) PuisqueZ= 2Z+ 3Z,{2,3}est une partie g´en´eratrice qui ne contient pas de base deZ. 13
14CHAPTER 2. STRUCTURE DES GROUPES
Supposons queGsoit un groupe ab´elien engendr´e parn´el´ements. Le th´eor`eme 1.4 (avec le premier th´eor`eme d"isomorphisme) montre queG est isomorphe `aF/Ho`uFest un groupe ab´elien libre de rangnetH un sous-groupe deF. Du th´eor`eme 1.6, on d´eduit qu"il existe une base H=d1y1Z+...+dmymZ. Posonsdm+1=...=dn= 0. Alors, d"apr`es le corollaire I.8.11, on a G ≂=F/H=? n? i=1y iZ? n? i=1d iyiZ? =n? i=1(yiZ)/(diyiZ) =n? i=1Z/diZ. PuisqueGest libre,F/Hl"est aussi et donc il ne contient pas d"´el´ement d i= 0,Z/diZ≂=Zet sidi= 1,Z/diZ≂=?0?. Donc G ≂=F/H≂=n-m? i=1Z. Exercice 3.NotonsFle groupe ab´elien surX. Commeaiaj=ajaiquelque soiti,j?I, tout ´el´ement deG=?X|aiaja-1 ia-1 j=e?est de la forme a n1i
1···ansi
so`ui1,···,is?Ietn1,···,ns?Z. On montre alors que
σ:G→F:an1i
1···ansi
s?→n1ai1+···+nsais est un isomorphisme de groupe. Exercice 4.SoientFun groupe ab´elien libre qui est libre etXune base deF. Si|X| ≥2, il existe deux ´el´ements distinctsa,bdansX. CommeFest un groupe libreab?=ba. MaisFest ab´elien et donc,ab=ba. Par cons´equent,|X|= 1, disonsX={x}. On aF=?x?=Zxqui est un groupe cyclique isomorphe `aZ(nx?→nest un isomorphisme entreFetZ). SiFest cyclique, alorsF=?x?pour un certainx?F. CommeFest un groupe ab´elien libre,xest d"ordre infini et donc,F=?x?=Zx≂=Zest un groupe libre sur{x}.
Groupes ab´eliens libres15
Exercice 5.Soit{Gi:i?I}une famille de groupes ab´eliens libres. D"apr`es le th´eor`eme 1.1, pour touti?I, il existe un ensemble non videXiet une fonction?i:Xi→Gitel que siHest un groupe ab´elien et sifi:Xi→H est une fonction, il existe un homomorphisme de groupes?fi:Gi→Htel que?fi?i=fi.
Soit la fonction
i?IX i→? i?IG i:x?→ {xi}i?I d´efinie parι|Xi=ιi?io`uιi:Gi→? i?IGiest l"injection habituelle (th´eor`eme
I.8.4).
Montrons que?
i?IGiest un groupe ab´elien libre surX=? i?IXi. Soient Hun groupe ab´elien etf:X→Hune fonction. Notons quefi=f|Xiest une fonction deXidansH. CommeGiest ab´elien libre pour touti?I, il existe un homomorphisme de groupes?fi:Gi→Htel que?fi?i=fi. Alors, le th´eor`eme I.8.5 montre qu"il existe un homomorphisme f:? i?IG i→H tel que pour touti?I,?fιi=?fi. Alors, comme fι|Xi=?fιi?i=?fi?i=fi=f|Xi quel que soiti?I, on a?fι=fet, d"apr`es le th´eor`eme 1.1,? i?IGiest un groupe ab´elien libre.
Exercice 6.D"apr`es le Th´eor`eme I 8.1,
x0:F=? x?XZx→Zx0 defini par x?Xnxx?→nx0x0est1un ´epimorphisme de groupe. On v´erifie que kerπx0=Get donc, on aF/G≂=Zx0.
SiX?est un sous ensemble deXalorsF/G≂=?
x?X\X?Zx, la preuve est laiss´ee au lecteur..
1rappelons quenx= 0 sauf pour un nombre fini dex?Xcar?
x?XZxest un produit direct faible.
16CHAPTER 2. STRUCTURE DES GROUPES
Exercice 7.SoientF=?
x?XZxun groupe ab´elien libre de baseX. Soit G=?? x?X\{x0}Zx? ?Znx0 le sous-groupe deFde base (X\ {x0})? {nx0}pour un certainx0?X. Le corollaire I.8.11 montre alors que
F/G=??
x?XZx? x?X\{x0}Zx? ?Znx0)) x?X\{x0}Zx/Zx? ?Zx0/Znx0 Z/n.
Exercice 8.On observe que
a n=?2n0 0 1? etbn=?1n 0 1? Les ´el´ements deGsont de la formeai1bj1...aikbjkavec ´eventuellementi1= 0 oujk= 0. On montre que
G=??2nm
2k 0 1? , n,m?Zetk?N?
Les ´el´ements deHsont donc de la forme
?1m 2n 0 1? avecm?Zetn?N. Supposons queHsoit engendr´e par ?1a1
2n10 1?
...?1ak2nk0 1? alors
H=??1m1
2n1+···+mk2nk0 1?
, m
1,...,mk?Z?
Groupes ab´eliens libres17
Soit?= supi=1,...,kni+ 1. Il existe alorsm1,...,mk?Ztels que ?11 2? 0 1? =?1m12n1+···+mk2nk0 1? et donc 1
2?=12?-1?
m121-?+n1+···mk21-?+nk?
Or, on a
m 1
21-?+n1+···mk21-?+nk?Z
2?Z, ce qui est absurde.
Exercice 9.SoitG=?g1,...,gn?un groupe ab´elien finiment engendr´e dans lequel tout ´el´ement non nul est d"ordre infini. Le Th´eor`eme 1.4 montre qu"il existe un groupe libreFde rangnet un morphisme surjectiff:F→G. On aF/kerf≂=G. Montrons queF/kerfest un groupe ab´elien libre. Puisque kerf < F, d"apr`es le Th´eor`eme 1.6, il existe une base{x1,...,xn}deFet d r+1=···=dn= 0 sir < n. En utilisant le Corollaire I 8.11, on d´eduit G ≂=F/kerf≂=n? i=1Zxi/n? i=1Zdixi≂=n? i=1Zxi/Zdixi≂=n? i=1Z/di. CommeGne poss`ede pas d"´el´ements d"ordre fini,di= 0 ou 1 pour touti. Or, d
1,...,drsont positifs et donc,G≂=?n-r
i=1Zqui est un groupe ab´elien libre.
Exercice 10.(a) Supposons queQ=?a1
b1,...,anbn?o`ua1,...,an?Zet b
1,...,bn?Z\ {0}, et soit1
b1···bn+1?Q. On a alors1b1···bn+1=m1a1b1+
···+mnan
bn=mb1···bnavecm,m1,...,mn?Z. Donc,b1···bn+1 diviseb1···bn, ce qui est impossible. (b) Supposons queQest libre. Le Th´eor`eme 1.1 implique queQa une base. Soient alors deux ´el´ementsa1/b1,a2/b2de la base (a1,a2,b1,b2?Z\ {0}. Commea2b1a1 b1-a1b2a2b2= 0, on a quea1b1,a2b2ne sont pas lin´eairement ind´ependants puisquea2b1?= 0. Nous obtenons donc une contradiction. (c) exercice.
18CHAPTER 2. STRUCTURE DES GROUPES
2. Groupes ab´eliens libres finiment engendr´es
Exercice 1.CommeGest fini, le th´eor`eme 2.2 montre que G ≂=Z/pn11?...?Z/pnrr avecp1,...,prdes entiers premiers. Si lesp1,...,prsont premiers entre eux, alorsGest cyclique. Il doit donc existeri < j? {1,...,r}tels quepi=pj.
Par cons´equent,Gcontient le sous-groupe
?0? ?...? ?0? ?Z/pnii? ?0? ?...?Z/pnj i? ?0? ?...? ?0? qui est isomorphe `aZ/pnii?Z/pnj i. Il suffit donc de montrer queZ/pnii?Z/pnj icontient un sous-groupe isomorphe `aZ/pi?Z/pi.
Commepni-1
quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25
[PDF] Groupes Examen final + corrigé