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NOTES DE COURS POUR LE COURS
MATHÉMATIQUES DISCRÈTES
MAT1500
ABRAHAM BROER
Références
[R] Kenneth H. Rosen,Mathématiques discrètes, Édition réviséeChenelière McGraw-Hill, 2002.
1.But à long terme : Développer un bon sens critique
Même si vous voulez devenir un actuaire ou un statisticien, il faut bien comprendre comment lesmathématiques fonctionnes. Il ne faut pas penser qu"il est possible de bien utiliser les mathématiques
sans en avoir une comprehension qui est fonctionnelle. Chaque résultat en mathématiques vient avec
une preuve ou au moins une explication pourquoi le résultat soit vrai. Pas seulement leComment compte mais aussi lePourquoi, c.-à-d. la comprehension. I faut aussi comprendre pourquoi on passe du concret à l"abstraction, et comment. Oui, lesexemples soi-mêmes resteront toujours importants; mais aussi la réflection sur ce qui est en commun
dans beaucoup de problèmes. Dans la vraie vie on le fait tout le temps aussi, mais souvent seulement
implicitement. Il faut développer la capacité de observer qu"un genre de solution, naturelle pour
un genre de problèmes, peut s"appliquer aussi à d"autres problèmes qui ne semblent pas du tout
semblables. C"est ça que nous voulons commencer de faire ce trimestre : nous allons moins insister sur le Commentet plus insister sur lePourquoi; on va essayer de développer votre sens critique et votre comprehension de certains abstractions. Dans le cours de MAT1600 on commence à montrer encore une fois comment résoudre un systèmed"équations linéaires, ce qui est très pratique dans beaucoup de situations déjà. Mais après on donne
des abstractions moins et moins évidentes, par exemples les opérateurs linéaires et les vecteurs
propres. En MAT1400 on commence à expliquer, encore une fois, c"est quoi un "dérivé" et un"intégral", et puis calculer des exemples. Mais ici aussi, les preuves et les abstractions seront de plus
en plus importantes.C"est naturel de penser : "Calcul et algèbre linéaire? J"ai vu tout ça déjà au cégep; et l"abstrac-
tion : ça ne m"intéresse pas trop et me semble inutile pour un actuaire, statisticien, ou économe. Je
serai déjà content si je saurai comment calculer quelque chose de pratique. Si le prof me dit que je
le fait correctement, ça me suffit."Certainement, les enseignants ne sont pas d"accord. Il faut développer un bon sens critique, si on
le veut ou pas. Et ça commence parvouloircomprendre au fond les subtilités desPourquoiet desaisir l"abstraction. Idéalement il faut résoudre les exercices soi-même ou sinon avec peu d"aide. EtDate: 11 janvier 2017.
12 ABRAHAM BROER
de développer vite le réflexe que si on fait une erreur (ce qui arrivera souvent et est normal!), d"aller
cherchersoi-mêmel"erreur dans l"argument. Ça prendra possiblement des heures de votre temps, mais c"est normal et cela arrive tout le temps, même aux meilleurs mathématiciens au monde. Une remarque sur ce sujet : selon les normes de l"université, pour bien réussir un cours de 4 crédits, comme MAT1500, il faut dépenser3?4 = 12heures de votre temps et votre concentration en moyenne par semaine sur la matière de ce cours! Un effort cégepien ne suffira plus. Le processus d"apprentissage est lent, ça prend du temps et un effort soutenu. Mais c"est certainque si vous réussissez votre baccalauréat en mathématiques avec une moyenne raisonnable vous
aurez développé déjà très considérablement votre esprit critique. Les diplômés d"un baccalauréat
en mathématiques ont la réputation enviable d"être capable de bien analyser et de résoudre des
problèmes de façon efficace. Comprendreplus ou moinsne suffit plus dans le monde : pas en mathématiques, ni dans le monde de la haute finance, de l"assurance, de la technologie, et cetera. Mais si vous avez un bonsens critique en mathématique, très probablement vous avez aussi un bon sens critique dans d"autres
domaines scientifiques. Malheureusement pas nécessairement dans tous les situations sociales (enquestions d"amour par exemple), car la "logique" utilisée dans une situation sociale est différente. Il
faut travailler sur l"esprit critique sociale aussi : mais les cours de mathématiques ne vont pas aider
grandement. De MAT1400 et MAT1600 vous connaissez déjàplus ou moinsla matière; donc c"est le momentpour vous d"habituer à faire de plus d"attention aux définitions, contre-exemples et preuves et abs-
tractions. Ça va vous aider grandement dans les cours d"analyse mathématique abstraite MAT1000 et MAT2050, qui posent beaucoup de problèmes aux étudiants qui ne sont pas suffisamment (ma- thématiquement) adulte. Exemple1.1.On a une collection de sept objets, dont deux d"une couleur et les cinq autres d"une autre couleur. Question : En combien de façonsdifférentspeut-on en choisir trois? Vous donnez peut-être tout de suite une réponse, en utilisant une formule que vous connaissez!Mais ce sera trop vite répondu. Car il manque d"information, ou de l"information restée implicite.
Qu"est-ce que veut dire "différents". L"ordre du choix importe? Choisir avec remise? Dans lesvrai vie on peut toujours distinguer des objets, mais ce n"est pas ça ce qui importe. Est-ce qu"on
veutdistinguer tous les sept objets? Ou veut-on que tous les objets sont considérés comme distincts.
Ou veut-on que la seule distinction entre ces objets est la couleur. Sans préciser on ne peut pas répondre (correctement ni incorrectement), car la réponse dépend de ces conditions.(1,3,4,7·6·53·2·1,7·6·5,73,...sont tous des réponses correctes, mais dépendant de ce qu"on veut dire
avec "différents". Pouvez vous trouvez des conditions qui correspondent à ces solutions? Et autres
réponses raisonnables?)1.1.Le cours MAT1500, les mathématiques discrètes.Le cours de mathématiques discrètes
n"est pas une version approfondie d"un cours suivi par tout le monde au collège. Ce sera un peude nouveau pour vous. Mais de l"autre côté : la matière n"est pas nouvelle du tout. On a rencontré
déjà les concepts, mais souvent seulement d"une façon implicite.MAT1500 3
Sans doute vous avez déjà rencontré les ensembles, leurs éléments, et leurs sous-ensembles. Puis
les applications (ou fonctions) d"un ensemble dans un autre ensemble. Mais quand-même, nous allons en discuter au début. Pour donner, ou critiquer, des arguments mathématiques il faut avoir un certain idée de quel genre d"arguments est acceptable, et de quel genre d"arguments ne l"est pas. On va expliciter lesrègles de la logique sous-jacentes. Aussi la rédaction d"une preuve d"une proposition mathématique
utilise des règles de la logique. Par exemple, unepreuve par contradiction, souvent utilisé par les
anciens Grecques comme Plato et Euclide, c"est quoi et est-ce que c"est une preuve valide? Il y a une méthode de preuve qui utilise de l"induction ("C"est vrai si on prendn= 1,n= 2et n= 3..., donc c"est vrai pour toutn."), est-ce que c"est acceptable? Oui, une version d"inductionest acceptée (d"autres ne le sont pas). L"inductionmathématiqueest basée sur les propriétés des
nombres entiers. Nous allons rendre explicit ces propriétés élémentaires. Vous "connaissez" déjà la
plupart de ces propriétés, mais il s"agit ici aussi de fournir les preuves.Après nous allonscompterle nombre d"éléments de certains ensembles, comme dans la théorie
des probabilités. On va établir plusieurs principes de comptage de base. Et appliquer ces principes
dans les situations concrètes, et faire reconnaître quel principe s"applique. Car la différence est
subtile à saisir pour un débutant avec un sens critique encore faible. On va expliquer pourquoi
deux problèmes qui semblent différent à la première vue peuvent avoir la même réponse (avec la
notion de bijection). Si on comprend seulementplus ou moinsla théorie, on va facilement faire des erreurs, et pire, insister qu"on avait raison (plus ou moins).2.Ensembles
2.1.Ensembles et éléments.1Ensembleset leursélémentssont une modélisation mathématique
de l"idée de collections de différents objets de la vraie vie. UnensembleEest une collection d"objets,
appelé lesélémentsdeE. On écrit x?E, sixest un élément deEetx??Esinon.Si un ensembleEa seulement un nombre finind"éléments différents, on dit que c"est un ensemble
fini etnest latailleou lacardinalitédeE. On écrit |E|=n(ou aussi comme#E=n). Si l"ensembleEn"a pas un nombre fini d"éléments on écrit#E=∞. Notation : Soiente1,e2,...,enles éléments différents deE, alors on écritE={e1,e2,...,en}
(on écrit une liste de tous les éléments entre deux accolades). Par exemple, l"ensemble "Chiffres" des chiffres décimales :Chiffres:={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Commentaire : on a utilisé le symbole ":=" ici pour indiquer "que la partie à la droite de:=est
la définition de la partie à la gauche".1. Voir aussi [R, §1.4].4 ABRAHAM BROER
Ou l"ensemble des lettres dans l"alphabet françaisAlphabet:={a,b,c,d,...,x,y,z}.
On utilise "..." s"il est clair au lecteur ce qu"il devrait écrire pour compléter. Définition 2.1.Deux ensemblesE1etE2sont considérés comme égaux si les deux ensembles ontles mêmes éléments. On écritE1=E2. Ou en autres mots : on aE1=E2par définition si pour
chaque objetxon ax?E1si et seulement six?E2. Par exemple siE1:={1,2,3}etE2={3,2,1}, alorsE1=E2, c"est à direE1etE2sont deuxnoms pour ce même ensemble de trois éléments. Donc le même ensemble peut avoir plusieursnoms.
Aussi un même objet peut porter plusieurs noms. Mais{1,2,3} ?={a,b,c}, parce que1? {1,2,3}, mais1?={a,b,c}. Il y a beaucoup d"ensembles de trois éléments.Un ensemble sans élément s"appelé unensemble vide. Voici un premier résultat avec preuve, de
quelque chose fort évidente!