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DERNIÈRE IMPRESSION LE25 juin 2018 à 18:32
Multiples. Division euclidienne. Congruence
Table des matières
1 Avant propos2
2 Multiples et diviseurs dans Z2
2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.3 Règles de divisibilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.4 Exercices d"applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.5 Opération sur les multiples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 La division euclidienne5
4 Congruence7
4.1 Entiers congrus modulo n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.2 Compatibilité avec la congruence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.3 Applications de la congruence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.3.1 Reste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.3.2 Divisibilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
PAUL MILAN1TERMINALE S SPÉ
TABLE DES MATIÈRES
1 Avant propos
L"arithmétique concerne l"étude des entiers naturelsNou relatifsZ. ?Il est important de remarquer si la résolution se fait dansNou dansZ. ?Le mode de résolution dans les ensemblesNouZest différent de celui dans l"ensemble des réelsR.Propriété 1 :Admise
1) Toute partie non vide deNadmet un plus petit élément.
2) Toute suite dansNstrictement décroissante est stationnaire au bout d"un
certain rang.2 Multiples et diviseurs dansZ
2.1 Définition
Définition 1 :Soitaetbdeux entiers relatifs.
aest un multiple deb, si et seulement si, il existe un entier relatifktel que : a=kb,k?Z3 autres formulations sont possibles :
aest divisible par
bbest un diviseur deabdiviseaExemples :
54 est un multiple de 3 car 54=18×3
-5 divise 45 car 45= (-9)×(-5)
2.2 Propriétés
0 est multiple de tout entier.
1 divise tout entier.
Siaest un multiple debet sia?=0 alors :|a|?|b|. Siadivisebet sibdiviseaalorsa=boua=-bavecaetbnon nuls.2.3 Règles de divisibilité
Toutes les règles de divisibilité peuvent être démontrées par la congruence que l"on verra dans la suite de ce chapitre.PAUL MILAN2TERMINALE S SPÉ
2. MULTIPLES ET DIVISEURS DANS Z
Règle 1 :Par une terminaison : 2, 5, 10, 25, 4
Un entier est divisible par 2 s"il se termine par 0, 2, 4, 6, 8. Un entier est divisible par 5 s"il se termine par 0 ou 5. Un entier est divisible par 10 s"il se termine par 0. Un entier est divisible par 25 s"il se termine par 00, 25, 50, 75. Un entier est divisible par 4 si le nombre formé par les 2 derniers chiffres est divisible par 4.1 932est divisible par4car32est divisible par4,
par contre1 714ne l"est pas car14n"est pas divisible par4Règle 2 :Par somme de ses chiffres : 3 et 9
Un entier est divisible par 3 (respectivement par 9) si la sommede ses chiffres est divisible par 3 (respectivement par 9).8 232est divisible par3car :
8+2+3+5=15et15est divisible par3
4 365est divisible par9car :
4+3+6+5=18et18est divisible par9
Règle 3 :Par différence de ses chiffres : 11 Un entier de trois chiffres est divisible par 11 si la somme des chiffres extrêmes est égale à celui du milieu.451est divisible par11car :4+1=5. On a alors451=11×41
D"une façon généraleun entier est divisiblepar 11 si ladifférence entre la somme des chiffres de rangs pairs et la somme des chiffres de rangs impairs est divisible par 11.6 457est divisible par11car :
(7+4)-(5+6) =11-11=0et0est divisible par114 939est divisible par 11 car :
(9+9)-(3+4) =18-7=11et11est divisible par11Application :
Trouver tous les diviseurs des nombres suivants : 20, 36 et 120 Grâce aux règles de divisibilité, on montre facilement que :1) Les diviseurs de 20 sont : 1, 2, 4, 5, 10, 20
2) Les diviseurs de 36 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
3) Les diviseurs de 120 sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120
PAUL MILAN3TERMINALE S SPÉ
TABLE DES MATIÈRES
Algorithme :Déterminer un algorithme qui donne l"ensemble de diviseur d"un entier naturel donné. L"algorithme suivant est basé sur le fait que siddiviseN, alorsN=kddonc le quotientkest aussi un diviseur deN. Lorsque l"on trouve un diviseur deN, on en trouve un second.Par exemple avec 120 :
diviseurdquotientk 1120260
340
430
524
620
815
1012