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Tests Paramétriques
Tests Paramétriques
Statistique Décisionnelle
Licence 3 Management & Sciences Commerciales
Faculté d"économie, gestion & AES
Université de Bordeaux - Collège DESPEG
Automne 2015
A. Lourme
http://alexandrelourme.free.fr 1/25
Tests Paramétriques
Généralités
Le contexte des tests paramétriques
Lest une loi de probabilité dépendant d"un paramètreθ.X1,...,Xnest un
échantillon aléatoire deL.
Objectif.
Prendre la décision de rejeter/ne pas rejeter une hypothèseportant sur le paramètreθ. L"hypothèse testée est l"hypothèse nulle ; on la noteH0. L"hypothèseH1retenue en cas de rejet deH0est l"hypothèse alternative.
Plusieurs types de tests.
?bilatéral :H0:θ=θ0vsH1:θ?=θ0 ?unilatéral à gauche :H0:θ≥θ0vsH1:θ < θ0 Remarque.Un test unilatéral à gauche peut être traité comme un test unilatéral à H
1:-θ >-θ0.
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Tests Paramétriques
Généralités
Définitions complémentaires
?La statistique de test est une variable aléatoireRfonction de l"échantillon, sur laquelle repose la décision. ?La zone de rejetZrest l"ensemble des valeurs possibles de la statistiqueRqui conduisent à rejeterH0. ?Les valeurs délimitantZrsont appelées des valeurs critiques. ?Le risque de première espèce est la probabilité de rejeterH0alors qu"elle est vraie. ?Le risque de seconde espèce est la probabilité de ne pas rejeterH0alors qu"elle est fausse. ?Le niveau du test est la valeur maximale du risque de premièreespèce1. ?Lap-valeur du test est la probabilité d"observer une valeur plus atypique encore que celle de la statistique de test, en supposantH0vraie.
1dans un test unilatéral on considére le niveau égal au risquede première espèce
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Tests Paramétriques
Généralités
Les étapes d"un test paramétrique
1.
Déterminer le paramètreθdu test
2.EnoncerH0,H1comme contraintes surθ
3.Choisir un seuil de risqueα(0< α <1)
4.Définir la statistique de testR
5.Déterminer la distribution deRsousH0
6.Déterminer la zone de rejetZr:P(R?Zr|H0) =α
6.Calculer la valeur observée deR
7.Décider : on rejetteH0ssiR?Zr
8.Interpréter la décision
Remarque.La statistique de testRappartient à la zone de rejetZrsi et seulement si lap-valeur est inférieure au seuil de risqueα. L"hypothèseH0est donc rejetée lorsque :R?Zrou, de façon équivalente, lorsque :p-val.< α. 5/25
Tests Paramétriques
Généralités
Notations utiles et commandes sous R
sous R loi notation quantile d"ordreβfct de répartition fct quantile normale centrée réduiteN(0;1)zβpnorm qnorm
Student ànd.d.l.Tntn;βpt qt
2ànd.d.l.χ2nχ2n;βpchisq qchisq
Fisher ànetmd.d.l.Fn;mwn;m;βpf qf
binomiale(n;p)B(n;p)bn;p;βpbinom qbinom 6/25
Tests Paramétriques
Comparaison d"un paramètre à une valeur de référence
Introduction
X1,...,Xnest un échantillon aléatoire d"une loi de probabilitéLde variance finie.
Les statistiques
¯X=??ni=1Xi?/netLetS?2=??ni=1(Xi-¯X)2?/(n-1)sont des estimateurs (sans biais) de la moyenne et de la variance deL. ?Tests portant sur une moyenne. On compareμ, la moyenne inconnue deL, à une valeur de référenceμ0. ?Tests portant sur une variance. On compareσ2, la variance inconnue deL, à une valeur de référenceσ20. ?Tests portant sur une proportion. Lest une loi de Bernoulli de paramètrepet on comparep, la proportion inconnue de succès, à une valeur de référencep0. 8/25
Tests Paramétriques
Comparaison d"un paramètre à une valeur de référence
Tests portant sur une moyenne
Test bilatéral :H0:μ=μ0vsH1:μ?=μ0
σconnu[on suppose :n≥30 etLquelconque ounquelconque etLnormale] statistique de test :Z=⎷n(¯X-μ0)/σ sousH0:Z≂N(0;1)approximativement qdLquelconque zone de rejet deH0au seuilα:|Z|>z1-α/2 ?σinconnu[on supposeLnormale] statistique de test :T=⎷n(¯X-μ0)/S? sousH0:T≂Tn-1 zone de rejet deH0au seuilα:|T|>tn-1;1-α/2
Exercice 1.
Le salaire mensuel moyen de quarante-neuf habitants de votre village est de 2270e. Au seuil 5%, le salaire mensuel moyen des français peut-il valoir 2400esi :
1.l"écart-type du salaire mensuel des français est de 420e?
2.l"écart-type du salaire mensuel dans l"échantillon est de 420e?
Dans chacun des deux cas envisagés, donnez lap-valeur du test. 9/25
Tests Paramétriques
Comparaison d"un paramètre à une valeur de référence
Tests portant sur une moyenne
σconnu[on suppose :n≥30 etLquelconque ounquelconque etLnormale] statistique de test :Z=⎷n(¯X-μ0)/σ zone de rejet deH0au seuilα:Z>z1-α ?σinconnu[on supposeLnormale] statistique de test :T=⎷n(¯X-μ0)/S? zone de rejet au seuilα:T>tn-1;1-α
Exercice 2.
Chaque jour, les français passent en moyenne six heures et demie devant la télévision avec un écart-type de deux heures. Or, deux-cents parisienschoisis au hasard regardent la télévision six heures et quarante-cinq minutes par jour en moyenne. Au seuil de 5%rejette-t-on l"hypothèse : les parisiens passent en moyenne moins de temps devant la télévision que l"ensemble des français ?
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Tests Paramétriques
Comparaison d"un paramètre à une valeur de référence
Tests portant sur une proportion
Test bilatéral :H0:p=p0vsH1:p?=p0
¯Xrepésente la proportion etn¯Xle nombre de succès dans l"échantillon. ?test exact statistique de test :Y=n¯X sousH0:Y≂B(n;p0) zone de rejet deH0au seuilα:Y
bn;p0;1-α/2 ?test approché[on supposen≥30] statistique de test :Z=⎷n(¯X-p0)/?p0(1-p0) sousH0:Z≂N(0;1)approximativement zone de rejet deH0au seuilα:|Z|>z1-α/2 Exercice 3.
John, mon oncle de Boston, affirme que M. Obama remportera la prochaine élection avec 52%des voix. Hier, à son anniversaire, trente-six des cinquante-quatre invités étaient favorables à M. Obama. La prévision de John est-ellefondée ? 11 /25
Tests Paramétriques
Comparaison d"un paramètre à une valeur de référence Tests portant sur une proportion
¯Xrepésente la proportion etn¯Xle nombre de succès dans l"échantillon. ?test exact statistique de test :Y=n¯X zone de rejet deH0au seuilα:Y>bn;p0;1-α ?test approché[on supposen≥30] statistique de test :Z=⎷n(¯X-p0)/?p0(1-p0) zone de rejet deH0au seuilα:Z>z1-α Exercice 4.
Sur deux-cent prunes ramassées dans mon jardin, cent deux sont verreuses. Au seuil de 10%, rejette-t-on l"hypothèse : la majorité des prunes de mon jardin est comestible ?
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Tests Paramétriques
Comparaison d"un paramètre à une valeur de référence Tests portant sur une variance
Test bilatéral :H0:σ2=σ20vsH1:σ2?=σ20 statistique de test :W= (n-1)S?2/σ20 sousH0:W≂χ2n-1[on suppose queLest une loi normale] zone de rejet deH0au seuilα:W< χ2n-1;α/2ouW> χ2n-1;1-α/2 Exercice 5.
La variance (corrigée) des tailles de huit truites d"Ecossevaut 4 cm2. Au seuil de 5%, doit-on rejeter l"hypothèse : la variance de la taille de la truite d"Ecosse vaut 3 cm2? 13 /25
Tests Paramétriques
Comparaison d"un paramètre à une valeur de référence Tests portant sur une variance
statistique de test :W= (n-1)S?2/σ20 zone de rejet deH0au seuilα:W> χ2n-1;1-α Exercice 6.
Un processus de remplissage de bouteilles est sous contrôlesi la varianceσ2du choisies au hasard ont pour volumes (en cL) : 101, 103, 99, 102, 101. Au seuil de 10%, rejette-t-on l"hypothèse : le processus est sous contrôle? 14 /25
Tests Paramétriques
Comparaison des valeurs de deux paramètres
Tests portant sur deux moyennes
Introduction
Xa,1,...,Xa,nest un échantillon aléatoire d"une loiLade variance finie. X b,1,...,Xb,mest un échantillon aléatoire d"une loiLbde variance finie. ?Tests portant sur une moyenne. On compareμaetμbles moyennes inconnues deLaetLb. ?Tests portant sur une variance. On compareσ2aetσ2bles variances inconnues deLaetLb. ?Tests portant sur une proportion. L aetLbsont deux lois de Bernoulli dont on compare les paramètrespaetpb. Les statistiques
¯Xa=??ni=1Xa,i?/netS?2a=??ni=1(Xa,i-¯Xa)2?/(n-1)sont des estimateurs (sans biais) de la moyenneμaet de la varianceσ2adeLa. Les statistiques
des estimateurs (sans biais) de la moyenneμbet de la varianceσ2bdeLb. 16 /25
Tests Paramétriques
Comparaison des valeurs de deux paramètres
Tests portant sur deux moyennes
Test bilatéral :H0:μa=μbvsμa?=μbpour échantillons indépendants1 σa,σbconnus
[n,m≥30 &La,Lbquelconques oun,mquelconques &La,Lbnormales] statistique de test :Z= (¯Xa-¯Xb)/?σ2a/n+σ2b/m sousH0:Z≂N(0;1)approximativement qdLa,Lbquelconques zone de rejet deH0au seuilα:|Z|>z1-α/2 ?σa,σbinconnus mais égaux (σa=σb)[La,Lbnormales] statistique de test : T= (¯Xa-¯Xb)/?
(1/n+1/m)×?(n-1)S?2a+ (m-1)S?2b?/(n+m-2) sousH0:T≂Tn+m-2 zone de rejet deH0au seuilα:|T|>tn+m-2;1-α/2 Exercice 7.
La moyenne des salaires de 10 danois (resp. 12 danoises) vaut2600e(resp. 2500e). Au seuil de 10%, rejette-t-on l"hypothèse : au Danemark, le salaire moyen ne dépend pas du sexe, sachant que la variance des salaires vaut 10 4e2chez les hommes et
8100e2chez les femmes ? Quelle est lap-valeur du test ?
1{Xa,1,...,Xa,n}et{Xb,1,...,Xb,m}sont supposés indépendants17 /25
Tests Paramétriques
Comparaison des valeurs de deux paramètres
Tests portant sur deux moyennes
Test bilatéral :H0:μa=μbvsμa?=μbpour échantillons appariés1 On suppose :Δi=Xa,i-Xb,i(i=1,...,n) est un échantillon gaussien On note :
¯Δ =1
n? n i=1ΔietS?2d=1n-1? n i=1(Δi-¯Δ)2 statistique de testT=⎷nׯΔ/S?d sousH0:T≂Tn-1 zone de rejet deH0au seuilα:|T|>tn-1,1-α/2 Exercice 8.
époux23 18 30 27 17
épouse21 16 23 28 17
salaires annuels (en ke) de cinq guérétois et de leur épouse Au seuil de 5%, rejette-t-on l"hypothèse : à Gueret, le salaire moyen des hommes et celui des femmes sont égaux ? Déterminez lap-valeur du test. 1n=met les échantillons{Xa,1,...,Xa,n}et{Xb,1,...,Xb,n}sont appariés
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Tests Paramétriques
Comparaison des valeurs de deux paramètres
Tests portant sur deux moyennes
σa,σbconnus
[n,m≥30 &La,Lbquelconques/n,mquelconques &La,Lbnormales] statistique de test :Z= (¯Xa-¯Xb)/?σ2a/n+σ2b/m zone de rejet deH0au seuilα:Z>z1-α ?σa,σbinconnus mais égaux (σa=σb)[La,Lbnormales] statistique de test : T= (¯Xa-¯Xb)/?
(1/n+1/m)×?(n-1)S?2a+ (m-1)S?2b?/(n+m-2) zone de rejet deH0au seuilα:T>tn+m-2;1-α Exercice 9.
effectif moyenne des massesvariance des masses échantillonmâle20 53 64
femelle 22 51 60 statistiques observées dans deux échantillons de tortues mâles et femelles Au seuil de 10%, rejette-t-on l"hypothèse : la masse moyenne de l"ensembledes tortues mâles est inférieure à celle de l"ensemble des femelles ? 19 /25
Tests Paramétriques
Comparaison des valeurs de deux paramètres
Tests portant sur deux moyennes
On suppose :Δi=Xa,i-Xb,i(i=1,...,n) est un échantillon gaussien On note :
¯Δ =1
n? n i=1ΔietS?2d=1n-1? n i=1(Δi-¯Δ)2 statistique de testT=⎷nׯΔ/S?d zone de rejet deH0au seuilα:T>tn-1,1-α Exercice 10.
plaine63 80 58 74 63 altitude66 82 55 75 68 rythme cardiaque relevé chez cinq sujets placés en plaine puis en altitude Au seuil de 10%, rejette-t-on l"hypothèse : l"altitude ralentit le rythmecardiaque ? 1n=met les échantillons{Xa,1,...,Xa,n}et{Xb,1,...,Xb,n}sont appariés
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Tests Paramétriques
Comparaison des valeurs de deux paramètres
Tests portant sur deux proportions
Test bilatéral :H0:pa=pbvs pa?=pb
¯Xareprésente la proportion etn¯Xale nombre de succès dans l"échantillon a Xbreprésente la proportion etm¯Xble nombre de succès dans l"échantillon b statistique de test :T= (¯Xa-¯Xb)/?(1/n+1/m)×F(1-F) avec :F= (n¯Xa+m¯Xb)/(n+m) sousH0:Z≂N(0;1)approximativement zone de rejet deH0au seuilα:|Z|>z1-α/2 Exercice 11.
Cinquante-quatre électeurs parmi cent retraités et quatre-vingt-dix électeurs parmi deux-cents actifs trouvent M. Li sympathique. Au seuil de 10%doit-on rejeter : M. Li séduit la même proportion des actifs et des retraités ? Au delà de quelle valeur du seuil rejette-t-on cette hypothèse ? 21 /25
Tests Paramétriques
Comparaison des valeurs de deux paramètres
Tests portant sur deux proportions
statistique de test :Z= (¯Xa-¯Xb)/?(1/n+1/m)×F(1-F) avec :F= (n¯Xa+m¯Xb)/(n+m) zone de rejet deH0au seuilα:Z>z1-α Exercice 12.
Un sondage révèle que trente sujets sont satisfaits de leur travail parmi cinquante actifs de la CSP A, contre vingt sujets parmi quarante actifsde la CSP B. Au seuil de 5%, doit-on rejeter : la proportion de sujets satisfaits de leur travail est plus importante dans la CSP B que dans la CSP A ? Quelle est lap-valeur du test ? 22 /25
Tests Paramétriques
Comparaison des valeurs de deux paramètres
Tests portant sur deux variances
Test bilatéral :H0:σ2a=σ2bvsH1:σ2a?=σ2b statistique de test :F=S?2a/S?2b sousH0:F≂Fn-1,m-1[on supposeLaetLbnormales] zone de rejet deH0au seuilα:F χ2n-1,m-1;1-α/2 Exercice 13.
La variance de la masse de huit fraises Anabelle produites par M. Xu vaut 9 g2et celle de dix fraises Charlotte 8 g 2. Au seuil de 10%, rejette-t-on l"hypothèse : la variance de
la masse des fraises est la même pour les deux variétés ? 23 /25
Tests Paramétriques
Comparaison des valeurs de deux paramètres
Tests portant sur deux variances
statistique de test :F=S?2a/S?2b zone de rejet deH0au seuilα:F>wn-1,m-1;1-α Exercice 14.
La variance de la masse de huit fraises Anabelle produites par M. Xu vaut 9 g2et celle de dix fraises Charlotte 8 g 2. Au seuil de 10%, rejette-t-on l"hypothèse : la variance de
la masse des fraises est plus grande pour la variété Charlotte que pour Anabelle ? 24 /25
Tests Paramétriques
References
Dagnélie, P. (2006).
Statistique théorique et appliquée, tome 2: Inférences à une et à deux dimensions, bruxelles-université, ed. De Boeck Larcier.
Daudin, J.-J., Robin, S., and Vuillet, C. (1999).
Statistique inférentielle: idées, démarches, exemples. Société française de statistique.
Egon, H. and Porée, P. (2004).
Statistique et probabilités en production industrielle. Hermann.
Millot, G. (2009).
Comprendre et réaliser les tests statistiques à l"aide de r. De Boeck, Bruxelles.
Saporta, G. (2011).
Probabilités, analyse des données et statistique. Editions Technip.
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[PDF] Trois exercices sur les tests paramétriques de comparaison