Ce texte regroupe donc des résultats mathématiques qui ont été ou sont utilisés dans 6 4 Lien avec l'algorithme du sous-résultant (calcul de PGCD) 105
Previous PDF | Next PDF |
[PDF] Algorithmique au lycée
mathématique ▫ Au collège, les élèves ont rencontré des algorithmes ( algorithmes opératoires, algorithme des différences, algorithme d'Euclide, algorithmes
[PDF] Mathématiques Algorithmiques Notes de cours - LACIM - UQAM
Le but de ce cours est de présenter un point de vue algorithmique de divers domaine des mathématiques, en particulier dans le contexte d'algorithmes
[PDF] I Quest-ce quun algorithme ? II Un premier exemple - Free
Un algorithme est une suite d'instructions, qui une fois exécutée correctement, En comparant avec les algorithmes de mathématiques, on pourrait dire que les
[PDF] Algorithmes de calcul formel et numérique - Institut Fourier
Ce texte regroupe donc des résultats mathématiques qui ont été ou sont utilisés dans 6 4 Lien avec l'algorithme du sous-résultant (calcul de PGCD) 105
[PDF] LE PROGRAMME DALGORITHMIQUE SANS - Maths ac-creteil
cycle 4 : notion d'algorithme, branchement conditionnel, boucle, et variable informatique Chaque activité suit Marcel qui se prépare pour aller à l'école
[PDF] exercices corrigés algorithmepdf
Exercice 5 2 Ecrire un algorithme qui demande un nombre compris entre 10 et 20, jusqu'à ce que la réponse convienne En cas de réponse supérieure à 20,
[PDF] ALGORITHMIQUE ET APPRENTISSAGE DE LA PREUVE
et le rôle de l'algorithme dans la science mathématique gnants de mathématiques à enseigner l'algo- ressée à la programmation et à l'outil algorithme
[PDF] ALGORITHMIQUE & MATHEMATIQUES - José OUIN
ceux qui découvriront, grâce aux algorithmes, le plaisir de faire des mathématiques José OUIN Les sites Internet dont je suis l'auteur : - http://www joseouin net
[PDF] Algorithme & vecteurs 2nde Mathématiques
[PDF] algorithme ( divisibilité d'un nombre ) 2nde Mathématiques
[PDF] Algorithme ( le hasard ) 2nde Mathématiques
[PDF] Algorithme ( Merci de m'aider au plus vite) =D 2nde Mathématiques
[PDF] algorithme ( tester la divisibilité d'un nombre ) 2nde Mathématiques
[PDF] Algorithme (2) 2nde Mathématiques
[PDF] Algorithme (Algobox) 2nde Mathématiques
[PDF] Algorithme (DM de math) 1ère Mathématiques
[PDF] Algorithme (DM de maths pour DEMAIN !!) 2nde Mathématiques
[PDF] Algorithme (dm de maths pour demain !) 2nde Mathématiques
[PDF] Algorithme (exercice de maths ) 2nde Mathématiques
[PDF] Algorithme (fonction) urgent !!!!!!! 2nde Mathématiques
[PDF] Algorithme (Niveau Seconde) 2nde Mathématiques
[PDF] Algorithme , conjecture , valeur 3ème Mathématiques
Algorithmes de calcul formel et numérique
B. Parisse
Institut Fourier
UMR 5582 du CNRS
Université de Grenoble
2 Giac/Xcas est un logiciel libre de calcul formel dont une caractéristique est de nécessiter peu de ressources sans sacrifier les performances (en particulier sur les calculs polynomiaux). Ce document décrit une partie des algorithmes de calcul for- mel et numérique qui y sont impleémentés, l"objectif à long terme est de couvrir l"essentiel des algorithmes implémentés. Ce n"est pas le manuel d"utilisation de Xcas, ni un manuel de programmation ou d"exercices illustrés avec Xcas (voir le menu Aide, Manuels : Référence calcul formel, Programmation, Exercices, Amu- sements...). Ce texte regroupe donc des résultats mathématiques qui ont été ou sont utilisés dans Giac (ou sont susceptibles de l"être), ils sont en général accompagnés de preuves et souvent d"illustrations avec Xcas.Pour plus d"informations sur Giac/Xcas, cf. :
N.B. : La version HTML de ce document comporte des champs de saisie inter- actifs, ceux-ci apparaissent comme des commandes "mortes" dans la version PDF (elles sont exécutées une fois pour toutes par la version non interactive degiac). La version HTML est optimisée pour le navigateur Firefox. Elle est générée avec hevea.inria.frde Luc Maranget, ou le fork de Yannick Chevallier pour le support mathjax, ainsi qu"une version modifiée deitex2MMLde Jacques Distler pour la conversion en MathML. Si vous avez une machine très puissante, vous pou- vez exécuter toutes les commandes interactives en cliquant sur le bouton Exécuter. En-dessous de ce bouton se trouve la console de l"interpréteur du logiciel de calcul formel.Table des matières
1 Plan et index
112 Trousse de survie Xcas
172.1 Utilisation comme super-calculatrice
172.2 Calcul exact
192.2.1 Arithmétique
192.2.2 Algèbre linéaire exacte
212.3 Calcul scientifique
222.3.1 Analyse numérique
222.3.2 Algèbre linéaire numérique
233 Calculer sur ordinateur
253.1 Représentation des entiers
253.2 Les réels
263.2.1 Virgule fixe et flottante.
263.2.2 Les flottants au formatdouble. . . . . . . . . . . . . .29
3.2.3 Opérations sur les flottants
303.2.4 Erreurs
303.2.5 Erreur absolue, relative, arrondi propagation des erreurs.
313.3 L"arithmétique d"intervalle.
353.4 Calcul exact et approché, types, évaluation.
363.5 Forme normale et reconnaissance du 0.
373.6 Valeur générique des variables et hypothèses
393.7 Structures de données
393.7.1 Maple, Mathematica, ...
403.7.2 Giac/Xcas
413.7.3 Calculatrices formelles HP48/49
413.7.4 Calculatrices formelles TI92/89/Voyage 200
433.8 Algorithmes et complexité.
443.8.1 Algorithmes modulaires ou p-adiques
443.8.2 Algorithmesdéterministes.Algorithmesprobabilistes:Las
Vegas et Monte-Carlo
463.9 Entiers et polynômes.
473.9.1 Petits et grands entiers
473.9.2 Opérations arithmétiques de base
493.9.3 Opérations de base sur les petits entiers.
513.9.4 Opérations de base sur les grands entiers
523.10 Euclide
523
4TABLE DES MATIÈRES
3.10.1 Division euclidienne.
533.10.2 Anneau euclidien
543.10.3 Le PGCD
543.10.4 L"identité de Bézout
553.10.5 Nombres premiers entre eux
563.10.6 Les restes chinois
573.10.7 Nombres premiers, factorisation
593.10.8 Remarque : la divisibilité est une relation d"ordre partiel
593.10.9 Prolongement : idéaux
603.11 Quelques algorithmes d"arithmétique de base.
603.11.1 Calcul de la racine carrée entière
623.11.2 Bezout sur les entiers et les fractions continues
633.11.3 La puissance rapide itérative
653.11.4 Application de la puissance rapide : trouver un g
´nérateur
deFp=Z=p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .663.11.5 Application de la puissance rapide : cryptographie RSA
673.12 Algorithmes rapides sur les polynômes en une variable.
703.12.1 Inverse moduloxl. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70
3.12.2 Division euclidienne.
703.12.3 Euclide
713.13 Pour en savoir plus.
723.14 Exercices sur types, calcul exact et approché, algorithmes de bases
734 Les générateurs de nombres pseudo-aléatoires.
774.1 Selon la loi uniforme
774.1.1 Les générateurs congruentiels à 1 cran.
774.1.2 Récurrence àkéléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.1.3 Mersenne twister.
834.2 Selon plusieurs lois classiques
835 Le PGCD de polynômes.
855.1 Le sous-résultant.
865.2 Le pgcd en une variable.
895.2.1 Le pgcd heuristique.
895.2.2 Le pgcd modulaire
925.3 Le pgcd à plusieurs variables.
955.3.1 Le pgcd heuristique.
955.3.2 Le pgcd modulaire multivariables.
965.3.3 EZGCD.
995.4 Quel algorithme choisir?
1035.5 Pour en savoir plus.
1036 Le résultant
1056.1 Définition
1056.2 Applications
1066.2.1 Systèmes polynomiaux
1076.2.2 Identité de Bézout dansZ[X].. . . . . . . . . . . . . . . 107
6.3 Résultant et degrés
108TABLE DES MATIÈRES5
6.4 Lien avec l"algorithme du sous-résultant (calcul de PGCD)
1096.5 Calcul efficace du résultant
1117 Localisation des racines
1137.1 Majoration
1137.2 Les suites de Sturm.
1137.3 Autres algorithmes
1148 Exercices (PGCD, résultant, ...)
1198.1 Instructions
1198.1.1 Entiers
1198.1.2 Polynômes
1198.1.3 Calculs modulon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120
8.2 Exercices PGCD
1218.3 Exercice (Bézout modulaire)
1228.4 Exercices (résultant)
1238.5 Décalage entier entre racines.
1248.6 Exemple de correction de géométrie et résultant
126127
9.1 Ordre et réduction
1279.2 Idéaux
1289.3 Introduction
1289.4 Checking a reconstructed Groebner basis
1299.5 Speeding up by learning from previous primes
1309.6 Giac/Xcas implementation and experimentation
1319.7 Conclusion
1349.8 Représentation rationnelle univariée (rur).
13510 Courbes paramétriques et polaires
13910.1 Introduction
13910.2 Représentation graphique
14410.3 Paramétrage
14610.4 Étude analytique d"une courbe en paramétrique
14610.4.1 Rappel sur les graphes de fonction
14610.4.2 Domaine et périodicité
14910.4.3 Branches infinies
15010.4.4 Étude locale
15110.5 Plan d"étude d"une courbe
15910.6 Courbes en polaires
16010.7 Coniques
16810.7.1 Ellipse
16910.7.2 Parabole
17210.7.3 Hyperbole
17410.7.4 Paramétrisation rationnelle
17511 Propriétés métriques des courbes.
17911.1 Longueur d"arc
17911.2 Courbure, repère de Frenet, accélération normale et tangentielle.
1816TABLE DES MATIÈRES
12 Représentation des courbes implicites.
18913 Formes différentielles et intégrales curvilignes
19113.1 Forme différentielle
19113.2 Intégrale curviligne
19313.3 Forme différentielle exacte
19413.4 Intégrale curviligne et intégrales doubles.
19614 Équations et systèmes différentiels.
19914.1 Introduction et représentation graphique.
19914.2 Existence et unicité
20314.3 Quelques méthodes de résolution explicite.
20614.3.1 Équations à variables séparables
20614.3.2 Équations linéaires
20614.3.3 Équations linéaires à coefficients constants
20714.3.4 Systèmesdifférentielslinéairesàcoefficientsconstantsd"ordre
1. 21014.3.5 Systèmes et équations
21114.3.6 Allure des courbes en dimension 2.
21214.3.7 Systèmes d"ordre plus grand que 1
21414.3.8 Intégrales premières.
21514.3.9 Le modèle proie-prédateur
21714.3.10Quelques autres méthodes
21814.4 Comportement asymptotique des solutions
21814.4.1 Équations linéaires à coefficients constants d"ordre 1 et 2
21814.4.2 Forçage périodique
21914.4.3 Équation autonome sans second membre
22014.4.4 Systèmes linéaires
22114.4.5 Forçage près d"un point d"équilibre de système.
22214.5 Résolution numérique
22414.5.1 Méthodes à un pas
22414.5.2 Méthodes de Runge-Kutta (explicites)
22615 Introduction au calcul variationnel
22916 Corps finis.
23516.1 Rappels
23516.2 Représentation des corps non premiers.
23516.2.1 Cas général.
23516.2.2 Corps de petit cardinal, cas de la caractéristique 2
23616.3 Exercices
23716.4 Rappels de quelques complexités de base
23816.4.1 Polynomes denses et entiers
23816.4.2 Algèbre linéaire dense
23816.5 Codes linéaires et polynomiaux.
23916.5.1 Le bit de parité.
23916.5.2 Codes linéaires
23916.5.3 Codes polynomiaux
24016.5.4 Détection et correction d"erreur
240TABLE DES MATIÈRES7
16.5.5 Distances
24116.5.6 Correction au mot le plus proche
24116.5.7 Codes de Hamming
24216.6 Les codes de Reed-Solomon
24416.6.1 Théorie
24416.6.2 Preuve du calcul del. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .245
16.6.3 Avec Xcas
24617 Factorisation des entiers et primalité.
24717.1 Le test de primalité de Pocklington.
24817.2 La méthodede Pollard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
17.3 Le crible quadratique
25017.3.1 Recherche de racine carrée modulo p
25118 Factorisation des polynômes.
25318.1 Les facteurs multiples
25318.2 Factorisation en une variable
25618.2.1 Factorisation dansZ=pZ[X]. . . . . . . . . . . . . . . .256
18.2.2 Distinct degree factorization
25618.2.3 La méthode de Cantor-Zassenhaus
25818.2.4 La méthode de Berlekamp
260quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45