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?Corrigé du baccalauréat ES Pondichéry?

21 avril 2016

Exercice14points

Commun à tous les candidats

1.Soitfla fonction définie sur l"intervalle ]0 ;+∞[ parf(x)=3x-xlnx.

On admet quefest dérivable sur l"intervalle ]0 ;+∞[ et on désigne parf?sa fonction dérivée.

f ?(x)=3-?

1×lnx+x×1

x? =3-lnx-1=2-lnxsoitla réponsec

2.On considère la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2.

La somme des 13 premiers termes de cette suite est appeléeS.

On auraS=1×1-213

1-2=8191 soitla réponse b

3.Une variable aléatoireXsuit une loi uniforme sur l"intervalle [2; 7].

P(X?4)=P(4?X?7)=7-4

5etP(2?X?5)=5-25soitla réponseb

4.On réalise un sondage sur un échantillon denpersonnes (n, entier naturel non nul). L"inter-

valle de confiance au seuil de 95% est? f-1 ?n;f+1?n? ; son amplitude vaut donc2?n. 2 ?n=0,02??n=10000 donc la bonne réponse est laréponsec.

Exercice26points

Commun à tous les candidats

PartieA : Étude graphique

Voir graphique page 6.

1.La quantité de granulés en tonnes pour laquelle le coût quotidien de l"entreprise correspond

au minimum de la fonctionC; elle est égale à 4,5.

2. a.C(6)=5 etR(6)=18 doncD(6)=18-5=13.

Le résultat net pour une production de 6 tonnes est donc de 1300 euros.

b.L"entreprise réalise un bénéfice quand la productionxest telle que le coût est strictement

inférieur aurapport,c"est-à-direquandC(x)Partie B : Étude d"une fonction On considère la fonctiongdéfinie sur l"intervalle [1; 15] par : g(x)=-0,6x+4+e-x+5.

1. a.La fonctiongest dérivable [1; 15] etg?(x)=-0,6-e-x+5.

b.e-x+5>0 quelle que soit la valeur dexdonc-e-x+5<0 et par suite,g?(x)<0 comme somme de deux nombres strictement négatifs. La fonctiongest donc strictement décroissante sur [1; 15]

2. a.g(1)≈58 etg(15)≈-5; on a donc le tableau de variation suivant :

Corrigédu baccalauréat ES/LA. P. M. E. P.

x1 15 g?(x)--- 58
g(x) -5 0α b.Le tableau de variation degjustifie que l"équationg(x)=0 admet une unique solution sur [1; 15]; g(6)≈0,77>0 g(7)≈-0,06<0? =?α?[6; 7]g(6,9)≈0,01>0 g(7,0)≈-0,06<0? =?α?[6,9; 7] Enfin g(6,91)≈0,002>0 g(6,92)≈-0,005<0? =?α?[6,91; 6,92]

Doncα≈6,9 à 0,1 près.

c.On en déduit donc le tableau de signe suivant : x1α15 g(x)+++0---

PartieC : Applicationéconomique

2.D?(x)=-0,3×2x+4+e-x+5=g(x)

3.D(1)≈-50,9 ,D(α)≈13,17 etD(15)≈-7,5;

on aura donc le tableau de variation de la fonctionDsuivant : x1α15 g(x)+++0--- 13,17 D(x) -50,9-7,5

4. a.L"entreprise rendra son bénéfice maximal pour une production deαtonnes soit environ

6,9 tonnes

b.Le bénéfice réalisé sera alors de 1317 euros.

Exercice35points

Commun à tous les candidats

Partie A

1.En utilisant les données du texte, on a;P(G)=0,49,P(T)=0,20,PT(R)=0,906 etPG(R)=

0,915.

2.On peut donc construire l"arbre de probabilités (voir page 3).

3.On chercheP(T∩R) :P(T∩R)=P(T)×PT(R)=0,20×0,906=0,1812

Pondichéry221 avril 2016

Corrigédu baccalauréat ES/LA. P. M. E. P.

P(G)=0,49

RpG(R)=0,915

RpG(R)=0,085

P(T)=0,20RpT(R)=0,906

RpT(R)=0,094

P(S)=0,31

RpS(R)

4. a.Onap(R)=0,878etd"aprèslesprobabilitéstotales,commeG,TetSformentunepartition

de l"univers :

P(R)=P(G∩R)+P(T∩R)+p(S∩R)

On aura alors :p(S∩R)=0,878-(0,49×0,915+0,2×0,906)=0,24845. b.On cherchePS(R) :PS(R)=P(S∩R) p(S)=0,248450,31≈0,801

PartieB

1.En utilisant la calculatrice, on aP(9?XM?16)=0,68.

C"est un résultat du cours car 9=12,5-3,5=m-σet 16=12,5+3,5=m+σ.

2. Sur le graphique 3, l"espérance de la loiXMest supérieure à celui de la loiXFcar l"axe

de symétrie de la courbe en pointillé est placé à droite de celui de la courbe pleine; or

E(XM)=12,5 etE(XF)=13,2 donc ce graphique ne convient donc pas. Sur le graphique 1, la courbe correspondant àXMa un sommet situé au dessus de celle

correspondant àXFdonc l"écart typeσMde la loi suivie parXMdoit être inférieur à celui

Fde la loi suivie parXF; orσM=3,5 etσF=2,1 donc ce graphique ne convient pas. Le graphique qui correspond est donc le graphique n o2.

Exercice45points

Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité

1. a.Ajouter 1,5% revient à multiplier par 1,015; si on augmente les 5700 euros du départ de

1,5%, on obtient 5700×1,015=5785,50 euros. Comme on verse 300 euros, on obtient

1=5785,50-300=5485,50 euros.

b.De mêmeu2=1,015u1-300=5485,50×1,015-300≈5267,78

2.La suite(un)est définie pour toutnpar :un+1=1,015un-300.

On considère l"algorithme suivant :

Pondichéry321 avril 2016

Corrigédu baccalauréat ES/LA. P. M. E. P.

Variables:nest un entier naturel

uest un nombre réel

Traitement:Affecter àula valeur 5700

Affecter ànla valeur 0

Tant queu>4500 faire

uprend la valeur 1,015×u-300 nprend la valeurn+1

Fin Tant que

Sortie:Affichern

a.On obtient le tableau ci-dessous : valeur deu5700 5485,50 5267,78 5046,80 4822,50 4594,84 4363,76 valeur den0 1 2 3 4 5 6 u>4500 vrai vrai vrai vrai vrai vrai faux

b.L"algorithme affiche à la fin de son exécution la valeur 6.Au bout du sixième remboursement, le capital restant dû serainférieur à 4500?.

3.Soit la suite(vn)définie pour toutnparvn=un-20000; donc

u n=vn+20000. =1,015? u n-20300

1,015?

=1,015(un-20000)=1,015×vn b.v0=u0-20000=5700-20000=-14300 Donc la suite (vn) est géométrique de raisonq=1,015 et de premier termev0=-14300.

D"après les propriétés des suites géométriques, on en déduit que, pour toutn,vn=v0×

q n=-14300×1,015n. Commeun=vn+20000, on déduit queun=20000-14300×1,015n, pour toutn.

4. a.Le 26 avril 2017 correspond àn=15.

15=20000-14300×1,01515≈2121,68 euros

b.On cherchenpour queun=0 : u ??1,015n=20000

14300??nln1,015=ln?2000014300?

??n≈23

La dernière mensualité sera la 23

c.Le nombreu22représente le capital à rembourser après avoir payé la 22emensualité, donc

le montant de la 23 eet dernière mensualité.

On au22=20000-14300×1,01522≈157,84 euros.

Le montant de la 23

eet dernière mensualité est de 157,84×1,015≈160,21 euros. d.Le montant du remboursement sera de 22 mensualités de 300 euros auquel il faut rajouter

160,21 euros soit un montant total de 300×22+160,21=6760,21 euros.

Exercice45points

Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité

1.On représente la situation par un graphe probabiliste de sommetsAetB:

A B 0,10 0,40

0,900,60

Pondichéry421 avril 2016

Corrigédu baccalauréat ES/LA. P. M. E. P.

2.D"après le texte :?an+1=0,9an+0,4bn

b n+1=0,1an+0,6bn

Ce qui équivaut à :

?an+1bn+1?=?anbn??0,9 0,10,4 0,6? La matrice de transitionMassociée à ce graphe est doncM=?0,9 0,10,4 0,6?

3. a.On trouve à la calculatriceM4=?0,8125 0,1875

0,75 0,25?

b.La probabilité que la personne interrogée fasse son 5eachat sur internet esta5. D"après le cours, on sait que, pour toutn?1,Pn=P1×Mn-1donc P

5=P1×M4=?1 0??0,8125 0,1875

0,75 0,25?

=?0,8125 0,1875?; on en déduit quea5=0,8125 etb5=0,1875. La probabilité que la personne interrogée fasse son 5 eachat sur internet est donc 0,8125.

4.On noteP=?a b?l"état stable associé à ce graphe.

a.CommePest un état du système, on peut dire quea+b=1. Pest un état stable doncP=P×Mce qui équivaut à :quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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21 avril 2016

Exercice14points

Commun à tous les candidats

1.Soitfla fonction définie sur l"intervalle ]0 ;+∞[ parf(x)=3x-xlnx.

1×lnx+x×1

2.On considère la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2.

On auraS=1×1-213

1-2=8191 soitla réponse b

3.Une variable aléatoireXsuit une loi uniforme sur l"intervalle [2; 7].

P(X?4)=P(4?X?7)=7-4

5etP(2?X?5)=5-25soitla réponseb

4.On réalise un sondage sur un échantillon denpersonnes (n, entier naturel non nul). L"inter-

Exercice26points

Commun à tous les candidats

PartieA : Étude graphique

Voir graphique page 6.

1.La quantité de granulés en tonnes pour laquelle le coût quotidien de l"entreprise correspond

2. a.C(6)=5 etR(6)=18 doncD(6)=18-5=13.

1. a.La fonctiongest dérivable [1; 15] etg?(x)=-0,6-e-x+5.

2. a.g(1)≈58 etg(15)≈-5; on a donc le tableau de variation suivant :

Corrigédu baccalauréat ES/LA. P. M. E. P.

Doncα≈6,9 à 0,1 près.

PartieC : Applicationéconomique

2.D?(x)=-0,3×2x+4+e-x+5=g(x)

3.D(1)≈-50,9 ,D(α)≈13,17 etD(15)≈-7,5;

4. a.L"entreprise rendra son bénéfice maximal pour une production deαtonnes soit environ

6,9 tonnes

Exercice35points

Commun à tous les candidats

Partie A

1.En utilisant les données du texte, on a;P(G)=0,49,P(T)=0,20,PT(R)=0,906 etPG(R)=

0,915.

2.On peut donc construire l"arbre de probabilités (voir page 3).

3.On chercheP(T∩R) :P(T∩R)=P(T)×PT(R)=0,20×0,906=0,1812

Pondichéry221 avril 2016

Corrigédu baccalauréat ES/LA. P. M. E. P.

P(G)=0,49

RpG(R)=0,915

RpG(R)=0,085

P(T)=0,20RpT(R)=0,906

RpT(R)=0,094

P(S)=0,31

RpS(R)

RpS(R)

4. a.Onap(R)=0,878etd"aprèslesprobabilitéstotales,commeG,TetSformentunepartition

P(R)=P(G∩R)+P(T∩R)+p(S∩R)

PartieB

1.En utilisant la calculatrice, on aP(9?XM?16)=0,68.

2. Sur le graphique 3, l"espérance de la loiXMest supérieure à celui de la loiXFcar l"axe

Exercice45points

1. a.Ajouter 1,5% revient à multiplier par 1,015; si on augmente les 5700 euros du départ de

1,5%, on obtient 5700×1,015=5785,50 euros. Comme on verse 300 euros, on obtient

1=5785,50-300=5485,50 euros.

2.La suite(un)est définie pour toutnpar :un+1=1,015un-300.

On considère l"algorithme suivant :

Pondichéry321 avril 2016

Corrigédu baccalauréat ES/LA. P. M. E. P.

Variables:nest un entier naturel

Traitement:Affecter àula valeur 5700

Affecter ànla valeur 0

Tant queu>4500 faire

Fin Tant que

Sortie:Affichern

3.Soit la suite(vn)définie pour toutnparvn=un-20000; donc

1,015?

4. a.Le 26 avril 2017 correspond àn=15.

15=20000-14300×1,01515≈2121,68 euros

14300??nln1,015=ln?2000014300?

La dernière mensualité sera la 23

On au22=20000-14300×1,01522≈157,84 euros.

Le montant de la 23

160,21 euros soit un montant total de 300×22+160,21=6760,21 euros.

Exercice45points

1.On représente la situation par un graphe probabiliste de sommetsAetB:

0,900,60

Pondichéry421 avril 2016

Corrigédu baccalauréat ES/LA. P. M. E. P.

2.D"après le texte :?an+1=0,9an+0,4bn

Ce qui équivaut à :

2. Sur le graphique 3, l"espérance de la loiXMest supérieure à celui de la loiXFcar l"axe