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Ecole polytechnique

Integration et calcul de primitives

Table des matieres

1 Les fonctions usuelles 2

1.1 Fonctions primitives et fonctions reciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2 Les fonctions logarithme et exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3 Les fonctions circulaires et leurs reciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.4 Les fonctions hyperboliques et leurs reciproques . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2 Integration sur un segment 5

2.1 Integrale d'une fonction en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2 Integrale d'une fonction continue par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.3 Primitives, integration par parties et changements de variable . . . . . . . . .

6

2.4 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

3 Calculs explicites d'integrales et de primitives 9

3.1 Integrales de fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

3.2 Integrales de polyn^omes et fractions rationnelles en sin et cos . . . . . . . . .

11

3.3 Integrales de fractions rationnelles en exp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

3.4 Integrales deP(x)exp(x),P(x)cos(x) ouP(x)sin(x) . . . . . .11

3.5 Integrales de exp(x)cos(x) ou exp(x)sin(x) . . . . . . . . . . .11

3.6 Integrales de fractions rationnelles enxetrax+bcx+d. . . . . . . . . . . . .12

3.7 Integrales de fractions rationnelles enxetpax2+bx+c. . . . . . . . . .12

4 Autres utilisations d'integrales 13

4.1 Integration sur un intervalle quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

4.2 Integrales dependant d'un parametre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

5 Exercices 16

5.1 Calculs de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

5.2 Proprietes generales de l'integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

5.3 Series de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

5.4 Integrabilite et integrales dependant d'un parametre . . . . . . . . . . . . . .

21

5.5 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

6 Corriges 24

6.1 Calculs de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

6.2 Proprietes generales de l'integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

6.3 Series de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

6.4 Integrales dependant d'un parametre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

6.5 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43
1

1 Les fonctions usuelles

1.1 Fonctions primitives et fonctions reciproques

Certaines fonctions ne sont pas toujours denies explicitement, mais seulement au tra- vers des relations qu'elles verient avec d'autres fonctions. Ce sont par exemple le cas des fonctions reciproques ou des primitives, denies ci-dessous. Proposition-Denition 1.On considerefune fonction continue strictement monotone sur un intervalleI. On noteJ=f(I). Alorsfest bijective deIversJ, et admet une fonction reciproque (c'est-a-dire une fonctiongdenie surJtelle quefg=idIetgf=idJ) qui est monotone de m^eme monotonie quef. On noteraf1la reciproque def. Proposition 1.Dans les condition de la denition precedente, si l'on suppose de plus que fest derivable, et quef0ne s'annule pas surI, alorsf1est derivable surJet on a : f10=1f 0f1 Sifest derivable surIavecf0(a) = 0pour un certaina2I, alorsf1admettra une tangente verticale au pointf(a). Proposition-Denition 2.On considerefune fonction continue sur un intervalleIet a valeurs reelles. Alors si l'on se xex2Iety2R, il existe une unique primitiveFdef (c'est-a-dire une fonctionFdenie surItelle queF0=f) veriant que :F(x) =y.

1.2 Les fonctions logarithme et exponentielle

Un premier exemple de fonctions denies comme primitives ou comme fonctions reci- proques est l'exemple des fonctions logarithme et exponentielle : Proposition-Denition 3(La fonction logarithme).La fonctionx7!1=xest une fonction continue deR+dansR. On peut donc denir surR+la fonction logarithme (noteelogou ln) comme son unique primitive s'annulant en1. Plus generalement, on peut aussi denir la fonction logarithme de baseacomme :loga(x) =ln(x)ln(a) Par denition d'une primitive, la fonction ln est donc strictement croissante deR+dans R(comme sa derivee, a savoir 1=x, est bien positive surR+). Proposition-Denition 4(La fonction exponentielle).La fonctionlnest une fonction continue strictement croissante deR+dansR, donc elle admet une fonction reciproque que l'on appellera fonction exponentielle (noteeexpouex). Denition 1(La fonction puissance).Soita2R+et2R. On denit la puissance dea parcomme :a= exp(ln(a)) Dans les calculs qui impliqueront ces fonctions, on sera amene a deux types de situations : soit a simplier des calculs, soit a conna^tre les ordres de grandeurs de certaines quantites.

D'ou les formules suivantes.

(ln(ab) = ln(a) + ln(b) exp(a+b) = exp(a)exp(b)8 :ln(1=a) =ln(a) exp(a) =1exp(a)8 :ln

0(x) =1x

exp

0(x) = exp(x)

2 8 :(lnu)0(x) =u0(x)u(x) (expu)0(x) =u0(x)(expu)(x)8 :(x7!ax)0(x) = ln(a)ax (x7!x)0(x) =x1 (x7!(u(x)))0(x) =u0(x)(u(x))1

8>>>>><

>>>>:ln(x)x !x!+10 exp(x)x !x!+1+1 exp(x)x!x!+108 >>>>:ln(x)x !x!+10 ( >0) exp(x)x !x!+1+1(quelconque) exp(x) jxj!x!+10 (quelconque) 8 :ln(x)x!x!00 ln(x)x!x!00 (quelconque)8 >:ln(x+ 1)x !x!01 exp(x)1x !x!01

1.3 Les fonctions circulaires et leurs reciproques

Proposition-Denition 5(Les fonctions sin et Arcsin).La fonctionsinest continue croissante derivable de[=2;=2]vers[1;1]de deriveecos(x). Elle admet donc une fonction reciproqueArcsincontinue croissante sur[1;1], derivable sur]1;1[avec :

Arcsin

0(x) =1p1x2.

Proposition-Denition 6(Les fonctions cos et Arccos).La fonctioncosest continue decroissante derivable de[0;]vers[1;1]de deriveesin(x). Elle admet donc une fonction reciproqueArccoscontinue decroissante sur[1;1], derivable sur]1;1[avec :Arccos0(x) =1p1x2. Proposition-Denition 7(Les fonctions tan et Arctan).La fonctiontanest continue croissante derivable de]=2;=2[versRde derivee1 + tan(x)2. Elle admet donc une fonction reciproqueArctancontinue croissante derivable surRavec :Arctan0(x) =11 +x2.

On aura aussi les regles de calcul suivantes :

8 >>>>>:cos(a+b) = cos(a)cos(b)sin(a)sin(b) sin(a+b) = cos(a)sin(b) + sin(a)cos(b) tan(a+b) =tan(a) + tan(b)1tan(a)tan(b) cos

2+ sin2= 18

>>>>>>>:On poset= tan(a=2) : cos(a) =1t21 +t2 sin(a) =2t1 +t2 tan(a) =2t1t2

8>>>>>>>>>>>><

>>>>>>>>>>>:cos(a) + cos(b) = 2cosa+b2 cosab2 cos(a)cos(b) =2sina+b2 sinab2 sin(a) + sin(b) = 2sina+b2 cosab2 sin(a)sin(b) = 2cosa+b2 sinab2 3

1.4 Les fonctions hyperboliques et leurs reciproques

Denition 2.Gr^ace a la fonction exponentielle on peut denir les fonctions sinus, cosinus et tangente hyperbolique, respectivement denies par : sh :x7!exex2 ch :x7!ex+ex2 th :x7!sh(x)ch(x) Proposition-Denition 8(Les fonctions sh et Argsh).La fonctionshest continue crois- sante derivable deRversRde deriveech(x). Elle admet donc une fonction reciproqueArgsh continue croissante derivable surRavec :Argsh0(x) =1px 2+ 1. Proposition-Denition 9(Les fonctions ch et Argch).La fonctionchest continue crois- sante derivable deR+vers[1;+1[de deriveesh(x). Elle admet donc une fonction reciproque Argchcontinue croissante sur[1;+1[, derivable sur]1;+1[avec :Argch0(x) =1px 21.
Proposition-Denition 10(Les fonctions th et Argth).La fonctionthest continue crois- sante derivable deRvers]1;1[de derivee1ch(x)2. Elle admet donc une fonction reciproque Argthcontinue croissante derivable sur]1;1[avec :Argth0(x) =11x2. On sera aussi parfois amenes a utiliser les formules suivantes :

8>>>>>><

>>>>>:ch(a+b) = ch(a)ch(b) + sh(a)sh(b) sh(a+b) = ch(a)sh(b) + sh(a)ch(b) th(a+b) =th(a) + th(b)1 + th(a)th(b) ch

2sh2= 1

Argsh(x) = ln

x+px 2+ 1

Argch(x) = ln

x+px 21

Argth(x) =12

ln1 +x1x 4

2 Integration sur un segment

2.1 Integrale d'une fonction en escalier

Denition 3.Soitfune fonction en escalier sur[a;b](aveca < b). On note= (x0;:::;xn)une subdivision adaptee af, etcila valeur defsur]xi1;xi[. On denit alors l'integrale defsur[a;b]comme : Z [a;b]f=nX i=1(xixi1)ci

2.2 Integrale d'une fonction continue par morceaux

Proposition 2(Adherence des fonctions en escalier).Toute fonction continue par morceaux peut ^etre encadree aussi proche que l'on veut par des fonctions en escalier. Proposition-Denition 11.Sifest une fonction continue par morceaux, on pose : I (f) = sup( Z [a;b]=en escalier,f) I +(f) = inf( Z [a;b] = en escalier, f)

On a :I(f) =I+(f), et c'est ce que l'on noteR

[a;b]f. Proposition 3.L'integrale ainsi denie est lineaire et conforme a la relation de Chasles. De plus, sifetgsont deux fonctions en escalier telles quefg, alors on auraR [a;b]fR [a;b]g.

De plus on aura :R

[a;b]fR [a;b]jfj. La valeur moyenne defsur [a;b] est alors donnee par :1baR [a;b]f. Theoreme 1.Sifest une fonction continue etde signe constantsur[a;b], alors on a l'equivalence :Z [a;b]f= 0,fest nulle sur[a;b] Reciproquement, sifest une fonction continue positive sur[a;b]et s'il existextel que f(x)>0, alorsR [a;b]f >0. Denition 4(Integrale entre deux points).Soitfune fonction continue par morceaux sur un intervalleI, eta;b2I. On denit alors l'integrale entreaetbpar : Z b a f(x)dx=8 >>>:Z [a;b]f(sia < b)

0 (sia=b)

Z [b;a]f(sia > b) L'integrale ainsi denie est toujours lineaire et verie la relation de Chasles. Theoreme 2(Inegalites de Cauchy-Schwarz et de Minkowski).Sifetgsont des fonctions continues par morceaux surI, eta;b2I, alors on a : Z b a f(x)g(x)dx2 Zb a jf(x)j2dx Zb a jg(x)j2dx Z b a (f(x) +g(x))ndx1=n Zb a jf(x)jndx 1=n Zb a jg(x)jndx 1=n 5 oun2[1;+1[. De plus (sauf dans le casn= 1) on aura egalite si et seulement sifetg sont lineairement dependants (c'est-a-diref=goug=f). La premiere inegalite est appelee inegalite de Cauchy-Schwarz, et la seconde inegalite de Minkowski. Theoreme 3(Sommes de Riemann).Soitfune fonction continue par morceaux sur[a;b], = (a0;:::;an)une subdivision de[a;b]et= (1;:::n)des elements de chaque[ai1;ai].

Alors la somme de Riemann associee :S(f;;) =nX

1f(i)(aiai1)tend versZ

b a f(x)dx lorsque() = sup i(aiai1)tend vers0.

En particulier :limn!1

ban nX 0f a+iban =Z b a f(x)dx.

2.3 Primitives, integration par parties et changements de variable

Theoreme 4(Primitive et integrale).Soitfune fonction continue par morceaux denie sur un intervalleI, eta2I. On denit surIla fonctionF:x7!Z x a f(t)dt. En tout pointxoufest continue,Fest derivable avecF0(x) =f(x). En particulier, si fest continue, alorsFest l'unique primitive defs'annulant ena. Sifest continue sur[a;b]et que l'on considereGune primitive quelconque defsur [a;b], alors on aura :Z b a f(x)dx=G(b)G(a). Theoreme 5(Integration par parties).Soientfetgdeux fonctions de classeC1(c'est-a- dire derivables, de derivee continue) sur[a;b]. Alors : Z b a f(x)g0(x)dx= [fg]b aZ b a f0(x)g(x)dx: De maniere plus generale, si l'on considerefetgde classeCn(c'est-a-direnfois derivable, et deriveenemecontinue), on a : Z b a f(x)g(n)(x)dx=h fg(n1)f0(x)g(n2)(x) ++ (1)n1f(n1)(x)g(x)i b a + (1)nZb a f(n)(x)g(x)dx Theoreme 6(Changement de variable).Soitfune fonction continue denie sur[a;b]et une fonction de classeC1de[;]dans[a;b]. Alors on aura : Z (f)(x)0(x)dx=Z ()f(x)dx Proposition 4(Derivation d'une integrale).Soitfune fonction continue surI, u et v deux fonctions derivables a valeurs dansI. Alors, si l'on considereFune primitive def, la fonction=Z v(x) u(x)f(t)dtest derivable, avec :0(x) =v0(x)f(v(x))u0(x)f(u(x)). 6

2.4 Formules de Taylor

Les formules de Taylor permettent d'obtenir des approximations de fonctions susam- ment regulieres. Le grand inter^et est que l'on peut facilement ma^triser l'incertitude de cette approximation, puisque le terme d'erreur peut ^etre explicitement calcule. Theoreme 7(Formule de Taylor-Young).Soitfune fonction de classeCnsur un intervalle I, eta2I. Alors il existe une fonction"denie surItelle que : (8x2I)f(x) =nX k=0(xa)kk!f(k)(a) + (xa)n"(x)aveclimx!a"(x) = 0 Si on demande afdavantage de regularite, on peut expliciter cette fonction". Theoreme 8(Formule de Taylor avec reste integral).Soienta < b, etfune fonction de classeCn+1sur[a;b]. Alors : f(b) =nX k=0(ba)kk!f(k)(a) +Z b a(bt)nn!f(n+1)(t)dt nX k=0(ba)kk!f(k)(a) +(ba)n+1n!Z 1 0 (1u)nf(n+1)(a+ (ba)u)du La m^eme formule reste valable sib < aet quefest de classeCn+1sur[b;a] Theoreme 9(Formule et inegalite de Taylor-Lagrange).Soienta < b, etfune fonction de classeCnsur[a;b]et(n+ 1)fois derivable sur]a;b[. Alors on a : (9c2]a;b[)f(b) =nX k=0(ba)kk!f(k)(a) +(ba)n+1(n+ 1)!f(n+1)(c)

Si de plus on a :(8t2]a;b[)f(n+1)(t)M, alors :

f(b)nX k=0(ba)kk!f(k)(a) (ba)n+1(n+ 1)!M Les m^emes formules sont aussi valables sib < aet quefest de classeCnsur[b;a]et(n+1) fois derivable sur]b;a[. Quand on n'explicitera pas le reste dans la formule de Taylor (comme dans la formule de Taylor Young), on parlera de developpement limite au voisinage d'un point (du pointa pour l'ecriture precedente). Voici quelques exemples classiques de developpement limites au voisinage de 0 a l'ordren: exp(x) =nX k=0x kk!+o(xn) = 1 +x+x22 ++xnn!+o(xn) cos(x) =n=2X k=0(x2)k(2k)!+o(xn) = 1x22 +x44! ++o(xn) sin(x) =n=21X k=0x(x2)k(2k+ 1)!+o(xn) =xx36 +x55! ++o(xn) 7 ch(x) =n=2X k=0x

2k(2k)!+o(xn) = 1 +x22

+x44! ++o(xn) sh(x) =n=21X k=0x

2k+1(2k+ 1)!+o(xn) =x+x36

+x55! ++o(xn) (1 +x)= 1 +1! x+(1)2! x2++(1)(n+ 1)n!xn+o(xn) ln(1 +x) =xx22 +x33 +(1)n1xnn +o(xn) 8

3 Calculs explicites d'integrales et de primitives

Le principe d'un calcul explicite d'integrale est de trouver une primitive de la fonction sous le signe integral. La methode se fait en deux etapes : Premiere etape : Il faut essayer de changer l'expression sous le signe integral. On peut soit le faire par integration par parties (theoreme 5) (et le but est alors de faire dispara^tre en le derivant un facteur g^enant dans un produit), soit par changement de variable (theoreme 6) (et le but est alors de faire dispara^tre en le derivant une expression g^enante dans une composition). Seconde etape : Il faut ensuite reconna^tre une derivee exacte de fonction connue. C'etait notamment le but de la presentation des fonctions usuelle presentee en premiere partie. On utilise aussi les proprietes de linearite de l'integrale pour separer les parties que l'on sait integrer directement ou non. Le but de la partie qui suit est de determiner quelle methode est la plus appropriee selon les dierentes situations, et comment l'appliquer.

3.1 Integrales de fonctions rationnelles

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