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Comparaison d'une moyenne `a une référence Les conclusions en terme d'H0 et d'H1 : Pour le test t, sachant que t suit une loi de Student `a n − 1 ddl :

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Plan du cours 1 Comparaison entre moyennes observée et théorique la distribution de la moyenne pour les petits échantillon (cf chapitre 2) : test t- Student

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2 3 Comparaison de deux moyennes observées, échantillons appariés suit loi de Student à n-1 ddl d u = d S n X suit loi inconnue Test non paramétrique

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Cette fiche donne un exemple simple, complet et reproductible d'un test de comparaison de deux moyennes avec le test t de Student Elle suit un mode 

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Plan du cours I- Grands échantillons→ Test de l'écart réduit II- Petits échantillons→ Test de Student III- Comparaison de deux variances → Test F de Snedecor

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Le test de Student sert à comparer : – Une moyenne observée à une moyenne théorique – Les moyennes de 2 petits échantillons même principe queε et 

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Pour comparer deux moyennes de la variables aléatoires gaussiennes, on utilise le test de Student pour deux échantillons 5 3 1 Comparaison de deux moyennes  

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Comparaison de deux

moyennes Dr M Laoussati, Maître- Assistante en Epidémiologie, Faculté de Médecine, Université Abderrahmane Mira de Bejaïa,

Plan du cours

I- Grands Ġchantillonsї Test de l'Ġcart rĠduit

II- Petits Ġchantillonsї Test de Student

III- Comparaison de deudž ǀariances ї Test F de Snedecor

Test Z (ם

Le test Z : comparer des paramètres en testant leurs différences

Utilisé pour comparer :

- Une moyenne observée à une moyenne théorique - Deux moyennes observées

Principe du test Z

- H1 : Les paramètres sont différents On compare les 2 paramètres par leur différence ȴ

ͻ ȴ est une variable aléatoire

ͻ Si H0 est ǀrai alors ȴ est proche de 0 :

- La division de ȴ par son écart type suit une loi Z normale centrée réduite de moyenne 0 et

d'Ġcart type 1

Le test Z consiste :

- ă estimer l'Ġcart type de la diffĠrence sd - ă calculer l'Ġcart rĠduit zo с ͮȴ| / sd - à comparer cette valeur à la distribution théorique de la loi Z - On utilise la table Z

ͻ Condition d'application ͗

Interprétation du test Z

ͻ Si la ǀaleur obserǀĠe zo ф 1,96ї on ne rejette pas H0 ї la diffĠrence entre les paramğtres n'est pas significatiǀe ͻ Si la ǀaleur obserǀĠe zo ш 1,96ї on rejette H0

Utilisation du test Z

On compare une moyenne observée dans un échantillon à une moyenne connue dans la population de référence ͻ Variable quantitative ͻ Paramğtre ĠtudiĠ moyenne

ͻ Hypothèses

- H0 : M = ʅ - H1 ͗ M т ʅ

ͻ Conditions d'applications͗

Taille de l'Ġchantillon ш 30

ͻ Calcul de Z

Formulation

- m ͗ moyenne obserǀĠe de l'Ġchantillon - s ͗ Ġcart type de l'Ġchantillon - n : effectif

Interprétation

Zo ф 1,96 ї Ho non rejetĠe ї M n'est pas significatiǀement diffĠrente de ʅ Zo ш 1,96 ї Ho est rejetĠe ї M diffğre significatiǀement de ʅ

Exemple n°1:

français, on a trouvé une moyenne du temps de sommeil par nuit de 10,2 heures dans un groupe de 40 enfants. L'Ġcart type est 2,1 heures. La moyenne du temps de sommeil est de 11,7 heures chez les enfants de cet âge. - La durée de sommeil des enfants de ce département diffère-t-elle du temps de sommeil des enfants de cet âge?

Solution n°1:

H0 : les enfants de ce département dorment autant que ceux de la population ͻ H1: la durée de sommeil des enfants de ce département est différente

ͻ 4,5 х 1,96 їOn rejette H0 ї DS

La population des enfants examinés présente un temps de sommeil significativement différent de la population générale.

2- Comparaison de deux moyennes observées

On veut comparer les moyennes observées dans deux échantillons ͻ Paramğtre ĠtudiĠ moyennes

ͻ Hypothèses

- H0 : ʅ1сʅ2 - H1 : ʅ1т ʅ2

Conditions d'application ͗

Calcul :

Formulation

- m1 et m2 : moyennes observées des 2 échantillons - s² 1 et s² 2 : variances des 2 échantillons - n1 et n2 : effectifs des 2 échantillons

Interprétation

Zo ф 1,96 ї Ho non rejetĠe ї ʅ1 n'est pas significatiǀement diffĠrent de ʅ2 Zo ш 1,96 ї Ho est rejetĠe ї ʅ1 diffğre significatiǀement de ʅ2

Exemple n°2:

groupe de sujets atteints de drépanocytose. Une étude donne les résultats suivants : - La pression artérielle des sujets drépanocytaires diffère t- elle de celle des sujets sains ?

Solution n°2:

H0 : les pressions artérielles sont identiques

ͻ H1 ͗ la pression artérielle est différente chez les sujets drépanocytaires

ͻ Zo = (|70,1 - 61,8|) / 0,45 = 18,4

ͻ 18,4 х 1,96 ͗ on rejette H0 ї DS

La pression artérielle des sujets drépanocytaires est significativement différente de celle des

sujets sains.

Test de Student

Lorsque la taille des échantillons est faible (n<30) le rapport entre les différences de leurs moyennes et l'Ġcart type ne suit pas une loi normale centrĠe rĠduite Z

On utilise alors le test T de Student

ͻ Le test de Student sert ă comparer ͗

- Une moyenne observée à une moyenne théorique - Les moyennes observées de 2 petits échantillons

Principe : idem à Z

ͻ On calcule la diffĠrence ȴ entre les moyennes ͻ On estime l'Ġcart type sd de la diffĠrence ȴ

ͻ On calcule to= |ȴ| / sd

ͻ On utilise la table de la loi T

Conditions d'application ͗

- Utilisable si petits effectifs - Mais la distribution de la variable dans les populations doit être normale - Et les populations doivent avoir des variances identiques

ͻ Soit on le sait

ͻ Soit on le teste (test F de comparaison de 2 ǀariances)

Interprétation du test T

- to ф Tɲ la diffĠrence entre les paramğtres n'est pas significatiǀe - to ш Tɲ la diffĠrence entre les paramğtres est significatiǀe

Utilisation de la table T

La table de T est plus difficile à utiliser que la table de Z ͻ Il y a autant de table de T que de degré de liberté ddl c'est l'effectif d'un Ġchantillon - 1 - Pour 1 échantillon : ddl = n-1 - Pour 2 échantillons : ddl = (n1 - 1) + (n2 - 1)

ͻ En ligne les ǀaleurs possibles de ddl

ͻ En colonne les ǀaleurs de ɲ

Repérer la ligne correspondant au degré de liberté ͻ RepĠrer la ǀaleur Tɲ dans cette ligne - Si la ǀaleur calculĠe to ф ă Tɲ ї on ne rejette pas H0 - Si la ǀaleur calculĠe to ш ă Tɲ ї on rejette H0 et on accepte H1 On compare une moyenne observée dans un échantillon de petite taille à une moyenne connue dans une population de référence ͻ Paramğtre ĠtudiĠ moyenne

ͻ Hypothğses͗

- H0 ͗ Mсʅ - H1 ͗ Mт ʅ

Condition d'application ͗

l'Ġchantillon

Calcul :

Formulation

- m ͗ moyenne obserǀĠe de l'Ġchantillon - s ͗ Ġcart type de l'Ġchantillon - n : effectif - ddl : degré de liberté

Interprétation

to ф tɲ ї Ho non rejetĠe ї M n'est pas significatiǀement diffĠrente de ʅ to ш tɲ ї Ho est rejetĠe ї M diffğre significatiǀement de ʅ

Exemple n°3:

Dans un Ġchantillon de 18 sujets suspects d'ġtre atteints de trypanosomiase, on mesure la quantité de protéines dans le liquide céphalorachidien. On trouve dans ce groupe une protéinorachie moyenne de 460 mg/l avec un écart type de 280 mg/l. Dans la population générale, la protéinorachie est en moyenne de 300 mg/l. - On se demande si ce groupe de sujet présente une protéinorachie différente de la normale ?

Solution n°3:

H0: la protéinorachie des sujets atteints de trypanosomiase ne diffère pas de celle de la population générale

ͻ H1: la protéinorachie des sujets atteints de trypanosomiase est différente de celle de la

population

ͻ n < 30 : Test de T

ͻ Condition d'application : on suppose que la protéinorachie est distribuée normalement chez les sujets atteints de trypanosomiase

ͻ ddl =17

ͻ Tɲ pour 17 ddl = 2,11

ͻ 2,4 х 2,11 ͗ on rejette H0 ї DS

La protéinorachie des sujets atteints de trypanosomiase est significativement différente de celle de la population.

2- Comparaison de 2 moyennes observées

On veut comparer les moyennes dans 2 échantillons de petite taille ͻ Paramğtre ĠtudiĠ moyennes ͻ Taille de l'Ġchantillon au moins un infĠrieur ă 30

ͻ Hypothèses:

- H0 : ʅ1сʅ2 - H1 : ʅ1т ʅ2

Conditions d'application ͗

être normales

Calcul de to :

Estimation de la variance commune aux deux échantillons: Ecart type de la diffĠrence ȴ с ʅ1 - ʅ2 par:

Test T de Student:

Formulation

- m1 et m2 : moyennes observées des 2 échantillons - s²1 et s²2 : variances des 2 échantillons - n1 et n2 : effectifs des 2 échantillons - ddl : degré de liberté

Interprétation

to < tɲ ї Ho non rejetĠe ї ʅ1 n'est pas significatiǀement diffĠrent de ʅ2 to ш tɲ ї Ho est rejetĠe ї ʅ1 diffğre significatiǀement de ʅ2

Exemple n°4:

- On veut comparer les 2 populations.

Solution n°4:

H0: la valeur moyenne du marqueur est identique dans les 2 populations alcoolique

ͻ n < 30 : test de T

ͻ Condition d'application : on suppose que :

- le marqueur se distribue normalement dans les 2 populations - Les variances des 2 populations sont égales ͻ Sϸ с ΀ (15-1) × (0,19)² + (12-1) × (0,21)² ] / (15 + 12 - 2 )= 0,04

ͻ to с (1,6 - 1,4) / 0,077 = 2,60

ddl = 15+12-2 = 25

ͻ Tɲ pour 25 ddl = 2,06

ͻ 2,6 х 2,06 ͗ on rejette H0 ї DS

significativement différente de celle des sujets sains.

3- Comparaison de deux variances

Prenons l'edžemple suiǀant͗

On dose l'hĠmoglobine sanguine de 20 garĕons et de 12 filles pris au hasard dans une population de jeunes âgés de 13 à 15 ans.

Pour les garçons,on trouve

14,00 14,71 14,02 14 20 14 00 14,30 14,70 15,10 15,00 15,60 16,20 16,40

15,40 15,52 16,50 16,10 16,70 17,17 16,41 15,75

Pour les filles,on trouve

12,12 12,10 11,90 13,20 13,10 13,50 13,40 14,80 13,50 13,88 14,00 14,60

même chez les garçons et chez les filles? On supposera que les teneurs en Hb, X et Y,(respectivement chez les garçons et chez les filles ) sont des variables normales. Il s'agit ici d'Ġchantillon de petite taille. nІ с 20 et nЇ с 12

Comment comparer les variances?

On teste l'hypothğse H0 : ʍ²І с ʍϸЇ ʍϸІ et ʍϸЇ étant les variances (vraies) respectives des variables. Pour comparer 2 variances calculées sur des échantillons indépendants, on utilise le test F de Snedecor.

On forme le rapport F0 с SϸІ ͬ SϸЇ en mettant la plus grande variance au numérateur.

Ce rapport F0 est comparé à la valeur Fɲ lue sur la table de Fisher à ddl1 =k1 =( n І -1)

et ddl2 = k2 = (n Ї - 1) au point 2,5% Si F0 ш Fɲ ї H0 est rejetĠe , les ǀariances sont significatiǀement diffĠrentes. Si F0 < Fɲ ї H0 n'est pas rejetĠe, on peut supposer l'ĠgalitĠ des ǀariances.

Dans notre exemple

m І =15,40 et m Ї =13,34 SϸІ = 0,968 et SϸЇ = 0,870

Donc F0 = 0,968/0,870 = 1,11

La lecture sur la table de Fisher à (19,11) ddl donne au point 2,5%

Fɲ = 3,33 pour (15,11) ddl

Fɲ = 3,23 pour (20,11) ddl

(19,11) étant intermédiaire entre (15,11) et (20,11) et 1,11 < 3,23 La comparaison des moyennes est alors possible en utilisant le test de Student

Les références:

Schwartz D. Méthodes statistiques.1992

Ancelle T. Statistique Épidémiologie. Édition 2002 Bayat S. Introduction à la Biostatistique. Université de Rennes.2009-2010 Bezzaoucha A. Tests statistiques en science médicales.édition 2004

Abrouk S. Biostatistique. INSP octobre 2005

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