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3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

J:=f→J(f) =?

t2 t

1L(f,f,t)dt

∂L∂f (f,f,t) =ddt (∂L∂ f(f,f,t)). 3 x x

1=f1(u,v), x2=f2(u,v), x3=f3(u,v)? ??? ??????? ???? ?? ?????? ?? ???? ???????

f(γ1(t),γ2(t),γ3(t)) = 0.??? S AB=? t1 t 0dsdt dt=? t1 t

0?γ21(t) + γ22(t) + γ23(t)dt .

∂f∂γ

1γ1+∂f∂γ

2γ2+∂f∂γ

3γ3= 0

S AB=? t1 t 0Ldt L=? ????γ21(t) + γ22(t) +(∂f∂γ

1γ1+∂f∂γ

2γ2)2(

∂f∂γ

3)2???

ddt (∂L∂γi)-∂L∂γ i= 0.??? L=?γ21(t) + γ22(t)-?(γ1(t)γ1(t) +γ2(t)γ2(t))2γ

21(t) +γ22(t)-R2,

L=?(1 +

γ21(t)R

2-γ21(t))γ21(t) + γ23(t).

x

1=f1(u,v), x2=f2(u,v), x3=f3(u,v)?

ds

2=dx21+dx22+dx23= (∂x1∂u

du+∂x1∂v dv)2+ (∂x2∂u du+∂x2∂v dv)2+ (∂x3∂u du+∂x3∂v dv)2. x

1(u,v) =Rcos(v), x2(u,v) =Rsin(v), x3(u,v) =u? ?? ??????? ?? ???? ??????? ??

ds

2=dx21+dx22-dx23= (∂x1∂u

du+∂x1∂v dv)2+ (∂x2∂u du+∂x2∂v dv)2-(∂x3∂u du+∂x3∂v dv)2. ds

2=g11du2+g12dudv+g21dv du+g22dv2=gijduiduj.???

3???? ?? ?????? ??

kij=12 gk n(∂gi,n∂u j+∂gj,n∂u i-∂gi,j∂u n),

¨uk+ Γkijuiuj= 0.???

L=gijuiuj,???

?R20

0R2cos(u)2?

ds

2=R2du2+R2cos(u)2dv2?

L=R2u2+R2cos(u)2v2,

¨u+ cos(u)sin(u) v2= 0,¨v-2sin(u) uvcos(u)= 0? ?1 0 0R2? ds

2=du2+R2dv2?

L= u2+R2v2,

{¨u= 0,¨v= 0}. ?R20

0-R2ch(u)2?

ds

2=R2du2-R2ch(u)2dv2?

L=R2u2-R2ch(u)2v2,

¨u+ch(u)sh(u) v2= 0,¨v+ 2sh(u) uvch(u)= 0?

h n? ds

2= (∂x1∂u

1du1+∂x1∂u

2du2+...+∂x1∂u

mdum)2+ (∂x2∂u

1du1+∂x2∂u

2du2+...+∂x2∂u

mdum)2+ ...+ (∂xn∂u

1du1+∂xn∂u

2du2+...+∂xn∂u

mdum)2, ds 2=n? k=1(m? j=1∂x k∂u jduj)2. ?nk=1?kdx2k? ???k???? ??? ??n?? ? ds 2=n? k=1? k(m? j=1∂x k∂u jduj)2. ds 2=m? i=1m j=1g ijduiduj=gijduiduj,??? kij=12 gk n(∂gin∂u j+∂gj n∂u i-∂gij∂u n),???

¨uk+ Γkijuiuj= 0.???

L=gijuiuj,????

ddt (∂L∂ui)-∂L∂u i= 0.???? h

1=ct, h2=rcos(θ), h3=rsin(θ)cos(φ), h4=rsin(θ)sin(φ).

ds

2=c2dt2-dr2-r2dθ2-r2cos(θ)2dφ2

20 0 0

0-1 0 0

0 0-r20

0 0 0-r2cos(θ)2?

h

1=ct, h2=rcos(θ), h3=rsin(θ), h4=z.

ds

2=c2dt2-dr2-r2dθ2-dz2

???????c

20 0 0

0-1 0 0

0 0-r20

0 0 0-1?

233=-r ,Γ323=1r

?d 2dp

2t(p) = 0,d2dp

2r(p)-r?ddp

θ(p)?

2 = 0,d2dp

2θ(p) + 2?

ddp r(p)?ddp

θ(p)r

= 0,d2dp

2z(p) = 0?

d 2dp

L=c2t2-r2-r2θ2-z2?

ds

2=c2dt2-dr2-r2(d?+ωdt)2-dz2

???????c

2-r2ω20-r2ω0

0-1 0 0

-r2ω0-r20

0 0 0-1?

ωr ,Γ323=1r ?d2dp

2r(p)-rω2?ddp

t(p)? 2 -2rω?ddp t(p)?ddp

θ(p)-r?ddp

θ(p)?

2 = 0, d 2dp

2θ(p) + 2ω?ddp

t(p)?ddp r(p)r + 2? ddp r(p)?ddp

θ(p)r

= 0,d2dp

2z(p) = 0,d2dp

2t(p) = 0?

ds

2=c2dt2-dr2-r2(dθ-ω(t)dt)2-dz2

d 2dt

2r(t)-r?ddt

ω(t)?

2 -2r?ddt

ω(t)?ddt

θ(t)-r?ddt

θ(t)?

2 = 0, d 2dt

2θ(t) +d2dt

2ω(t) + 2?

ddt

ω(t)?ddt

r(t)r + 2? ddt r(t)?ddt

θ(t)r

= 0. ?? ????? ???v=±?2mGr +K=±?2Mc2r v(r) =signe(v0)?2mGr -2mGr

0+v20.

v

2(r)-2Φ(r) =v20-2Φ(r0) =K?

ds ds

2=c2dt2-(dr-v(r)dt)21 +K-r2dθ2-r2cos(θ)2dφ2,????

-2mGr

0+v20.

1-2mGr

dr? ?μTν ?????gμν=gνμ?? ??? ??????? ??? ??????? ?? ???????T?μ=∂x?μ∂x

νTν???? ?? ???? ?????T?μ=?

ν∂x?μ∂x

νTν?

λμν=12

gλκ(∂gκν∂x

μ+∂gκμ∂x

ν-∂gμν∂x

∂V

μ∂x

λκVκ?

λκTκρν+ Γρ

d

2xμdp

2+Γμ

νλdxνdp

dxλdp

L=gμνdxμdp

dx

νdp

??????L=12 gμνdxμdp dxνdp ddp (∂L∂(dxμ/dp)) =∂L∂x

2=gλμ∂2∂x

λ∂xμ-Γλ∂∂x

R

κ-∂Γλμκ∂x

R

μκ=Rλμλκ??

μ(Rμν-12

gμνR) = 0? G

μν=Rμν-12

g oo= 1??goi= 0? V

τ=dr(τ)dτ

=H(τ)r(τ).???? dH(τ)dτ dV

τdτ

=-q H2(τ)r(τ).????

2L= τ2-α(r-r H(τ) τ)2-r2ω2,????

d

2?rdτ

2=?g ,????

3? ???????v=?v(τ) =d?rdτ ?? ??????? ?? ?????? ??????r? ????? ?? ? dHdτ +H2=-λ;???? Div(?g(τ)) =-4πG(ρ(τ) + 3p(τ)),????

3(dHdτ

+H2) =-4πG(ρ(τ) + 3p(τ)).???? dρdτ + 3H(ρ+p) = 0.????

3(H2-K??r?2) = 8πGρ,????

K=H2r2-ΩH2r2,????

12 mK????? 12 mΩH2r2? -q H2r? ????? ?? ?

α=α(K) =11+K?

2L= τ2-(r-r H(τ) τ)21 + (1-Ω(τ))H2(τ)r2-r2ω2,????

(∂L∂x) =∂L∂x ??x=τ, r,θ??φ??x=dxdλ dΦdr =dΦvdt =1v (∂Φ∂r drdt +∂Φ∂t ??? ?drdτ =±?1 + (1-Ω(τ))H2(τ)r2+r H(τ)),???? d

2rdτ

2≈ ±H(τ)-(q+ Ω-1)H2(τ)r.????

z=z(τ,r) =H(τ)r+1-Ω2

H2(τ)r2+o(H2(τ)r2).????

τ2-(r-r Hoτ)21 + (1-Ωo)H2or2-r2ω2,???? ds

2=dτ2-(dr-r H(τ)dτ)21 + (1-Ω(τ))H2(τ)r2-r2dω2.????

2L= τ2-(r-vτ)21 +v2-2Φ-r2ω2.????

ds

2=dτ2-R2(τ) [dx2+f2k(x)dω2],????

m¨x+Kx-F(t) = 0,???? m¨x+ 2α⎷Kmx+Kx-F(t) = 0,????quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34