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complexes au niveau mathématique et informatique ; ils g est une fonction trinôme du second degré dont les coefficients sont a = 3, b Appliquer cet algorithme pour résoudre l'équation x2 + ax = b, où a et b sont deux nombres positifs b

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ǯA

C241D: UN ATOUT POUR

ǯB3

BB4 3 A42A41D3

AU LYCÉE ?

Nathalie BRIANT ,PRAG-Docteur

ESPEde Montpellier

Laboratoire LIRDEF, Université de Montpellier

1

Conférence IREMStrasbourg, le 27 janvier 2016

Deuxparties:

ȈPartie1:quelquesbases

programmation algébriques dichotomie 2

Partie 1

Partie 2

Définitions

Pensée

algo

Algèbre

Dichotomie

Introduction

ALGORITHME,

ALGORITHMIQUE

ET

PROGRAMMATION

Partie 1

Partie 2

Définitions

Pensée

algo

Algèbre

Dichotomie

La recette des crêpes

5

ǯǼalgorithme» des crêpes

Ingrédients : beurre, à—ˆ•ǡ •ƒ...Š‡- de sucre vanillé, farine, lait, sel

Récipients : saladier, verre mesureur, poêle, assiette Opérations de base : mettre dans un récipient, mélanger, attendre pendant ... minutes, retourner, laisser cuire pendant ... minutes

Algorithme des crêpes :

6

Mettre ͜ à—ˆ• dans le saladier

Mettre 1 sachet de sucre vanillé dans le

saladier

Mettre250 g de farine dans le verre mesureur

Mettrele contenu du verre mesureur dans le

saladier

Mettre0,5 L de lait dans le verre mesureur

Mettrele contenu du verre mesureur dans le

saladier

Mettre50 g de beurre dans la poêle

Laisser cuire la poêlependant1minute

Mettrele contenu de la poêledans le saladier

Mélangerle contenu du saladier

Attendre pendant 60minutes

Mettre5 g de beurre dans la poêle

Laisser cuire la poêlependant0,5

minute Tant que le saladierǯ‡•- "ƒ• vide :

Mettre5 cLdu saladierdans le

verre mesureur

Mettrele contenu du verre

mesureur dans la poêle

Laisser cuire la poêlependant2

minutes

Retournerle contenu de la poêle

Laisser cuire la poêlependant2

minutes

Mettrele contenu de la poêle dans

Organigramme de la pâte à crêpes

7

A quoi sert un algorithme ?

AEde façon structurée , ordonnée et non ambiguë 8

A quoi sert un algorithme ?

Ȉ À décrire les étapes de "±•‘Ž—-‹‘ †ǯ— problème :

AEde façon structurée, ordonnée et non ambiguë 9

A quoi sert un algorithme ?

AEde façon structurée , ordonnée et non ambiguë 10

A quoi sert un algorithme ?

AEde façon structurée, ordonnée et non ambiguë 11

A quoi sert un algorithme ?

AEde façon structurée, ordonnée et non ambiguë 12

Différence entre algorithme et programme

ȈUn algorithme est une description abstraite des étapes conduisant àla langage de programmation et sur un système particuliers. Exprimer un algorithme dans un langage de programmation a pour but de le rendre exécutable par une machine numérique (prog2012, spé info en TS) 13 Différence entre algorithmique et programmation (Potier et Werner, 2013 ) : 14

Algorithmes : preuves de correction, de

terminaison -Complexité

AEdonne-t-il le résultat attendu ?

AEen combien de temps ? AEComplexité

15 16 17

Classes

de 5 e 3 enleurfaisantéchangerdesmessages.

Classe

de 2

†ǯ—calcul.

Classe

deS,ES,L,STL,STI2D(1èreetT) unefindeboucleconditionnelle.

ÉMERGENCEǯDBPENSÉE

ALGORITHMIQUEDANSLA

RÉSOLUTIONDECERTAINSTYPES

DEPROBLÈMESMATHÉMATIQUES

UTILISANTLESTICE

Partie 1

Partie 2

Définitions

Pensée

algo

Algèbre

Dichotomie

COMPRENDRE CETTE ÉMERGENCE

aܾ 19

Partie 1

Partie 2

Définitions

Pensée

algo

Algèbre

Dichotomie

écrire ܰsous la forme ܾܽ

Algorithme 1

‰aetbvalent1

‰Pourtoutentiericomprisentre1etk:

Siן

Siן

మetbcontientlefacteur݌௜

Algorithme 2

‰Pourchaqueentiericompris

entre1etEnt(ܰ

ȈTestersiladivisioneuclidienne

deNpari²donneunrestenul valeurdei valeur

ȈPasseràlavaleursuivantedei

‰Calculerlavaleurdeb=N/a²

20

Exemple de N = 72

N = ૜૛ൈ૛૜

a= ૜ a=3×2 b =2 i= 1 b = 72/36=2 a= 1 i= 2 a= 2 i= 3 a= 3 i= 4i= 5i= 6 a= 6 i= 7i= 8

Exemples de simplification de racines carrées

sous Algobox

Soit N un entier naturel.

Pour chaque entier I compris

entre 1 et Ent(ξܰ - Tester si la division de N par I² donne un reste nul ; - a la valeur de I ; la valeur suivante de I.

Calculer la valeur de b : N/a²

Afficher

racine(N) = a*racine(b)

N = 120

N = 256

N = 1789

Algorithme de simplification de

ξܰ sous la forme ܽξܾ

N² et où b est le plus petit possible.

Programme correspondant à

-contre sous

Algobox

Résultats obtenus par le

programme pour trois valeurs particulières de N 21

Une adaptation du concept de

transposition didactique aux TICE 22

Savoir de

référence

Savoir à

enseigner

Savoir enseigné

en environnement "classique»

Savoir enseigné

en environnement "TICE» modélisationetd'implémentation informatiques.(Balacheff,1994) problèmemathématique» 23

Résolution

Mathématique

Langage

mathématique -Variables maths -Techniques maths

Résolution

informatique

Langage

informatique -Variables info -Techniques info/maths

Résolution

algorithmique langage: pseudo- code -Variables maths -Techniques maths/ info

Hart,1998):

24
nonlerésoudre.(p.47) decequesaitfairelamachine.

80 ǯDB 02C

D43A4CB ǯA

C241D

POUR LA COMPRÉHENSION DE

CONCEPTS ALGÉBRIQUES

Partie 1

Partie 2

Définitions

Pensée

algo

Algèbre

Dichotomie

compréhension de concepts algébriques

Objectifs:

premièrepartie 26
Résoudre dans R: 2(x-1) + 5x= 3x+ 4 Ȃ2(x+ 1) Résoudre dans R: x²+ 6x+ 9 = 0Résoudre dans R: (3x+ 1)² -4 = 0

Confusion

ax+ b = cx + d et (ax+b)(cx+d) = 0

Confusion

techniques résolutions

équations

premier et second : "isoler» x dans un membre 27
x² + 6x+ 9 = 05x+ 4 = 2x-6 28

Équation polynomiale ?

Degré 1 ou 2 ?

factorisée, développée ? la forme Ax= B

Pas de

solution

Tout réel

solution

Solution

unique degré 1degré 2 A = 0 B = 0

A δ .A = 0

Produit nul

(ax+ b)(cx + d) = 0

2 solutions réelles

(distinctes ou confondues) -Facteur commun ? -Identité remarquable ? factoriséedéveloppée ouinon

5x+ 4 = 2x-6x² + 6x+ 9 = 0

3x= -10

x= ିଵ଴ (x+3)² = 0 x= -3 Une ingénierie composée de trois situations non indépendantes 29

Situation 1Situation 2Situation 3

ContenuDéterminer une

polynomialesde degré 1 ou 2 (se ramenant à x² = a ou se ramenant au 1er degré)

Déterminer un/des

algorithmes/ programmes de degré 1

Déterminer un/des

algorithmes/ programmes la résolution de certaines

équations de degré 2

Fonction/

Objectif

polynomialesde degré 1 ou 2.

Émergence que le degré

technique de résolution -Modélisationdeséquations

équationsdedegré1et2

Objets

algo/prog NéantVariable informatique; affectation de variable ; étapes Testconditionnel "•‹ ǥ ƒŽ‘"•ǥ •‹‘»

Situationn°1

30

Phase de recherche par groupe

non. classifications

Phase de mise en commun

Situation n°2

oOrganisation:Travailensalle informatiqueenbinômes oÉnoncécomportantuneliste

1erdegré

31
-Réaliser un algorithme permettant de résoudre les 3 premières équations, sans les transformerau préalable. pour ces équations. -Comment peut-on résoudre les équations restantes avec un autre algorithme?

Équation 7 :଻

Équation 8 :଻

Équation 9 :3 = 2x+ 1

Équation 10 :3x+ 2 = 5 + 3x

*Équation 1 : x + 3 = 0 *Équation 2 : 2xȂ3 = 4 *Équation 3 :3 Ȃ2x = -2

Équation 4 :2 + x = 5x

Équation 5 :2x + 3 = 3x+ 1

Équation 6 :8Ȃx = -

Exemple de fiche de travail distribuée aux élèves gravitentautourdececoncept. pourtoutesleséquations:ax+b=cx+d 32

Équation 7 :଻

Équation 8 :଻

Équation 9 :3 = 2x+ 1

Équation 10 :3x+ 2 = 5 + 3x

Équation 1 : x + 3 = 0

Équation 2 : 2xȂ3 = 4

Équation 3 :3 Ȃ2x = -2

Équation 4 :2 + x = 5x

Équation 5 :2x + 3 = 3x+ 1

Équation 6 :8Ȃx = -

ax+ b = cx + d 33

Résolution

Mathématique

-Si ƒ δ ...

Pas de solution

-Si a = c et b = d

Tout réel est solution

Résolution informatiqueRésolution

algorithmique

Données en entrée:

a, b, c, d -Si ƒ δ ...

Donnée en sortie:

௔ି௖-Si a = c et " δ †

Message en sortie:

Pas de sol.

-Si a = c et b = d

Message en sortie:

Tout réel sol.

Pensée algébrique

Pensée algorithmique

Pensée algébrique

DéfinitionausensdeRadford(2006et

2008)

Caractériséepardeuxgrands

principes: possibilitédenommerdes quantitésindéterminéesou inconnues(dansdesregistres variéscommelalangue,des schémasoudusymbolisme divers) possibilitéderaisonnersurces quantitéscommesiellesétaient connues.

Pensée algorithmique

DéfinitionausensdeModeste(2012)

™entantquepenséemathématique

elleestuneapprocheparticulièrede certainstypesdeproblèmes mathématiques

™entantquepenséeextra-

mathématique(informatique): complexité utiliselanotiondevariable informatiqueAEaffectation 34
dansune pensée algébrique et dans une pensée algorithmique considérantdeséquationsdupremier degrésousuneformegénérique la modélisation des équations 35

AEUtilisationenactesdeparamètrespour

différenteséquationsdonnées. algébrique degré. particuliers dans une pensée algébrique viaune pensée algorithmique 36

Production de lélève Thomas :

Résolution de ax+ b = I

danslesapprentissagesdesélèves.

Paramètres :

données

Inconnue :

donnée de sortie du programme 37
dans une pensée algébrique viaune pensée algorithmique

†ǯ—enseignant

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ȈProfesseurÉric:

que souvent, quand je fais cours avec les seconde, on fait ça petit à petit, et je sais que compréhension des paramètres? ȈProfesseurÉric : Exactement, oui. Et par rapport aux équations, ils se posent la ancré. Mais ceci dit, avant il y avait vraiment un gros problème, quand il y avait des nombres à virgule ou des racines carrées. Alors que maintenant, grâce aux paramètres passent par ax+ b, quand le aet le bsont compliqués, finalement ils cherchent la remplacent par les valeurs numériques.38

Progression complète : situation 1

Détailsdes contenusCommentaires

En amont

de la situation n°1

Premiers concepts

alternatives avec condition) et de programmation (variables informatiques, logiciel de programmation (apprentissage du langage spécifique). Plusieurs séances sont nécessaires pour la mise en place de ces premiers concepts. Les enseignants expérimentateurs en avaient réalisé 2 ou 3, ce qui ne semble pas suffisant, au vu des résultats.

Situation

n°1

Faireclasser des équations comportant un

premier et du second degré, sous des formes diverses (factorisées,

Pour avancer plus rapidement vers une

classification des équations permettant de faire

émerger des techniques de résolution, la

consigne précise que le critère de classificationquotesdbs_dbs45.pdfusesText_45