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?Sujet du baccalauréatS Centres étrangers juin 2012?

EXERCICE 14 points

On considère un cube ABCDEFGH d"arête de longueur 1.

On se place dans le repère orthonormal

A ;AB ;AD ;AE

On considère les points I

1 ;1 3; 0 , J

0 ;23; 1

, K34; 0 ; 1 et L(a; 1 ; 0) avecaun nombre réel appartenant à l"intervalle [0; 1]. B CD AF GH E

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

1. Déterminer une représentationparamétriquede la droite(IJ).

2. Démontrer que la droite (KL) a pour représentationparamétrique

x3 4t a34 yt z1t,tR

3. Démontrer que les droites (IJ) et (KL) sont sécantes si, etseulement si,a1

4.

Partie B

Dans la suite de l"exercice, on posea14.

Le point L a donc pour coordonnées1

4; 1 ; 0

1. Démontrer que le quadrilatèreIKJL est un parallélogramme.

2. La figure ci-dessous fait apparaître l"intersection du plan (IJK) avec les faces du cube ABCDEFGH telle

qu"elle a été obtenue à l"aide d"un logiciel de géométriedynamique. .

Ondésignepar M lepoint d"intersectiondu plan(IJK) et de ladroite(BF) et par N lepointd"intersection

du plan (IJK) et de la droite (DH).

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B CD AF GH E I K J M N L Le but de cette question est de déterminerles coordonnées des points M et N. (a) Prouver que le vecteur nde coordonnées (8; 9; 5) est un vecteur normal au plan (IJK). (b) En déduire que le plan (IJK) a pour équation 8x9y5z110. (c) En déduire les coordonnées des points M et N

EXERCICE 25 points

On considère la suite(In)définie pournentier naturel non nul par : I n 1 0 xnex2dx.

1. (a) Soitgla fonction définie parg(x)xex2.

Démontrer que la fonctionGdéfinie surRparG(x)1

2ex2est une primitivesurRde la fonctiong.

(b) En déduire la valeur deI1.

(c) À l"aide d"une intégrationpar parties, démontrer que, pour tout entier natureln, supérieur ou égal

à 1, on a :

I n21

2en12In.

(d) CalculerI3etI5.

2. On considère l"algorithmesuivant :

InitialisationAffecter ànla valeur 1

Affecter àula valeur12e12Tant quen21

Affecter àula valeur12en12uAffecter ànla valeurn2

SortieAfficheru

Quel terme de la suite(In)ontient-onen sortie de cet algorithme?

3. (a) Montrer que, pour tout entier naturel non nuln,In0.

(b) Montrer que la suite (In)est décroissante. (c) En déduire que la suite (In)est convergente. On notesa limite.

4.Dans cette question toute trace de recherche,mêmeincomplète, ou d"initiative même non fructueuse,sera

prise en compte dans l"évaluation.

Déterminer la valeur de.

Page 2/??

EXERCICE 36 points

On considère l"équation (E) d"inconnuexréelle : ex3x2x3.

PartieA : Conjecture graphique

Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative de la fonction exponentielle et celle de la fonctionf

définie surRparf(x)3x2x3telles que les affiche une calculatrice dans un même repère orthogonal.

12345
1 2 3 4 5

61 2 3 4 5 61234567

À l"aide du graphiqueci-dessus, conjecturer le nombre de solutionsde l"équation (E) et leur encadrement par

deux entiers consécutifs. PartieB : étude de la validité de la conjecture graphique

1. (a) Étudier selon les valeurs dex, le signe dex2x3.

(b) En déduire que l"équation (E)n"a pas de solutionsur l"intervalle ];1]. (c) Vérifier que 0 n"est pas solution de (E).

2. On considère la fonctionh, définie pour tout nombre réel de ]1 ; 0[]0 ;[ par :

h(x)ln3lnx2ln(1x)x. Montrer que , sur ]1 ; 0[]0 ;[, l"équation (E) équivaut àh(x)0.

3. (a) Montrer que, pour tout réelxappartenantà ]1 ; 0[]0 ;[, on a :

h (x)x22x2 x(x1).

Page 3/??

(b) Déterminer les variations de la fonctionh. (c) Déterminer le nombre de solutions de l"équationh(x)0 et donner une valeur arrondie au cen- tième de chaque solution. (d) Conclure quant à la conjecture de la partie A.

EXERCICE 45 points

Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité

Les cinq questions sont indépendantes.

Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquersi elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

Toute trace de recherche sera valorisée.

1. On considère l"arbre de probabilitéssuivant :

A 0,2? B 0,68 B ?A ?B ?B0,4

Affirmation: la probabilité de l"événement A sachant que l"événement B est réalisé est égale à 0,32.

2. On considère une urne contenantnboules rouges et trois boules noires, oùndésigne un entier naturel

non nul. Les boules sont indiscernablesau toucher.

On tire simultanémentdeux boules dans l"urne.

Affirmation: il existe une valeur denpour laquelle la probabilité d"obtenir deux boules de couleurs

différentes est égale à9 22.

3. Dans le plan complexe muni d"un repère orthonormal

O;u;v, on considère la transformationt

d"écriture complexe z iz5i. Affirmation: la transformationtest la rotation de centre A d"affixe 32i et d"angle 2.

4. Dans l"ensemble des nombres complexes, on considère l"équation (E) d"inconnuez:

z 2z z10. Affirmation: l"équation (E) admet au moins une solution.

5. Dans le plan complexe muni d"un repère orthonormalO;u;v, on considère les points A, B et C

d"affixes respectivesa1,bi etc

3i(13).

Affirmation: le triangleABC possède un angle dont une mesure est égale à 60°.

Page 4/??

EXERCICE 45 points

Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité

Les cinq questions sont indépendantes.

Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquersi elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

Toute trace de recherche sera valorisée.

1. On considère l"équation (E) : 3x2y1, oùxetysont des entiers relatifs.

Affirmation: les solutions de l"équation (E) sont les couples (92k; 133k), aveckappartenant à l"ensembleZdes entiers relatifs.

2. Soitnun entier naturel. On considère les deux entiersaetbdéfinis par :

a3n1 etb2n3. Affirmation: le PGCD deaetbest égal à 7 si et seulement sinest congru à 2 modulo 7.

3. Soitnun entier naturel. On considère les deux entiersaetbdéfinis par :

a2n27n21 etb2n2. Affirmation: pour tout entier natureln, le quotient et le reste de la divisioneuclidiennedeaparbsont respectivement égaux àn2 etn17.

4. Dans le plan muni d"un repère orthonormaldirect, on considère le point A d"affixe 34i.

On notesla similitudedirectesde centre A, de rapport

2 et d"angle4.

Affirmation: la similitudedirecte réciproques1a pour écriture complexe : z 1i

2z17i2.

5. Dans le plan muni d"un repère orthonormal direct, on considère les points A, B, C et D d"affixes respec-

tivesa12i,b4i,c12

3i(33) etd434i3.

Affirmation: la similitudedirecte qui transformeA en C et B en D a pour angle 3.

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