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Texas Instruments 2015 / Photocopie autorisée étudiant - 1 ÉQUATIONS Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants 1

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Texas Instruments 2015 / Photocopie autorisée professeur - 1 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU SECOND ORDRE (COURS) Auteur : Alain Ladureau

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4 1 Forme générale de l'équation différentielle linéaire d'ordre n l'utilisation de ces outils dans l'enseignement des mathématiques Les objectifs de formation touchant la calculatrice TI-Nspire qui apparaissent dans Je tiens en premier à remercier Chantal Trottier, chargée de cours au Service des enseignements

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Cours de Mathématiques Ce chapitre est une première étude des équations différentielles, il vous sera dGabord utile en physique et en TI année, seules les équations différentielles du premier ordre, les équations différentielles du second 

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Une telle équation est appelée équation différentielle linéaire La fonction inconnue X et le second membre B sont définis sur I et à valeurs dans Mn,1(K), la fonction A est Pour n = 1, on retrouve les équations linéaires scalaires d'ordre 1, T = (ti,j) dont les coefficients diagonaux sont les valeurs propres de A, notées λ1,

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1 1 2 Liens utiles Le site [23] de l'Université en ligne fournit des supports de cours , exercices Résolution des équations différentielles linéaires du second ordre `a coef- ficients constants Avec une calculette TI 89, elle peut être résolue avec l'instruction Site internet, http ://www uel-pcsm education [24] G Xiao

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Dans tout le cours, K désigne Rou C et I désigne un intervalle de R non réduit On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre de forme résolue on utilise ensuite la continuité et la dérivabilité de la fonction f aux points ti, , , et in équations différentielles linéaires d'ordre 1 et 2 à l'enseignement des autres  

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9 jan 2017 · 1 1 Equation différentielle 6 1 2 Interprétation Géométrique 7 1 3 Equation différentielle du Premier Ordre 8 1 3 1 Equation du type y = f(x)

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15 jan 2020 · 225 Systèmes différentiels linéaires du premier ordre à coefficients constants Exemples 449 Exemples d'équations différentielles non linéaires (c) Sans utiliser les théorèmes généraux du cours, vérifier que la solution appro- t4 > t3 > t2 > t1 > t0 tels que (x(t),y(t)) ∈ Ei pour t ∈]ti−1,ti[, i = 1,2,3,4, et

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Fiche étudiant

Équations différentielles du

second ordre (1) © Texas Instruments 2015 / Photocopie autorisée

étudiant - 1

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

DU SECOND ORDRE (COURS)

TI-Nspire CAS

1. Objectifs

Découvrir les équations différentielles du second ordre.

Résoudre à la main et à l'aide de la calculatrice les équations différentielles linéaires du second ordre.

2. Introduction

Exercice 1 : On considère l'égalité suivante (E 1 ) : y" (x) y(x) = 0, qui est une équation différentielle du

second ordre. On pourra écrire cette équation sous la forme : y" y = 0. (L'inconnue est ici la fonction y)

Question 1 : Déterminer, parmi les fonctions connues, une fonction f non constante solution de (E 1 Question 2 : Vérifier que la fonction g définie par g(x) = e - x est une autre solution de (E 1 Question 3 : Vérifier que toute fonction de la forme C1 f(x) + C 2 g(x) est solution de (E) (C 1 et C 2 désignent des constantes réelles). Exercice 2 : On considère l'équation différentielle (E 2 ) : y" 5y '+ 6y = 0.

Afin de chercher des solutions de (E

2 ), on pose y = e r.x , où r désigne un nombre réel.

Question 1 : Établir que si y = erx

est solution de (E 2 ), alors on a : r² 5r + 6 = 0. Question 2 : Résoudre l'équation d'inconnue r précédente, on appellera r 1 et r 2 ses solutions.

Question 3 : Vérifier que les fonctions y = C

1 e r1x + C 2 e r2x sont des solutions de (E 2 ), C

1 et C

2 désignant des constantes réelles. Exercice 3 : On considère l'équation différentielle (E 3 ) : y" 2y '+ 5y = 5e 2x

Question 1 : Montrer qu'il existe un nombre réel k tel que la fonction f définie pour tout x réel par f(x) = k.e

2x soit solution de l'équation différentielle (E 3 Question 2 : On souhaite construire, avec TI-Nspire, un outil qui permettra de donner l'image d'une fonction y lorsqu'on lui applique la transformation y" 2y '+ 5y. On utilise l'instruction derivate( du catalogue, sa syntaxe est visible en bas de l'écran. On saisit alors la suite d'instructions ci-dessous : L'emploi de cette fonction notée eq aura pour effet de calculer l'image de la fonction f par la fonction eq. Une fois saisie la ligne précédente dans une page de calculs, appuyer sur la touche

· afin de créer cette fonction dans

TI-Nspire.

Voici ce qui apparaît à l'écran de la calculatrice.

Fiche étudiant

Équations différentielles du

second ordre (1)

Photocopie autorisée

© Texas Instruments 2015

étudiant - 2

Question 3 : Utiliser votre fonction eq( pour chercher l'image de la fonction f définie par f(x) = e

2x en saisissant eq(e 2x ) et ·. Procéder de même avec les fonctions g et h définies par : g(x) = e x .cos(2x) + e 2x et h(x) = e x .sin(2x) + e 2x

Que peut-on en conclure ?

3. Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients

constants

1. Définition

On appelle équation différentielle du second ordre linéaire à coefficients constants toute équation (E) de la

forme : a . y" + b . y' + c . y = f(x),

où a, b et c sont des nombres réels (a 0), y et f sont des fonctions numériques de variable réelle x.

L'équation : a . y" + b . y' + c . y = 0 est l'équation sans second membre associée à l'équation (E).

Remarques : l'inconnue de cette équation est la fonction y. Une solution particulière de l'équation est une fonction g qui vérifie l'équation.

Résoudre l'équation différentielle c'est trouver la solution générale de (E) qui est formée par l'ensemble de

toutes les fonctions solutions de (E).

2. Résolution de l'équation sans second membre : (E

0 ) : a . y" + b . y' + c . y = 0

On dit que deux fonctions y

1 et y 2 sont linéairement indépendantes si aucune n'est le produit de l'autre par une constante.

Justifier que les fonctions y

1 = sin(x) et y 2 = cos(x) sont linéairement indépendantes.

Les fonctions y

1 = x² et y 2 = -2x² ne sont pas linéairement indépendantes car on a pour tout x réel, y 2 = -2 y 1

Nous admettrons le théorème suivant :

Théorème 1: Si on connait deux fonctions y

1 et y 2 linéairement indépendantes, solutions de l'équation différentielle (E 0 ) : a . y" + b . y' + c . y = 0, alors l'ensemble des solutions de (E 0 ) est formé par les fonctions de la forme y = C 1 y 1 + C 2 y 2 , où C 1 et C 2 désignent des constantes réelles.

On se propose de chercher les fonctions y

1 et y 2 sous la forme y = e rx , où r est un nombre constant.

Question : Démontrer que y = e

rx est solution de l'équation (E 0 ) si et seulement si r est solution de l'équation : ar² + br + c = 0. Définition : On appelle équation caractéristique de l'équation différentielle (E 0 ) : a . y" + b . y' + c . y = 0, l'équation du second degré d'inconnue r : ar² + br + c = 0.

Résolution de l'équation caractéristique

1 er cas : on suppose ο= b² 4ac > 0 Question 1 : Donner dans ce cas les solutions de l'équation caractéristique. Question 2 : En déduire deux solutions particulières y 1 et y 2 de l'équation (E 0 Question 3 : Justifier que les solutions trouvées y 1 et y 2 sont linéairement indépendantes. Question 4 : Donner la solution générale de l'équation (E 0

Fiche étudiant

Équations différentielles du

second ordre (1)

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étudiant - 3

2 e cas : on suppose ο= b² 4ac = 0 Question 1 : Etablir que dans ca cas, les fonctions y 1 2bxa e et y 2 2 bxa xe sont deux solutions de l'équation (E 0 ) et qu'elles sont linéairement indépendantes (on pourra utiliser TI-Nspire). Question 2 : Donner la solution générale de l'équation (E 0 3 e cas : on suppose ο= b² 4ac < 0 Question 1 : Donner dans ce cas les solutions de l'équation caractéristique.

Question 2 : On pose y

1 2

²4.cos2

bxa bacexa et y 2 2

²4.sin2

bxa bacexa

En utilisant TI-Nspire et la fonction eq définie dans l'exercice 3 de la page 1, vérifier que les fonctions y

1 et y 2 sont solutions de l'équation (E 0

Question 3 : Justifier que les solutions y

1 et y 2 sont linéairement indépendantes. Question 4 : Donner la solution générale de l'équation (E 0 Résumé : Pour trouver la solution générale de l'équation différentielle (E 0 ) : a . y" + b . y' + c . y = 0, on

écrit l'équation caractéristique ar² + br + c = 0 et on calcule son discriminant ο= b² 4ac.

Solutions de l'équation caractéristique Solution générale de l'équation différentielle (E

0

Pr 2 solutions réelles r

1 et r 2 r 1 2b a , r 2 2b a 12quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18