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Math´ematiques
pour
Informaticiens
ErnstHairer
Universit´edeGen`eveJuin2004
Sectiondemath´ematiques
Casepostale240
CH-1211Gen`eve24
Contents
ITopologiede
?etfonctionscontinues4
IICalculmatriciel17
IVOptimisation48
2
VCalculint´egral64
VI.4.3Lesyst`emesolaire(probl`eme`a
?corps)..................86
VIIS´eriesdeFourier95
Remerciements
?heuresparse- maineet
ChapterI
Topologiede
etfonctionscontinues
Elleestdoncunefonctiondequatrevariables.
I.1Distancesetnormes
Nousconsid´eronsdescouples
??.L'ensemble detouslescouplesest ?(1.1) etl'ensembledetousles ?-uplesest
Les´el´ementsde
colonnesetlesvecteurslignes.
G´eom´etriquement,l'espace
points ??(1.3) o`u ??si?
Pourcalculerladistanceentre
?,nous figureI.1,droite)etnousobtenons
Topologiede
?etfonctionscontinues5
FigureI.1:Distancesdans
?etdans
Dansl'espace
?(1.4) ??.Ladistanceentre ?et??? Th (N1) (N2) (N3) ??????(in´egalit´edutriangle). D l'in´egalit´edeCauchy-Schwarz o`u D
´efinition1.2(norme)Unenormesur
?estuneapplication? ???satisfaisant(N1), (N2)et(N3).L'espace norme???,(1.6) ?normemaximum.(1.7) lesindices de norme???, et
6Topologiede
?etfonctionscontinues Th
´eor`eme1.3Pourtout
?,ona D ??dans ??(c'est-`a-dire????? ??)etlesproduitsmixtes d´efinitionsuivante. D ????et? ????sont´equivalentes s'ilexistedesconstantespositives ??et ??tellesque ??(1.10)
I.2Convergencedesuitesdevecteurs
suitesdevecteurs.Nousconsid´eronsdonc D convergeverslevecteur ?si ??oubien
LafigureI.2montrelasuite
dans ?avec?
Topologiede
?etfonctionscontinues7
Nousobservonsquesi
????est´equivalente`a? ????,alorsona convergenceavec ???????convergenceavec? ??????(2.2)
Eneffet,
?.Puisque ????estarbitraire ?,etnousvoyonsquelaconvergence avec ????impliquecelleavec?
Noussavonsd´ej`a(th´eor`eme1.3)que
????et? ????sont´equivalentes;nousverronsplus Th ????pour? i.e.laconvergencedans D ?pour? exemple,nousdisonsqu'unesuitedesvecteurs ????tel que ?pourtout??? choisie.Commedans
Onditqu'unesuite
??(2.3) que,pour Th
´eor`eme2.3(crit`eredeCauchydans
?)Unesuitedevecteursdans ?estconvergentesiet seulementsielleestunesuitedeCauchy. ?.Sad´emonstration,parcontre, Th
´eor`eme2.4(Bolzano-Weierstrassdans
?)Chaquesuiteborn´eedevecteursdans ?admet unesous-suiteconvergente. D
´emonstration.Soit
?.Lasuitedesespremi`erescomposantes alorsunesous-suiteconvergente,disons
8Topologiede
?etfonctionscontinues pourobtenirune sous-suiteconvergente,disons, gent.Pour ??,nousexaminonslestroisi`emes ?´etapes,ilresteune suitedonttouteslescomposantesconvergent.
Pourdesensembles
?et ?dans ?,nousutilisonslesnotations ????siles´el´ementsde ?appartiennent`a ?(sous-ensemble)???? ?et??? ??(intersection)???? ?ou??? ??(r´eunionouunion)???? ?mais???? ??(diff´erence)?? ??(compl´ementaire)? ????(3.1) appel´edisque(ouboule)derayon ?etdecentre?(voirlafigureI.3).
FigureI.3:Disquesderayon
????pour???????,???????et???????, D
´efinition3.1(voisinage)Soit
?donn´e.Unvoisinagede?estunensemble? ?qui ?,i.e., ?estvoisinagede?????
Ledisque
????ou?
Chaque
norme(voirledessin`acot´e). ?estouverts'ilestunvoisinagedechacun desespoints,i.e. ?ouvert???
Topologiede
?etfonctionscontinues9 D ??estferm´esichaquesuiteconvergente ?asalimitedans ?,i.e. ?ferm´e???? ???et????? ?impliquent???
Exemplesdans.
L'intervalledit"ouvert"
un
Parcontre,lasuite
??????(pour??? d'uncertain
L'ensembledit"ferm´e"
?ni?n'ontunvoisinageenti`erement inclusdans
L'intervalle
limitedelasuiteconvergente
Enfin,l'ensemble
Lemme3.4Soit
??unenormearbitrairede a)L'ensemble ??estouvert. b)L'ensemble ??estferm´e.
FigureI.4:Ensemblesouverts
??(gauche)etferm´es ??(droite) D
´emonstration.a)Pour
?prenons Donc, ?estouvert. b)Consid´eronsunesuite detriangleimplique pour??? ?.Ceciestvraipourtout ????.Parcons´equent,??????? ?et ?estferm´e.
Autresexemples.
Ledemi-plan
tardquel'ensemble ????estouvertetque
L'ensemble
10Topologiede
?etfonctionscontinues (3.2)
Cetensemblen'estpasouvert(parex.
??????n'apasdevoisinagedans ?)maisilestferm´e(voir
FigureI.5:EnsembledeCantor
Th
´eor`eme3.5Onai)
?ferm´e ?ouvert, ii) ?ouvert ??ferm´e. D
´emonstration.i)Supposonsque
??nesoitpasouvert.Ilexistealorsun??? ?(i.e.???? telque,pourtout ????,onait ??.Enprenant ???????,nouspouvonschoisirunesuite ????.Comme ?estferm´e,nousobtenons??? ?,d'o`u unecontradiction. ii)Supposonsque convergeantversun ??,(i.e.?????).Comme?estouvert,nousavons ??pourun certain ????.Parcons´equent,?????? i) ????estouvert, ii) ??ferm´es ??estferm´e. ?),ona iii) ???ouvertpourtout?? iv) ??ferm´epourtout?? ????estferm´e.
Topologiede
?etfonctionscontinues11 D ????,donc??????? pourtout? ??telque ????.Prenons ????;alors ????et ?(ii) et(iii) etduth´eor`eme3.5. ferm´e.Eneffet,soncompl´ementaire ?estferm´e. (droite) nombreinfinid'ensembles. (1.26) dontl'intersection??? ??n'estpasouverte(figureI.7, gauche). (1.27) auneunion ??quin'estpasferm´ee.
12Topologiede
?etfonctionscontinues
I.4Fonctionscontinues
Soit ?unsous-ensemblede ?.Unefonction ?(4.1) envoielevecteur ?surlevecteur? ?.Chaquecom- posantede (4.2)
Exemples
a)Unefonctionquotesdbs_dbs19.pdfusesText_25
[PDF] Diplôme Universitaire de Technologie METIERS DU MULTIMEDIA