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Exercice 1:On considère la fonction définie surRpar : f(x)=0;5x2x12 1.

Calculer l"image de 1 parf.

2. À l"aide d"un dév eloppement,vérifier que f(x)=(0;5x+2)(x6). 3. À l"aide d"un dév eloppement,vérifier que f(x)=0;5(x1)212;5. 4. Déterminer les antécédents de 0 en résolv antune équation. 5. En déduire les solutions de l"inéquation f(x)>0. 6.

Déterminer les antécédents de 12 en résolvant une équation (en choisissant la forme adaptée).

Construire le tableau de v ariationde f(vous pouvez vous aider d"un logiciel comme GeoGebra pour tracer

la courbe et déterminer le minimum). Exercice 2: Formule de Héron pour les triangles

1.ABCest un triangle tel queAB=8 cm,AC=15 cm,BC=17 cm.

Montrer que ABCest rectangle enA.

En déduire l"aire de ABC.

On attrib ueà Héron d"Ale xandrie(1

ersiècle après J.C) la démonstration d"une formule permettant de cal-

culer l"aireAd"un triangle dont on connaît les trois côtésa,betc, sans avoir besoin de calculer la hauteur :

A=pp(pa)(pb)(pc)

oùpest la moitié du périmètre du triangle. a. En appliquant la formule de Héron, retrouv erl"aire de ABC. b. Montrer qu"un triangle équilatéral de côté ca une aire dep3 4 c2. c. Appliquer cette formule pour calculer la surf aced"un panneau de signalisation d"un danger ayant la forme d"un triangle équilatéral de côté 125 cm. Exercice 3: Méthode de Héron pour le calcul d"une racine carrée

La méthode décrite ci-dessous a pour but d"encadrerpa(aréel strictement supérieur à 1) avec une précision

arbitraire. Cette méthode déjà connue par les Babyloniens, est également attribuée au grec Héron d"Alexandrie

ersiècle). Il l"expose dans le premier tome de son ouvrageMetrica, ouvrage qui a été découvert en 1896. Chez

les mathématiciens grecs, extraire la racine carrée deparevient à trouver un carré dont l"aire soit égale àa. En

prenant un rectangle de côté arbitraireL0=xet de même aire, il est nécessaire que l"autre côté ait pour longueur

0=ax

Pour le rendre "moins rectangle», il sut de considérer un nouveau rectangle dont les dimensions vérifient :

la longueur est lamoyenne arithmétiquedes dimensions du rectangle précédent;

pour que l"aire reste égale àa, ondiviseapar cette nouvelle longueur pour trouver l"autre dimension du

rectangle.

En réitérant infiniment le processus, le rectangle se transforme petit à petit en un carré de même aire. Cette

constatation est à la base de la méthode de Héron. 1. Compléter les v aleursobtenues a veccet algorithme, pour l"approximation de p2 : 21
...+...2=......2÷...

2=......2÷...

...=......2÷... Moyenne des 2 dimensions du rectangle pr´ec´edentA rectangle= 2A

rectangle= 2Arectangle= 2Arectangle= 2Remarque :On admet quep2 est toujours compris entre ces deux dimensions. Ainsi, dans tous les cas,

0 en plus fin dep2.
On souhaite automatiser la recherche d"un encadrement dep2 d"amplitude inférieure à un niveau de précision

donné par l"utilisateur. On considère la fonctionracine_heronci-contre écrite en langage naturel et qui prend

en paramètres le nombrea>1 dont on veut la racine carrée ainsi que la précisionnb_decimalesexprimée en
nombre de chires après la virgule. 2.
En v ousinspirant des calculs e ectués dans la partie précédente, complétez cette fonction et sa traduction
en Python. 3.
T estezcette fonction dans un en vironnementPython pour obtenir un encadrement de p2 d"amplitude infé-
rieure à 10 5. 4.
Modifiez la fonction pour qu"elle a che aussi le nombre nécessaire d"étapes pour obtenir l"encadrement

demandé (rajouter un compteur). Quelle est le nombre nécessaire d"étapes pour obtenir un encadrement à
10 12? 5. Déposez v otrefichier heron_mon_prenom.p ydans le cours Moodle de la classe. racine_heron
1Fonctionracine_heron(a, nb_decimales):2longueur .....

3largeur .....

4Tant quejlongueurlargeurj>10nb_decimalesfaire :5longueur .....

6largeur .....7renvoiearrondi(largeur, nb_decimales), arrondi(longueur, nb_decimales)defheron_racine (a, nb_decimales) :
"""cette fonction calcule un encadrement de la racine carrée de a avec le nombre de décimales spécifié""" longueur largeur while abs (longueur- largeur) > 10**(-nb_decimales) : longueur largeur return round (largeur,nb_decimales),round(longueur,nb_decimales)
Code Python :
quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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