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10 déc 2016 · Une force est une action mécanique exercée par un objet A (ou un partie UTILE pour un objet volant : la portance (Rz) perpendiculaire à Pour une aile d' avion, la position du centre de poussée (CP) dépend du profil et de son Pour faire monter l'avion il faut basculer le nez vers le ciel et pour le

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6 1 - Position relative du centre de poussée et du foyer contient de matière, plus il est lourd Avant tout vol, le pilote doit faire un devis de masse afin de connaître le poids de D'une manière générale en aérodynamique les actions de l'air se La deuxième expérience montre l'effet d'aspiration lorsque l'air est mis en

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le centre de poussée (point d'application de la résultante aérodynamique) sont confondus, et se trouvent Pour un avion de masse donnée, volant en palier à une vitesse V, il n'existe qu'une seule Si l'avion monte en suivant une Le passage d'une trajectoire rectiligne à une trajectoire circulaire ne peut se faire que si

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Pour étudier le vol d'un avion dans l'air, il est équivalent de considérer l'avion immobile Le point où s'applique la force aérodynamique est appelé centre de poussée (CP) Avec un volet hypersustentateur de bord de fuite sorti, un profil d'aile voit Cette action crée alors des forces aérodynamiques permettant de faire

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trajectoire et son sens le dirige vers le centre de la circonférence et sa L'étude de tels mouvements peut se faire suivant un axe vertical orienté vers le haut ou vers le bas Portée : 6 01 15 32 92 07 Vitesse verticale à l'arrivée au sol V m d vol m d Une force est une grandeur vectorielle qui représente l'action qu'un

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La polaire Cz par rapport à Cx montre 5 points caractéristiques La portance d' un avion en vol à la vitesse de 360 km/h est de 24 000 Newtons et sa

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dont une composante Fy, appliquée au centre de poussée du fuselage L est impliquée Influence de l'incidence : Une forte incidence a une action déstabilisante Influence du monte et nous avions : D G X X F F > induit tendance à faire sortir l'avion du virage) Volet de compensation à braquage automatique (tab

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monter d'une hauteur de 1 mètre, atterrir, faire demi-tour, etc ) ; • ils doivent être capables de voler dans di érents environnements : à l'intérieur ou à le torseur d 'action mécanique globale de l'air sur l'hélice au centre de Le drone volant sensiblement à l'horizontale, justi er qu'il est possible de remonter à une mesure de

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17 nov 2014 · Faire varier la vitesse et maintenir la trajectoire constante (en palier), Les actions servent à préparer la phase de vol suivante Analogie entre le volant de l'avion et le volant d'une automobile Paramètre subi : un taux de monté Parce que ce dernier est situé en arrière du centre de gravité, il devrait

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CX3612

Banque commune École Polytechnique - ENS de Cachan PSI

Session 2013

Épreuve de

Modélisation

Durée: 5 heures

Aucun document n"est autorisé

Aucune calculatrice n"est autorisée

Si, au cours de l"épreuve, un candidat repère ce qui lu i semble être une erreur d"énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu"il est amené à prendre. qaamq maq am

Figure3 ????? ? ??????? ??? ?????-???????

??? ?? g??? 4 Obsθamq qmq θq sq

Obsθamq

qqθqOqsθ m qq θm qq m qbsqqmqsq m qθqqsm sq ss q s qm q

θqq

s b θs sq sqq !

?? ??????? hy????? ?ù ???? ??? ??? ??????? ??? ?? ?y??è?? ????, ?? ?? ??????? ?????? ?ù ???? ??????? ???

L? ?? ?? ??? ??? ??? ?? 5 ?????? :

2

Vol stationnaire

Drone maintenu à l'horizontal, à al-

titude et cap constantsAltitude de référence

Erreur statique

Dépassement

Temps de réponse à ?%Aucune

< ?0% < 0,? sCap de référence

Erreur statique

Dépassement

Temps de réponse à ?%Aucune

< ? sAngles de roulis et de tangage de ré- férence< ?0Position géographique de référence Non spéciée dans cette étude

FS? : permettre au pilote

d'interagir avec le quadrirotor Envoi de commandes de référenceTransmission au drone d'un cap, d'une altitude, d'une assiette de ré- férenceRéception d'informations données de vol image et vidéo de l'environnementFS? : résisterà l'environnement Perturbations magnétiques PossiblesFS? : être alimenté enénergie électrique Durée de vol ?0 minutesTemps de charge de la batterie ?0 minutes ????? Dénition des fonctions de service et cahier des charges ???? ?????té d'?n vo? t?t?onn????

2 1 1Modèle des disques sustentateurs

???? ?????? à ?? ??????Dà ??? ??? ?????? ?? ???? ?? ??? ????? ????? ?? ?? ?? ???? à ?? ??????~v1=V1~z

C???? ??????? ??? ?? g??? 5, ?? ??????? ?? ?????? ?? ?????? ??? ?????p, ????? ?? ??????? ??? ?????p+p

?????? ?? ????? à ??h????? Obsθamq̂θObsθamq̂

Obsθamq̂

??P?? ?pp?? ?t?on d? t éo?è ? d'E???? à ?? v??n? d? ??d?, ét????? ?n? ????t?on ?nt??F,Q,V0?tV2.

J? t??? ?'?????? d? ?? v??n? d? ??d? (??ppo?tS0 ??S2) po?? o?t?n?? ?n? o? ?Fpo ?t?v?.

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P air,Q,V2?tV0. ??En ?xp?? ?nt ?n? ????t?on ?nt??Pair,F?tV1?t ?n ?t??? ?nt ?? d??x éq??t?on p?é éd?nt? , dét?? ?n??V1?n on t?on d?V2?tV0. ??On po ?Vf=V1V0( ?tt? v?t? ? ? t ?pp??é? v?t? ? d? ??o?d?). En déd???? ?'?xp?? ?on d?F ?n on t?on d?Vf,V0,, ?tS1. ??Mont??? d?n ?? ? d'?n vo? t?t?onn???? q??Pair=KF32 , où ?'on p?é ? ??? ?'?xp?? ?on d?K?n on t?on d??tS1. i=didt ?? ????? ?? ?? ?????? ??g?????? ?? ??h????? ?? ?? ??? ?? ??? ? ?? ????? 4 !dP=sgn()sgn(V)Cz(-)V2d-!z !dT=sgn(V)Cy(-)V2d-!yi

!V=V!yi??? ?? ?????? ?????? ?? ????C?????? ?? ?????? ?? ?? ??????? ?????? ?? ?? ??? à ????? ???

?? ????C?? ?? ??? ?? ?? ??? àGi; ?g?(:)??? ?? ??????? ??g??, ??????à????? ??? ?g?() = 1??>0?? ?g?() =1?? <0;

O? ????fTair!heliceg=(

!F!M) G zG iCθ yiθ xiθ x iθ yθ zθ xiθ yimqθaqaα mq sθb sθbbsθθa absθ a

θdP

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iθ V??????? Illustration d'une hélice et zoom sur une section de pale ??Mont??? q??!F=F~z= ?n() ?n(V)a!2i!z?t!M=M~z= ?n(V)b!2i!z, où ?'on donn??? ??

?xp?? ?on d? o? ??nt po ?t? d? p?opo?t?onn???téa?tb, ? ?n o? ?? o? ? d'?n? ?nté?????

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??Ind?q???, po?? ?? ? d? ?' é?? ? d? ?? ???? 6, q??? ? t ?? p? on ?dé?é (à d?o?t? o? à ??? ?)

?t ?nd?q???, ?n ? t??nt ? ?n t? ?nt, ?? ?n d? ?ot?t?on ( o????? o? ?nt? o?????) p?? ?tt?nt d'o?t?n?? ?? po?t?n ? ?t t??îné? d? ?né? ?? ?? ???? 6.

Q9 Dans le cas d'une hélice de pas inversé par rapport à l'hélice précédente, indiquer ce qui doit être

modié pour pour obtenir une poussée verticale ascendante.

Q10 Sachant que les ? hélices du drone (de pas à droite ou à gauche) contribuent à le maintenir envol stationnaire, donner l'expression du torseur d'action mécanique global de l'air sur une hélice

en fonction dea,b,!iet"i, où"i= 1(resp.1) si l'hélice tourne dans le sens horaire (resp. antihoraire).

Q11 Déterminer l'expression dePairpuissance de l'air sur une hélice en vol stationnaire en fonction de

Fet des coecientsaetbpuis comparer ce modèle avec celui des disques sustentateurs.

L? ??tt???? ?t??? é? ? t ?? L?t ?? Po?y è?? (L?Po). E??? po èd? ?n? ?p? ?té ? ?q??Cmass?t ?n?

? ?m0. L? p??t?? p?é éd?nt? ? p?? ? d? ont??? q?? ?? p?? ?n ? d?? à ?'? t?on d? ?'??? ?? ?n? é?? ? ?n

?ot?t?on 'é ??t o? ?? o? ?Pair=KF32 =FK 0 32
oùF? t ?? po? é? ?x?? é? p?? ?'??? ?? ?' é?? ? ?tK0

?n? on t?nt? q?? p??t êt?? dét?? ?né? ?xpé?? ?nt??? ?nt. L? v????? d?K0, t?n?nt o pt? d? p??t? , ? t

donné? ?n ?nn?x?.

L? ? ? d? d?on? ?nté????? ?nt éq??pé ( ot??? , é?? ? , ??t? é?? t?on?q??, ?pt??? , ??tt????, ?t ) ? t

noté?M. L'? é?é??t?on d? ?? p? ?nt??? ? t noté?g.

Q12 En supposant que le drone est maintenu en vol stationnaire pendant toute la durée du vol et que

toute la puissance fournie par la batterie est utilisée pour générer la portance, déterminer la durée

du vol. Conclure quant au respect ou non du cahier des charges.

L'o? ? t? d? ?tt? p??t?? ? t d? odé?? ?? ?? q??d???oto? ?n ?xp?o?t?nt ?? éq??t?on d? dyn? ?q?? d? d?on?

?t ?? éq??t?on é?? t?o- é ?n?q?? d? 4 ot??? . C? odè?? ? t ?nd? p?n ???? po?? on ?vo?? ?? ???o??t ?

d? p??ot??? d? ??t n?v??? q?? ??ont dév??oppé d?n ?? p??t?? ??v?nt? .

n é ? ? p??é d? q??d???oto? ? t donné ?? ?? ???? 7. L? d?é??nt p??? èt?? né ? ???? po?? ??

odé?? ?t?on é ?n?q?? d? d?on? ont dé ??t ?-?p?è .O b sb b a b mb̂ q̂

̂qθ

̂q ̂q

̂q̂

q̂ O

F?????? Schéma simplié du quadrirotor

On associe :

le repèreR0= (O0;!x0;!y0;!z0)au sol notéS0supposé être un référentiel galiléen; le repèreR= (O;!x ;!y ;!z)au corps du drone notéS, de centre d'inertieGs. Les axes!xet!ysont dirigés selon les bras du drone orthogonaux, l'axe!xétant dirigé vers l'avant du drone;

le repèreRi= (Gi;!xi;!yi;!z)à chaque hélice notéeSi, de centre d'inertieGiaveci2 f1;2;3;4g.Oest le

centre géométrique des centres d'inertie des ? hélices. Ainsi!OG1=!OG3=l!xet!OG2=!OG4=l!y. On pose alors!GsO=h!z. On noteGle centre de gravité de l'ensembleE=n SSi=4 i =1Sio L? ???? ??? ?? ?????S??? ??????? ?? ???S0??? ????? ??? ?? ??????? ???? ?????? \bVS=S0=(

S=S0!VG;S=S0)

G

S=S0=!

=p!x+q!y+r!z??!VG;S=S0=!V=u!x+v!y+w!z. ?????? ?????? ??? ?? ??????? ????? ???x?(Gi;!z)???? ?? ????? ?? ?????S. O? ????i= (!x ;!xi) = (!y ;!yi)????i2 f1;2;3;4g. O? ???? ?????! Si?S="i!i!zla vitesse angulaire de l'héliceSipar fonction du sens de rotation de chaque hélice (compte tenu du type de pas de l'hélice).

La masse de l'ensemble du quadrirotorE=n

SSi=4 i =1Sio est notéeM. La masse d'une héliceSiestmi=m(supposée identique pour les ? hélices).

La masse du corpsSest notéems.

On introduit les formes générales des matrices d'inertie suivantes : matrice d'inertie du corpsSau?????? ?? g?? ??? g?? ??Gdans le repèreR: I

G(S) =0

B B@ADE D BF EF C1 C CA Rmatrice d'inertie d'une héliceSiau pointGidans le repèreRi,i2 f1;2;3;4g: I

Gi(Si) =0

B B@A i0 0 0Bi0

0 0Ci1

C CA R i

Le drone est soumis à :

l'action de la pesanteur dont l'accélération est notée!g=g!z0,

l'action de l'air sur chaque héliceSien mouvement, dont la forme a été démontrée précédemment :

f T air!Sig=( !Fi=a!i2!z!Mi(Gi) =b"i!i2!z) G i, avec"i=1selon le pas de l'hélice considérée,aetbsont des constantes positives;

les actions électromagnétiques intérieures aux moteurs produisant des couples sur chaque rotor lié à une

hélice!i="ii!z, où le coupleiest toujours ????? .

Q13 Dét?? ?n?? ?? po ?t?on d? ?nt?? d? ???v?té ??o???!OG. S? p???? à p??t?? d? ?? ???? 7, ?n ? t??nt

? ?n t? ?nt, ?? o? ? d? ?? ?t?? ? d'?n??t?? d? o??d?S. C?tt? ?t?? ? ? p??é? ??? ?t??? é? d?n ??

??t? d? ? ?t.

Q14 I o??? ?'?n ? ??? d? d?on?E=n

SSi=4 i =1Sio ?t ?n déd???? ?? d??x éq??t?on v? to?????? ??? té?? ?nt

on o?v? ?nt. N? p? ???? ?? ?? ?? d? é?é ?nt d? ?nét?q?? d?n ?tt? q?? t?on, ?? ???? ?n?q?? ?nt

?? t?? ? p?ov?n?nt d? ? t?on é ?n?q?? . On not???~(G;E=S0)?? o ?nt dyn? ?q?? ?? po?nt d?Ep?? ??ppo?t àS0?t!RD(E=S0)?? ?é ??t?nt? dyn? ?q?? d?Ep?? ??ppo?t àS0.

Q15 S? p???? ? éq??t?on d?n ?? ? d'?n vo? t?t?onn???? (?? ??pè??R? t ??o? on ond? ?v? R0).

Dét?? ?n??, ?n ?? ? t??nt, ?? ??n? d? ?q??"i(?t don ?? typ? d? p? - à ??? ? o? à d?o?t? - d?

?q?? é?? ?) ? ?nt q??"1= 1?t"3= 1(p? à d?o?t? po?? ?? é?? ? S1?tS3). Mont??? ??o? q??!i=!po??i2 f1;2;3;4goù ?'on p?é ? ??? ?'?xp?? ?on d?!?n on t?on d?M,g?ta. ????? ?'?pp?? ?t?on n? é??q??. 7

3 1 2Calcul des éléments cinétiques

???? ?? ??????R. h!(Gi;Si/S0)i, ??? ??? ???????Ti??? ????? àIrp!x+Irq!y+Jr(r+"!i)!z, ?ù ???? ??????? ??? ??? ??????? ?S0???h!(G;E?S0)i=Ip!x+Iq!y+Jr!z+Pi=4 i ??? ???????i. ?????? ????? ??? ?_=q?_'=p??_ =r? u= cos( )_x+ sin( )_y v=sin( )_x+ cos( )_y w= _z i+ei? ??ei??? ?? i? ?????? ?? 8 O

̂θO

θθO

θO ̂O O θO ̂b b s s θO θO Ô âθO θa

OθmO

b Oθ Oθ O O

ÔmÔ

O O Ô Ô

OθmOθ

sF?g???? Paramétrisation de l'orientation du drone dans l'espace

So? - y tè ? ?on??t?d?n?? (notéSSL)

_u=g

I_q= 2al!(f!3f!1)

J r(_e!3_e!1) =e3e12b!(e!3e!1)So? - y tè ? ??té??? (notéSSl) _v=g'

I_p= 2al!(e!2e!4)

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