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Bernard P ARZYSZ
SUIVI DE:
G"'L\MMES NATURELLES
par yves HellegouarchPour tout renseignement concernant
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Tél. (1) 331.34.05
Musique et mathematique (Parzysz B.) - APMEP 1984 - n° 53 "Nonobstant toute l'expérience que je pouvais m'être acquise dans la musique pour l'avoir pratiquée pendant une assez longue suite de temps, ce n'est cependant que par le secours des mathématiques que mes idées se sont débrouillées, et que la lumière y a succédé à une certaine obscurité dont je ne m'apercevais pas auparavant." Jean-Philippe RAMEAU Musique et mathematique (Parzysz B.) - APMEP 1984 - n° 53AVANT-PROPOS
Cette brochure est une synthèse de plusieurs brochures et articles antérieurs (publiés principalement par l'APMEP, l'IREM de Paris-Sud et les Cahiers pédagogiques), remaniés et complétés. Elle comporte néanmoins plusieurs parties inédites, ainsi qu'une étude d'Yves Hellegouarch (*) sur les gammes naturelles, qui complète en quelque sorte la première partie, en se plaçant du point de vue le plus général. On y trouvera également un certain nombre d"'encadrés", destinés (pour la satisfaction des curieux, ou du moins je l'espère) à donner des précisions sur tel point précis, sans nuire à la continuité du développe ment. J'ai essayé de présenter les choses de la façon la plus élémentaire possible, en pensant au lecteur qui n'est pas familiarisé avec la théorie musicale (mais celui qui le voudra pourra bien sûr "sauter" les encadrés correspondants).Bonne lecture
B.P.(*) Que je remercie ici pour ses précieux avis. Musique et mathematique (Parzysz B.) - APMEP 1984 - n° 53
SOMMAIRE
Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 7
Première partie : les échelles musicales
.................... . p. 11 I -Le son ....................................... . p. 12II -Les intervalles 14
................................. . p. III -Les notes ..................................... . p. 16 IV -Les échelles pythagoriciennes .................... . p. 16 V -La transposition ............................... . p. 40 VI - L'accord parfait majeur ........................ . p. 41VII -L'échelle de Zarlino 42
............................ . p.VIII -
L'accord parfait mineur ........................ . p. 44 IX -Le tempérament égal ........................... . p. 44Deuxième
partie: Notre échelle tempérée .................. . p. 57I -Notation 58
..................................... . p.II -Une
approche possible dans le Premier cycle ....... . p. 60 III -Les tonalités majeures .......................... . p. 63 IV -Les transpositions ............................. . p. 63 V -Tonalités majeures voisines ..................... . p. 64VI -Les tonalités mineures
.......................... . p. 66VII -Notes modales·, notes tonales
.................... . p. 68 VIII -Relativité et voisinage .......................... . p. 69 IX -Les noms des intervalles ........................ . p. 70X -Conclusion
................................... . p. 72 Troisième partie : Quelques procédés imitatifs du contrepoint . p. 73 I -Diagramme mélodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 74 II -Transposition.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 74 III -Renversement77
.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.IV -Récurrence
78. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. V -Un groupe de Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 78 VI -Procédés voisins. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 79
5 Musique et mathematique (Parzysz B.) - APMEP 1984 - n° 53
Quatrième partie: Aperçus sur le XXe siècle . . . . . . . . . . . . . . . . p. 83 I -Les attaques contre la tonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 84 II -Le dodécaphonisme............................. p. 86 III - A la recherche des modes à transpositions limitées . . . p. 91 IV -Plus près de nous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 100 V -Rêvons un peu... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 102Annexe
: Petit meccano sériel numéro 00. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 108Liste des Encadrés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 124
Bibliographie ..................................... p. 125 et p. 158 Gammes naturelles, par Yves Hellegouarch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 127 Index des termes musicaux.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 159 Index des noms de personnes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 161